MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdifbndlem2 Structured version   Unicode version

Theorem chpdifbndlem2 23604
Description: Lemma for chpdifbnd 23605. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdifbnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
chpdifbnd.1  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
chpdifbnd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
chpdifbnd.2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
chpdifbnd.c  |-  C  =  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
Assertion
Ref Expression
chpdifbndlem2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x
) ) ( (ψ `  y )  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, x, y, z, C    ph, x, y    A, c    z, B
Allowed substitution hints:    ph( z, m, c)    A( x, y, z, m)    B( x, y, m, c)

Proof of Theorem chpdifbndlem2
StepHypRef Expression
1 chpdifbnd.c . . 3  |-  C  =  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
2 chpdifbnd.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 chpdifbnd.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
4 1rp 11228 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
5 rpaddcl 11244 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )
63, 4, 5sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )
72, 6rpmulcld 11276 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  +  1 ) )  e.  RR+ )
87rpred 11260 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  +  1 ) )  e.  RR )
9 2rp 11229 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR+
10 rpmulcl 11245 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR+ )
119, 3, 10sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR+ )
1211rpred 11260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
133relogcld 22873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
1412, 13remulcld 9622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
158, 14readdcld 9621 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
16 00id 9753 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  =  0
17 0red 9595 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
187rpgt0d 11263 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  x.  ( A  + 
1 ) ) )
1911rprege0d 11267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) ) )
20 log1 22835 . . . . . . . 8  |-  ( log `  1 )  =  0
21 chpdifbnd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
22 logleb 22853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  A  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  A ) ) )
234, 3, 22sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  A  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  A
) ) )
2421, 23mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  1
)  <_  ( log `  A ) )
2520, 24syl5eqbrr 4467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  A ) )
26 mulge0 10071 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) )  /\  ( ( log `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  A ) ) )  ->  0  <_  (
( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
2719, 13, 25, 26syl12anc 1225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( log `  A
) ) )
2817, 17, 8, 14, 18, 27ltleaddd 10173 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  +  0 )  <  ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) ) ) )
2916, 28syl5eqbrr 4467 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) ) ) )
3015, 29elrpd 11258 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR+ )
311, 30syl5eqel 2533 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
323adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
3321adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  1  <_  A )
342adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
35 chpdifbnd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
3635adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
37 simprl 755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )
38 simprr 756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x )
) )
3932, 33, 34, 36, 1, 37, 38chpdifbndlem1 23603 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  (
(ψ `  y )  -  (ψ `  x )
)  <_  ( (
2  x.  ( y  -  x ) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x ) ) ) ) )
4039ralrimivva 2862 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  (
x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
41 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) )  =  ( C  x.  (
x  /  ( log `  x ) ) ) )
4241oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( 2  x.  (
y  -  x ) )  +  ( c  x.  ( x  / 
( log `  x
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  -  x ) )  +  ( C  x.  (
x  /  ( log `  x ) ) ) ) )
4342breq2d 4445 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) )  <-> 
( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) ) )
44432ralbidv 2885 . . 3  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  (
1 (,) +oo ) A. y  e.  (
x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) )  <->  A. x  e.  (
1 (,) +oo ) A. y  e.  (
x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) ) )
4544rspcev 3194 . 2  |-  ( ( C  e.  RR+  /\  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x
) ) ( (ψ `  y )  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
4631, 40, 45syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x
) ) ( (ψ `  y )  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   +oocpnf 9623    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805    / cdiv 10207   2c2 10586   RR+crp 11224   (,)cioo 11533   [,)cico 11535   [,]cicc 11536   ...cfz 11676   |_cfl 11901   abscabs 13041   sum_csu 13482   logclog 22807  Λcvma 23230  ψcchp 23231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-pi 13681  df-dvds 13859  df-gcd 14017  df-prm 14090  df-pc 14233  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22809  df-vma 23236  df-chp 23237
This theorem is referenced by:  chpdifbnd  23605
  Copyright terms: Public domain W3C validator