MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpeq0 Structured version   Unicode version

Theorem chpeq0 23206
Description: The second Chebyshev function is zero iff its argument is less than  2. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpeq0  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(ψ `  A )  =  0  <->  A  <  2 ) )

Proof of Theorem chpeq0
StepHypRef Expression
1 2re 10596 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 lenlt 9654 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  <_  A  <->  -.  A  <  2 ) )
31, 2mpan 670 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  <->  -.  A  <  2 ) )
4 chprpcl 23205 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(ψ `  A )  e.  RR+ )
54rpne0d 11252 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(ψ `  A )  =/=  0 )
65ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  ->  (ψ `  A )  =/=  0
) )
73, 6sylbird 235 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  <  2  ->  (ψ `  A )  =/=  0 ) )
87necon4bd 2684 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(ψ `  A )  =  0  ->  A  <  2 ) )
9 reflcl 11892 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  e.  RR )
11 1red 9602 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
1  e.  RR )
12 2z 10887 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
13 fllt 11902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A  <  2  <->  ( |_ `  A )  <  2 ) )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  2  <->  ( |_ `  A )  <  2
) )
1514biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <  2 )
16 df-2 10585 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1715, 16syl6breq 4481 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <  ( 1  +  1 ) )
18 flcl 11891 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  e.  ZZ )
20 1z 10885 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
21 zleltp1 10904 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2219, 20, 21sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( ( |_ `  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2317, 22mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <_  1 )
24 chpwordi 23154 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  <_ 
1 )  ->  (ψ `  ( |_ `  A
) )  <_  (ψ `  1 ) )
2510, 11, 23, 24syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(ψ `  ( |_ `  A ) )  <_ 
(ψ `  1 )
)
26 chpfl 23147 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (ψ `  ( |_ `  A
) )  =  (ψ `  A ) )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(ψ `  ( |_ `  A ) )  =  (ψ `  A )
)
28 chp1 23164 . . . . . 6  |-  (ψ ` 
1 )  =  0
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(ψ `  1 )  =  0 )
3025, 27, 293brtr3d 4471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(ψ `  A )  <_  0 )
31 chpge0 23123 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  A )
)
3231adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
0  <_  (ψ `  A
) )
33 chpcl 23121 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (ψ `  A )  e.  RR )
3433adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(ψ `  A )  e.  RR )
35 0re 9587 . . . . 5  |-  0  e.  RR
36 letri3 9661 . . . . 5  |-  ( ( (ψ `  A )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
(ψ `  A )  =  0  <->  ( (ψ `  A )  <_  0  /\  0  <_  (ψ `  A ) ) ) )
3734, 35, 36sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( (ψ `  A
)  =  0  <->  (
(ψ `  A )  <_  0  /\  0  <_ 
(ψ `  A )
) ) )
3830, 32, 37mpbir2and 915 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(ψ `  A )  =  0 )
3938ex 434 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  2  ->  (ψ `  A )  =  0 ) )
408, 39impbid 191 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(ψ `  A )  =  0  <->  A  <  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    < clt 9619    <_ cle 9620   2c2 10576   ZZcz 10855   |_cfl 11886  ψcchp 23089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-dvds 13839  df-gcd 13995  df-prm 14068  df-pc 14211  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001  df-log 22667  df-cht 23093  df-vma 23094  df-chp 23095
This theorem is referenced by:  chteq0  23207  chpo1ubb  23389  selberg2lem  23458  pntrmax  23472  pntrsumo1  23473  pntrlog2bndlem2  23486  pntrlog2bndlem4  23488
  Copyright terms: Public domain W3C validator