MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat0d Structured version   Unicode version

Theorem chpmat0d 19800
Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
chpmat0.c  |-  C  =  ( (/) CharPlyMat  R )
Assertion
Ref Expression
chpmat0d  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( C `
 (/) )  =  ( 1r `  (Poly1 `  R
) ) )

Proof of Theorem chpmat0d
StepHypRef Expression
1 0fin 7752 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
21a1i 11 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  (/)  e.  Fin )
3 id 22 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
4 0ex 4499 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
54snid 3969 . . . 4  |-  (/)  e.  { (/)
}
6 mat0dimbas0 19433 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( (/) Mat  R )
)  =  { (/) } )
75, 6syl5eleqr 2513 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  (/)  e.  (
Base `  ( (/) Mat  R ) ) )
8 chpmat0.c . . . 4  |-  C  =  ( (/) CharPlyMat  R )
9 eqid 2428 . . . 4  |-  ( (/) Mat  R )  =  ( (/) Mat  R )
10 eqid 2428 . . . 4  |-  ( Base `  ( (/) Mat  R )
)  =  ( Base `  ( (/) Mat  R )
)
11 eqid 2428 . . . 4  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
12 eqid 2428 . . . 4  |-  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) )  =  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) )
13 eqid 2428 . . . 4  |-  ( (/) maDet  (Poly1 `  R ) )  =  ( (/) maDet  (Poly1 `  R ) )
14 eqid 2428 . . . 4  |-  ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  ( -g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )
15 eqid 2428 . . . 4  |-  (var1 `  R
)  =  (var1 `  R
)
16 eqid 2428 . . . 4  |-  ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  ( .s `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )
17 eqid 2428 . . . 4  |-  ( (/) matToPolyMat  R
)  =  ( (/) matToPolyMat  R
)
18 eqid 2428 . . . 4  |-  ( 1r
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )
198, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18chpmatval 19797 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (/)  e.  (
Base `  ( (/) Mat  R ) ) )  ->  ( C `  (/) )  =  ( ( (/) maDet  (Poly1 `  R
) ) `  (
( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) ) ) )
202, 3, 7, 19syl3anc 1264 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( C `
 (/) )  =  ( ( (/) maDet  (Poly1 `  R ) ) `
 ( ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R
) `  (/) ) ) ) )
2111ply1ring 18784 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Poly1 `  R
)  e.  Ring )
22 mdet0pr 19559 . . . . 5  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( (/) maDet  (Poly1 `  R ) )  =  { <. (/) ,  ( 1r `  (Poly1 `  R
) ) >. } )
2322fveq1d 5827 . . . 4  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( ( (/) maDet  (Poly1 `  R
) ) `  (
( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) ) )  =  ( { <. (/) ,  ( 1r `  (Poly1 `  R
) ) >. } `  ( ( (var1 `  R
) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) ) ) )
2421, 23syl 17 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (
(/) maDet  (Poly1 `  R ) ) `
 ( ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R
) `  (/) ) ) )  =  ( {
<. (/) ,  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )
>. } `  ( ( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) ) ) )
2512mat0dimid 19435 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )  =  (/) )
2621, 25syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  (/) )
2726oveq2d 6265 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) )  =  ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) (/) ) )
28 eqid 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
2915, 11, 28vr1cl 18753 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  (var1 `  R
)  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
3012mat0dimscm 19436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (Poly1 `  R )  e. 
Ring  /\  (var1 `  R )  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( (var1 `  R
) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) (/) )  =  (/) )
3121, 29, 30syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) (/) )  =  (/) )
3227, 31eqtrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) )  =  (/) )
33 d0mat2pmat 19704 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (
(/) matToPolyMat  R ) `  (/) )  =  (/) )
3432, 33oveq12d 6267 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) )  =  (
(/) ( -g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) (/) ) )
3512matring 19410 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  (Poly1 `  R )  e.  Ring )  ->  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) )  e.  Ring )
361, 21, 35sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) )  e. 
