MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat0d Structured version   Unicode version

Theorem chpmat0d 19553
Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
chpmat0.c  |-  C  =  ( (/) CharPlyMat  R )
Assertion
Ref Expression
chpmat0d  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( C `
 (/) )  =  ( 1r `  (Poly1 `  R
) ) )

Proof of Theorem chpmat0d
StepHypRef Expression
1 0fin 7766 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
21a1i 11 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  (/)  e.  Fin )
3 id 22 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
4 0ex 4587 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
54snid 4060 . . . 4  |-  (/)  e.  { (/)
}
6 mat0dimbas0 19186 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( (/) Mat  R )
)  =  { (/) } )
75, 6syl5eleqr 2552 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  (/)  e.  (
Base `  ( (/) Mat  R ) ) )
8 chpmat0.c . . . 4  |-  C  =  ( (/) CharPlyMat  R )
9 eqid 2457 . . . 4  |-  ( (/) Mat  R )  =  ( (/) Mat  R )
10 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  ( (/) Mat  R )
)  =  ( Base `  ( (/) Mat  R )
)
11 eqid 2457 . . . 4  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
12 eqid 2457 . . . 4  |-  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) )  =  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) )
13 eqid 2457 . . . 4  |-  ( (/) maDet  (Poly1 `  R ) )  =  ( (/) maDet  (Poly1 `  R ) )
14 eqid 2457 . . . 4  |-  ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  ( -g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )
15 eqid 2457 . . . 4  |-  (var1 `  R
)  =  (var1 `  R
)
16 eqid 2457 . . . 4  |-  ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  ( .s `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )
17 eqid 2457 . . . 4  |-  ( (/) matToPolyMat  R
)  =  ( (/) matToPolyMat  R
)
18 eqid 2457 . . . 4  |-  ( 1r
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )
198, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18chpmatval 19550 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (/)  e.  (
Base `  ( (/) Mat  R ) ) )  ->  ( C `  (/) )  =  ( ( (/) maDet  (Poly1 `  R
) ) `  (
( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) ) ) )
202, 3, 7, 19syl3anc 1228 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( C `
 (/) )  =  ( ( (/) maDet  (Poly1 `  R ) ) `
 ( ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R
) `  (/) ) ) ) )
2111ply1ring 18507 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Poly1 `  R
)  e.  Ring )
22 mdet0pr 19312 . . . . 5  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( (/) maDet  (Poly1 `  R ) )  =  { <. (/) ,  ( 1r `  (Poly1 `  R
) ) >. } )
2322fveq1d 5874 . . . 4  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( ( (/) maDet  (Poly1 `  R
) ) `  (
( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) ) )  =  ( { <. (/) ,  ( 1r `  (Poly1 `  R
) ) >. } `  ( ( (var1 `  R
) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) ) ) )
2421, 23syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (
(/) maDet  (Poly1 `  R ) ) `
 ( ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R
) `  (/) ) ) )  =  ( {
<. (/) ,  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )
>. } `  ( ( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) ) ) )
2512mat0dimid 19188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )  =  (/) )
2621, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  (/) )
2726oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) )  =  ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) (/) ) )
28 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
2915, 11, 28vr1cl 18476 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  (var1 `  R
)  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
3012mat0dimscm 19189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (Poly1 `  R )  e. 
Ring  /\  (var1 `  R )  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( (var1 `  R
) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) (/) )  =  (/) )
3121, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) (/) )  =  (/) )
3227, 31eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) )  =  (/) )
33 d0mat2pmat 19457 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (
(/) matToPolyMat  R ) `  (/) )  =  (/) )
3432, 33oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) )  =  (
(/) ( -g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) (/) ) )
3512matring 19163 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  (Poly1 `  R )  e.  Ring )  ->  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) )  e.  Ring )
361, 21, 35sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) )  e. 
Ring )
37 ringgrp 17421 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/) Mat  (Poly1 `  R ) )  e.  Ring  ->  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) )  e. 
Grp )
3836, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) )  e. 
Grp )
39 mat0dimbas0 19186 . . . . . . . . 9  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( Base `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  { (/) } )
4021, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  { (/) } )
415, 40syl5eleqr 2552 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  (/)  e.  (
Base `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) )
42 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  ( Base `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )
43 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  ( 0g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )
4442, 43, 14grpsubid 16340 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) )  e.  Grp  /\  (/)  e.  ( Base `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) )  ->  ( (/) ( -g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) (/) )  =  ( 0g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) )
4538, 41, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (/) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) )
(/) )  =  ( 0g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) )
4634, 45eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) )  =  ( 0g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) )
4746fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( {
<. (/) ,  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )
>. } `  ( ( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) ) )  =  ( { <. (/) ,  ( 1r `  (Poly1 `  R
) ) >. } `  ( 0g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ) )
4812mat0dim0 19187 . . . . . . 7  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( 0g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) )  =  (/) )
4921, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) )  =  (/) )
5049fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( {
<. (/) ,  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )
>. } `  ( 0g
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) )  =  ( { <. (/)
,  ( 1r `  (Poly1 `  R ) ) >. } `  (/) ) )
51 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )  e.  _V
524, 51fvsn 6105 . . . . 5  |-  ( {
<. (/) ,  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )
>. } `  (/) )  =  ( 1r `  (Poly1 `  R ) )
5350, 52syl6eq 2514 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( {
<. (/) ,  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )
>. } `  ( 0g
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) )  =  ( 1r `  (Poly1 `  R ) ) )
5447, 53eqtrd 2498 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( {
<. (/) ,  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) )
>. } `  ( ( (var1 `  R ) ( .s `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R ) `  (/) ) ) )  =  ( 1r `  (Poly1 `  R ) ) )
5524, 54eqtrd 2498 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (
(/) maDet  (Poly1 `  R ) ) `
 ( ( (var1 `  R ) ( .s
`  ( (/) Mat  (Poly1 `  R
) ) ) ( 1r `  ( (/) Mat  (Poly1 `  R ) ) ) ) ( -g `  ( (/) Mat 
(Poly1 `
 R ) ) ) ( ( (/) matToPolyMat  R
) `  (/) ) ) )  =  ( 1r
`  (Poly1 `  R ) ) )
5620, 55eqtrd 2498 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( C `
 (/) )  =  ( 1r `  (Poly1 `  R
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   (/)c0 3793   {csn 4032   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   Basecbs 14735   .scvsca 14807   0gc0g 14948   Grpcgrp 16271   -gcsg 16273   1rcur 17371   Ringcrg 17416  var1cv1 18433  Poly1cpl1 18434   Mat cmat 19127   maDet cmdat 19304   matToPolyMat cmat2pmat 19423   CharPlyMat cchpmat 19545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-s1 12549  df-substr 12550  df-splice 12551  df-reverse 12552  df-s2 12825  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-sca 14819  df-vsca 14820  df-ip 14821  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-hom 14827  df-cco 14828  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-prds 14956  df-pws 14958  df-mre 15094  df-mrc 15095  df-acs 15097  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-mhm 16184  df-submnd 16185  df-grp 16275  df-minusg 16276  df-sbg 16277  df-mulg 16278  df-subg 16416  df-ghm 16483  df-gim 16525  df-cntz 16573  df-oppg 16599  df-symg 16621  df-pmtr 16685  df-psgn 16734  df-evpm 16735  df-cmn 17018  df-abl 17019  df-mgp 17360  df-ur 17372  df-ring 17418  df-cring 17419  df-oppr 17490  df-dvdsr 17508  df-unit 17509  df-invr 17539  df-dvr 17550  df-rnghom 17582  df-drng 17616  df-subrg 17645  df-lmod 17732  df-lss 17797  df-sra 18036  df-rgmod 18037  df-psr 18223  df-mvr 18224  df-mpl 18225  df-opsr 18227  df-psr1 18437  df-vr1 18438  df-ply1 18439  df-cnfld 18639  df-zring 18707  df-zrh 18759  df-dsmm 18981  df-frlm 18996  df-mamu 19104  df-mat 19128  df-mdet 19305  df-mat2pmat 19426  df-chpmat 19546
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator