MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdifbndlem2 Structured version   Unicode version

Theorem chpdifbndlem2 23940
Description: Lemma for chpdifbnd 23941. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdifbnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
chpdifbnd.1  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
chpdifbnd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
chpdifbnd.2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
chpdifbnd.c  |-  C  =  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
Assertion
Ref Expression
chpdifbndlem2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x
) ) ( (ψ `  y )  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, c, x, y, z, C    ph, x, y    A, c    z, B
Allowed substitution hints:    ph( z, m, c)    A( x, y, z, m)    B( x, y, m, c)

Proof of Theorem chpdifbndlem2
StepHypRef Expression
1 chpdifbnd.c . . 3  |-  C  =  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
2 chpdifbnd.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 chpdifbnd.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
4 1rp 11225 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
5 rpaddcl 11242 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )
63, 4, 5sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR+ )
72, 6rpmulcld 11275 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  +  1 ) )  e.  RR+ )
87rpred 11259 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  +  1 ) )  e.  RR )
9 2rp 11226 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR+
10 rpmulcl 11243 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR+ )
119, 3, 10sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR+ )
1211rpred 11259 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
133relogcld 23179 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
1412, 13remulcld 9613 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
158, 14readdcld 9612 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
16 00id 9744 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  =  0
17 0red 9586 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
187rpgt0d 11262 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  x.  ( A  + 
1 ) ) )
1911rprege0d 11266 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) ) )
20 log1 23142 . . . . . . . 8  |-  ( log `  1 )  =  0
21 chpdifbnd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
22 logleb 23159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  A  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  A ) ) )
234, 3, 22sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  A  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  A
) ) )
2421, 23mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  1
)  <_  ( log `  A ) )
2520, 24syl5eqbrr 4473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  A ) )
26 mulge0 10066 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) )  /\  ( ( log `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  A ) ) )  ->  0  <_  (
( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
2719, 13, 25, 26syl12anc 1224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( log `  A
) ) )
2817, 17, 8, 14, 18, 27ltleaddd 10168 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  +  0 )  <  ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) ) ) )
2916, 28syl5eqbrr 4473 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) ) ) )
3015, 29elrpd 11256 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR+ )
311, 30syl5eqel 2546 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
323adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
3321adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  1  <_  A )
342adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
35 chpdifbnd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
3635adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
37 simprl 754 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )
38 simprr 755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x )
) )
3932, 33, 34, 36, 1, 37, 38chpdifbndlem1 23939 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ) )  ->  (
(ψ `  y )  -  (ψ `  x )
)  <_  ( (
2  x.  ( y  -  x ) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x ) ) ) ) )
4039ralrimivva 2875 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  (
x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
41 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) )  =  ( C  x.  (
x  /  ( log `  x ) ) ) )
4241oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( 2  x.  (
y  -  x ) )  +  ( c  x.  ( x  / 
( log `  x
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  -  x ) )  +  ( C  x.  (
x  /  ( log `  x ) ) ) ) )
4342breq2d 4451 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) )  <-> 
( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) ) )
44432ralbidv 2898 . . 3  |-  ( c  =  C  ->  ( A. x  e.  (
1 (,) +oo ) A. y  e.  (
x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) )  <->  A. x  e.  (
1 (,) +oo ) A. y  e.  (
x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) ) )
4544rspcev 3207 . 2  |-  ( ( C  e.  RR+  /\  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x
) ) ( (ψ `  y )  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( C  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
4631, 40, 45syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x
) ) ( (ψ `  y )  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   +oocpnf 9614    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   [,)cico 11534   [,]cicc 11535   ...cfz 11675   |_cfl 11908   abscabs 13152   sum_csu 13593   logclog 23111  Λcvma 23566  ψcchp 23567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-sin 13890  df-cos 13891  df-pi 13893  df-dvds 14074  df-gcd 14232  df-prm 14305  df-pc 14448  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440  df-log 23113  df-vma 23572  df-chp 23573
This theorem is referenced by:  chpdifbnd  23941
  Copyright terms: Public domain W3C validator