Ring )
37 ringgrp 17728 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/) Mat  (Poly1 `  R ) )  e.  Ring  ->  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) )  e. 
Grp )
3836, 37syl 17 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) )  e. 
Grp )
39 mat0dimbas0 19433 . . . . . . . . 9  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( Base `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  { (/) } )
4021, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  { (/) } )
415, 40syl5eleqr 2513 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  (/)  e.  (
Base `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) )
42 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  ( Base `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )
43 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  ( 0g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )
4442, 43, 14grpsubid 16681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) )  e.  Grp  /\  (/)  e.  ( Base `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) )  ->  ( (/) ( -g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) (/) )  =  ( 0g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) )
4538, 41, 44syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (/) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) )
(/) )  =  ( 0g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) )
4634, 45eqtrd 2462 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) )  =  ( 0g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) )
4746fveq2d 5829 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( {
<. (/) ,  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )
>. } `  ( ( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) ) )  =  ( { <. (/) ,  ( 1r `  (Poly1 `  R
) ) >. } `  ( 0g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ) )
4812mat0dim0 19434 . . . . . . 7  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( 0g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )  =  (/) )
4921, 48syl 17 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  (/) )
5049fveq2d 5829 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( {
<. (/) ,  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )
>. } `  ( 0g
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) )  =  ( { <. (/)
,  ( 1r `  (Poly1 `  R ) ) >. } `  (/) ) )
51 fvex 5835 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )  e.  _V
524, 51fvsn 6056 . . . . 5  |-  ( {
<. (/) ,  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )
>. } `  (/) )  =  ( 1r `  (Poly1 `  R ) )
5350, 52syl6eq 2478 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( {
<. (/) ,  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )
>. } `  ( 0g
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) )  =  ( 1r `  (Poly1 `  R ) ) )
5447, 53eqtrd 2462 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( {
<. (/) ,  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )
>. } `  ( ( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) ) )  =  ( 1r `  (Poly1 `  R ) ) )
5524, 54eqtrd 2462 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (
(/) maDet  (Poly1 `  R ) ) `
 ( ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R
) `  (/) ) ) )  =  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) ) )
5620, 55eqtrd 2462 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( C `
 (/) )  =  ( 1r `  (Poly1 `  R
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872   (/)c0 3704   {csn 3941   <.cop 3947   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Fincfn 7524   Basecbs 15064   .scvsca 15137   0gc0g 15281   Grpcgrp 16612   -gcsg 16614   1rcur 17678   Ringcrg 17723  var1cv1 18712  Poly1cpl1 18713   Mat cmat 19374   maDet cmdat 19551   matToPolyMat cmat2pmat 19670   CharPlyMat cchpmat 19792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-xor 1401  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-ot 3950  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-tpos 6928  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-sup 7909  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-word 12612  df-lsw 12613  df-concat 12614  df-s1 12615  df-substr 12616  df-splice 12617  df-reverse 12618  df-s2 12890  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-prds 15289  df-pws 15291  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-mulg 16619  df-subg 16757  df-ghm 16824  df-gim 16866  df-cntz 16914  df-oppg 16940  df-symg 16962  df-pmtr 17026  df-psgn 17075  df-evpm 17076  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-cring 17726  df-oppr 17794  df-dvdsr 17812  df-unit 17813  df-invr 17843  df-dvr 17854  df-rnghom 17886  df-drng 17920  df-subrg 17949  df-lmod 18036  df-lss 18099  df-sra 18338  df-rgmod 18339  df-psr 18523  df-mvr 18524  df-mpl 18525  df-opsr 18527  df-psr1 18716  df-vr1 18717  df-ply1 18718  df-cnfld 18914  df-zring 18982  df-zrh 19017  df-dsmm 19237  df-frlm 19252  df-mamu 19351  df-mat 19375  df-mdet 19552  df-mat2pmat 19673  df-chpmat 19793
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator