MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdifbndlem1 Structured version   Unicode version

Theorem chpdifbndlem1 22782
Description: Lemma for chpdifbnd 22784. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdifbnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
chpdifbnd.1  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
chpdifbnd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
chpdifbnd.2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
chpdifbnd.c  |-  C  =  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
chpdifbnd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 1 (,) +oo ) )
chpdifbnd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] ( A  x.  X ) ) )
Assertion
Ref Expression
chpdifbndlem1  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  -  (ψ `  X ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, m, C    z, X    z, Y    z, B
Allowed substitution hints:    ph( z, m)    A( z, m)    B( m)    X( m)    Y( m)

Proof of Theorem chpdifbndlem1
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpdifbnd.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] ( A  x.  X ) ) )
2 ioossre 11349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
3 chpdifbnd.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 1 (,) +oo ) )
42, 3sseldi 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
5 chpdifbnd.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
65rpred 11019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
76, 4remulcld 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  X
)  e.  RR )
8 elicc2 11352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( A  x.  X
)  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( X [,] ( A  x.  X )
)  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  <_  Y  /\  Y  <_  ( A  x.  X )
) ) )
94, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X [,] ( A  x.  X ) )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  X  <_  Y  /\  Y  <_  ( A  x.  X ) ) ) )
101, 9mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <_  Y  /\  Y  <_  ( A  x.  X ) ) )
1110simp1d 1000 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
12 chpcl 22442 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  RR  ->  (ψ `  Y )  e.  RR )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ψ `  Y )  e.  RR )
14 chpcl 22442 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  RR  ->  (ψ `  X )  e.  RR )
154, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ψ `  X )  e.  RR )
1613, 15resubcld 9768 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  -  (ψ `  X ) )  e.  RR )
17 0red 9379 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
18 1re 9377 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
20 0lt1 9854 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
22 eliooord 11347 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  X  /\  X  < +oo ) )
233, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <  X  /\  X  < +oo )
)
2423simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  X )
2517, 19, 4, 21, 24lttrd 9524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  X )
264, 25elrpd 11017 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
2726relogcld 22052 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR )
2816, 27remulcld 9406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  e.  RR )
29 2re 10383 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
3011, 4resubcld 9768 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
31 remulcl 9359 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  e.  RR )
3229, 30, 31sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y  -  X )
)  e.  RR )
3332, 27remulcld 9406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
34 chpdifbnd.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3534rpred 11019 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3611, 4readdcld 9405 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  +  X
)  e.  RR )
3735, 36remulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( Y  +  X )
)  e.  RR )
385relogcld 22052 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
39 remulcl 9359 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
4029, 38, 39sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
4140, 11remulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
)  e.  RR )
4237, 41readdcld 9405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  e.  RR )
4333, 42readdcld 9405 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X )
)  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) ) )  e.  RR )
44 chpdifbnd.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
45 peano2re 9534 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
466, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
4735, 46remulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  +  1 ) )  e.  RR )
48 remulcl 9359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
4929, 6, 48sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
5049, 38remulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
5147, 50readdcld 9405 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
5244, 51syl5eqel 2522 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5352, 4remulcld 9406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  e.  RR )
5433, 53readdcld 9405 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( C  x.  X ) )  e.  RR )
5513, 27remulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
56 fzfid 11787 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
5710simp2d 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
58 flword2 11653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <_  Y )  ->  ( |_ `  Y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  X ) ) )
594, 11, 57, 58syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  X ) ) )
60 fzss2 11490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  X ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  X
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) )
6261sselda 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )
63 elfznn 11470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) )  ->  n  e.  NN )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  n  e.  NN )
65 vmacl 22436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
67 nndivre 10349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( X  /  n
)  e.  RR )
684, 63, 67syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( X  /  n )  e.  RR )
69 chpcl 22442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( X  /  n
) )  e.  RR )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (ψ `  ( X  /  n ) )  e.  RR )
7166, 70remulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) )  e.  RR )
7262, 71syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) )  e.  RR )
7356, 72fsumrecl 13203 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  e.  RR )
7455, 73readdcld 9405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  e.  RR )
75 remulcl 9359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  X )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
7629, 27, 75sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
7776, 35resubcld 9768 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  e.  RR )
7877, 4remulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X )  e.  RR )
795, 26rpmulcld 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  X
)  e.  RR+ )
8079relogcld 22052 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  x.  X )
)  e.  RR )
81 remulcl 9359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  ( A  x.  X ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) )  e.  RR )
8229, 80, 81sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) )  e.  RR )
8335, 82readdcld 9405 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  e.  RR )
8483, 11remulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) ) )  x.  Y )  e.  RR )
8515, 27remulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
8685, 73readdcld 9405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  e.  RR )
8717, 4, 11, 25, 57ltletrd 9523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  Y )
8811, 87elrpd 11017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
8988relogcld 22052 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  Y
)  e.  RR )
9013, 89remulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  Y ) )  e.  RR )
91 fzfid 11787 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
92 nndivre 10349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( Y  /  n
)  e.  RR )
9311, 63, 92syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( Y  /  n )  e.  RR )
94 chpcl 22442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( Y  /  n
) )  e.  RR )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (ψ `  ( Y  /  n ) )  e.  RR )
9666, 95remulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) )  e.  RR )
9791, 96fsumrecl 13203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) )  e.  RR )
9890, 97readdcld 9405 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  e.  RR )
99 chpge0 22444 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  Y )
)
10011, 99syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  (ψ `  Y
) )
10126, 88logled 22056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  <_  Y  <->  ( log `  X )  <_  ( log `  Y
) ) )
10257, 101mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  <_  ( log `  Y ) )
10327, 89, 13, 100, 102lemul2ad 10265 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  X ) )  <_ 
( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  Y ) ) )
10491, 71fsumrecl 13203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  e.  RR )
105 vmage0 22439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
10664, 105syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
107 chpge0 22444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  /  n )  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  ( X  /  n ) ) )
10868, 107syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  0  <_  (ψ `  ( X  /  n
) ) )
10966, 70, 106, 108mulge0d 9908 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )
11091, 71, 109, 61fsumless 13251 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )
1114adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  X  e.  RR )
11211adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  Y  e.  RR )
11364nnrpd 11018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
11457adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  X  <_  Y )
115111, 112, 113, 114lediv1dd 11073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( X  /  n )  <_  ( Y  /  n ) )
116 chpwordi 22475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  /  n
)  e.  RR  /\  ( Y  /  n
)  e.  RR  /\  ( X  /  n
)  <_  ( Y  /  n ) )  -> 
(ψ `  ( X  /  n ) )  <_ 
(ψ `  ( Y  /  n ) ) )
11768, 93, 115, 116syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (ψ `  ( X  /  n ) )  <_  (ψ `  ( Y  /  n ) ) )
11870, 95, 66, 106, 117lemul2ad 10265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) )  <_ 
( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) ) )
11991, 71, 96, 118fsumle 13254 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )
12073, 104, 97, 110, 119letrd 9520 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )
12155, 73, 90, 97, 103, 120le2addd 9949 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  <_  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) ) )
12298, 88rerpdivcld 11046 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  e.  RR )
123 remulcl 9359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  Y )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  Y ) )  e.  RR )
12429, 89, 123sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  Y ) )  e.  RR )
12535, 124readdcld 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  e.  RR )
126122, 124resubcld 9768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  e.  RR )
127126recnd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  e.  CC )
128127abscld 12914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )  e.  RR )
129126leabsd 12893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  <_  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) ) )
13019, 4, 24ltled 9514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  X )
13119, 4, 11, 130, 57letrd 9520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  Y )
132 elicopnf 11377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( Y  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  1  <_  Y ) ) )
13318, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  1  <_  Y ) )
13411, 131, 133sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 1 [,) +oo ) )
135 chpdifbnd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
136 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  Y  ->  (ψ `  z )  =  (ψ `  Y ) )
137 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  Y  ->  ( log `  z )  =  ( log `  Y
) )
138136, 137oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  Y  ->  (
(ψ `  z )  x.  ( log `  z
) )  =  ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) ) )
139 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (Λ `  m )  =  (Λ `  n ) )
140 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  (
z  /  m )  =  ( z  /  n ) )
141140fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (ψ `  ( z  /  m
) )  =  (ψ `  ( z  /  n
) ) )
142139, 141oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
(Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) ) )
143142cbvsumv 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( z  /  n ) ) )
144 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  Y  ->  ( |_ `  z )  =  ( |_ `  Y
) )
145144oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  Y  ->  (
1 ... ( |_ `  z ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )
146 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  =  Y  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  z  =  Y )
147146oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =  Y  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( z  /  n )  =  ( Y  /  n ) )
148147fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  =  Y  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (ψ `  (
z  /  n ) )  =  (ψ `  ( Y  /  n
) ) )
149148oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  =  Y  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )
150145, 149sumeq12rdv 13176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  Y  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) ) )
151143, 150syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  Y  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) ) )
152138, 151oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  Y  ->  (
( (ψ `  z
)  x.  ( log `  z ) )  + 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) ) )  =  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) ) )
153 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  Y  ->  z  =  Y )
154152, 153oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  Y  ->  (
( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  =  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y ) )
155137oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  Y  ->  (
2  x.  ( log `  z ) )  =  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )
156154, 155oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  Y  ->  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )
157156fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  Y  ->  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  z
)  x.  ( log `  z ) )  + 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) ) )
158157breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  Y  ->  (
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B  <->  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )  <_  B
) )
159158rspcv 3064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )  <_  B
) )
160134, 135, 159sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )  <_  B
)
161126, 128, 35, 129, 160letrd 9520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  <_  B )
162122, 124, 35lesubaddd 9928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  Y ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y
) ) )  <_  B 
<->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  <_ 
( B  +  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) ) )
163161, 162mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  <_ 
( B  +  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )
16410simp3d 1002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( A  x.  X ) )
16588, 79logled 22056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  <_  ( A  x.  X )  <->  ( log `  Y )  <_  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )
166164, 165mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  Y
)  <_  ( log `  ( A  x.  X
) ) )
167 2pos 10405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
16829, 167pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
170 lemul2 10174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  Y
)  e.  RR  /\  ( log `  ( A  x.  X ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( log `  Y )  <_  ( log `  ( A  x.  X ) )  <->  ( 2  x.  ( log `  Y
) )  <_  (
2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) ) )
17189, 80, 169, 170syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Y
)  <_  ( log `  ( A  x.  X
) )  <->  ( 2  x.  ( log `  Y
) )  <_  (
2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) ) )
172166, 171mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  Y ) )  <_  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )
173124, 82, 35, 172leadd2dd 9946 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  <_  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) ) ) )
174122, 125, 83, 163, 173letrd 9520 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  <_ 
( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) ) )
17598, 83, 88ledivmul2d 11069 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  <_ 
( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  <-> 
( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  <_  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y ) ) )
176174, 175mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  <_  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y ) )
17774, 98, 84, 121, 176letrd 9520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  <_  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y ) )
178 elicopnf 11377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( X  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  1  <_  X ) ) )
17918, 178ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  1  <_  X ) )
1804, 130, 179sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 1 [,) +oo ) )
181 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  X  ->  (ψ `  z )  =  (ψ `  X ) )
182 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  X  ->  ( log `  z )  =  ( log `  X
) )
183181, 182oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  X  ->  (
(ψ `  z )  x.  ( log `  z
) )  =  ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) ) )
184 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  X  ->  ( |_ `  z )  =  ( |_ `  X
) )
185184oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  X  ->  (
1 ... ( |_ `  z ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )
186 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  =  X  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  z  =  X )
187186oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  =  X  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  ( z  /  n )  =  ( X  /  n ) )
188187fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =  X  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  (ψ `  (
z  /  n ) )  =  (ψ `  ( X  /  n
) ) )
189188oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =  X  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )
190185, 189sumeq12rdv 13176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  X  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )
191143, 190syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  X  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )
192183, 191oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  X  ->  (
( (ψ `  z
)  x.  ( log `  z ) )  + 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) ) )  =  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )
193 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  X  ->  z  =  X )
194192, 193oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  X  ->  (
( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  =  ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X ) )
195182oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  X  ->  (
2  x.  ( log `  z ) )  =  ( 2  x.  ( log `  X ) ) )
196194, 195oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )
197196fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  z
)  x.  ( log `  z ) )  + 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) ) )
198197breq1d 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  (
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B  <->  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )  <_  B
) )
199198rspcv 3064 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )  <_  B
) )
200180, 135, 199sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )  <_  B
)
20186, 26rerpdivcld 11046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  e.  RR )
202201, 76, 35absdifled 12913 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )  <_  B  <->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  <_  ( (
( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )  /  X )  /\  ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  <_ 
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  B
) ) ) )
203200, 202mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  <_  ( (
( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )  /  X )  /\  ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  <_ 
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  B
) ) )
204203simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  <_  ( (
( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )  /  X ) )
20577, 86, 26lemuldivd 11064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  -  B )  x.  X
)  <_  ( (
(ψ `  X )  x.  ( log `  X
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  <_  ( (
( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )  /  X ) ) )
206204, 205mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X )  <_  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )
20774, 78, 84, 86, 177, 206le2subd 9950 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  -  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )  <_  ( (
( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  x.  Y )  -  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X ) ) )
20855recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  X ) )  e.  CC )
20985recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  e.  CC )
21073recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  e.  CC )
211208, 209, 210pnpcan2d 9749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  -  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )  =  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X
) )  -  (
(ψ `  X )  x.  ( log `  X
) ) ) )
21213recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (ψ `  Y )  e.  CC )
21315recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (ψ `  X )  e.  CC )
21427recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  CC )
215212, 213, 214subdird 9793 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  =  ( ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  X ) )  -  ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) ) ) )
216211, 215eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  -  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )  =  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X )
)  x.  ( log `  X ) ) )
21776, 11remulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  Y
)  e.  RR )
218217recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  Y
)  e.  CC )
21935, 40readdcld 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
220219, 11remulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  e.  RR )
221220recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  e.  CC )
22276, 4remulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
)  e.  RR )
223222recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
)  e.  CC )
22435, 4remulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  X
)  e.  RR )
225224recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  X
)  e.  CC )
226225negcld 9698 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( B  x.  X )  e.  CC )
227218, 221, 223, 226addsub4d 9758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  +  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y ) )  -  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X )  +  -u ( B  x.  X
) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  -  (
( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X ) )  +  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  -  -u ( B  x.  X )
) ) )
2285, 26relogmuld 22054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  x.  X )
)  =  ( ( log `  A )  +  ( log `  X
) ) )
22938recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
230229, 214addcomd 9563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  ( log `  X ) )  =  ( ( log `  X
)  +  ( log `  A ) ) )
231228, 230eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  x.  X )
)  =  ( ( log `  X )  +  ( log `  A
) ) )
232231oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( log `  X
)  +  ( log `  A ) ) ) )
233 2cnd 10386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
234233, 214, 229adddid 9402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( log `  X
)  +  ( log `  A ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) )
235232, 234eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) )
236235oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  =  ( B  +  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
23735recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
23876recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  X ) )  e.  CC )
23940recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
240237, 238, 239add12d 9583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
241236, 240eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
242241oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) ) )  x.  Y )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  +  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  Y ) )
243219recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
24411recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
245238, 243, 244adddird 9403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  Y )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  Y
)  +  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y ) ) )
246242, 245eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) ) )  x.  Y )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  +  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y ) ) )
2474recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
248238, 237, 247subdird 9793 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X )  -  ( B  x.  X )
) )
249223, 225negsubd 9717 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
)  +  -u ( B  x.  X )
)  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X )  -  ( B  x.  X
) ) )
250248, 249eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X )  +  -u ( B  x.  X
) ) )
251246, 250oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y )  -  (
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  Y
)  +  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y ) )  -  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
)  +  -u ( B  x.  X )
) ) )
25230recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
253233, 252, 214mul32d 9571 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  ( Y  -  X )
) )
254238, 244, 247subdid 9792 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  -  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
) ) )
255253, 254eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  -  (
( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X ) ) )
25635, 11remulcld 9406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  Y
)  e.  RR )
257256recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  Y
)  e.  CC )
25841recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
)  e.  CC )
259257, 225, 258add32d 9584 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  Y )  +  ( B  x.  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  =  ( ( ( B  x.  Y )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
) )  +  ( B  x.  X ) ) )
260237, 244, 247adddid 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( Y  +  X )
)  =  ( ( B  x.  Y )  +  ( B  x.  X ) ) )
261260oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  =  ( ( ( B  x.  Y )  +  ( B  x.  X ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
) ) )
262237, 239, 244adddird 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  =  ( ( B  x.  Y )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
) ) )
263262oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  +  ( B  x.  X ) )  =  ( ( ( B  x.  Y
)  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  +  ( B  x.  X
) ) )
264259, 261, 2633eqtr4d 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  =  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  +  ( B  x.  X ) ) )
265221, 225subnegd 9718 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  -  -u ( B  x.  X )
)  =  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  +  ( B  x.  X
) ) )
266264, 265eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  =  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  -  -u ( B  x.  X )
) )
267255, 266oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X )
)  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  -  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
) )  +  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  -  -u ( B  x.  X ) ) ) )
268227, 251, 2673eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y )  -  (
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X )
)  x.  ( log `  X ) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) ) ) )
269207, 216, 2683brtr3d 4316 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  <_  (
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
) ) ) )
27047, 4remulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  x.  X
)  e.  RR )
27150, 4remulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
)  e.  RR )
27211, 7, 4, 164leadd1dd 9945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  +  X
)  <_  ( ( A  x.  X )  +  X ) )
2736recnd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
27419recnd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
275273, 274, 247adddird 9403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  x.  X
)  =  ( ( A  x.  X )  +  ( 1  x.  X ) ) )
276247mulid2d 9396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  X
)  =  X )
277276oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  X )  +  ( 1  x.  X ) )  =  ( ( A  x.  X )  +  X ) )
278275, 277eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  x.  X
)  =  ( ( A  x.  X )  +  X ) )
279272, 278breqtrrd 4313 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  +  X
)  <_  ( ( A  +  1 )  x.  X ) )
28046, 4remulcld 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  x.  X
)  e.  RR )
28136, 280, 34lemul2d 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  X )  <_  (
( A  +  1 )  x.  X )  <-> 
( B  x.  ( Y  +  X )
)  <_  ( B  x.  ( ( A  + 
1 )  x.  X
) ) ) )
282279, 281mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( Y  +  X )
)  <_  ( B  x.  ( ( A  + 
1 )  x.  X
) ) )
28346recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
284237, 283, 247mulassd 9401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  x.  X
)  =  ( B  x.  ( ( A  +  1 )  x.  X ) ) )
285282, 284breqtrrd 4313 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( Y  +  X )
)  <_  ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  x.  X ) )
28629a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
287 0le2 10404 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  2
288287a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  2 )
289 log1 22014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  1 )  =  0
290 chpdifbnd.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
291 1rp 10987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
292 logleb 22032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  A  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  A ) ) )
293291, 5, 292sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  A  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  A
) ) )
294290, 293mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  1
)  <_  ( log `  A ) )
295289, 294syl5eqbrr 4321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  A ) )
296286, 38, 288, 295mulge0d 9908 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )
29711, 7, 40, 296, 164lemul2ad 10265 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
)  <_  ( (
2  x.  ( log `  A ) )  x.  ( A  x.  X
) ) )
29849recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  CC )
299298, 229, 247mulassd 9401 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
)  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( log `  A )  x.  X
) ) )
300233, 273, 229, 247mul4d 9573 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  (
( log `  A
)  x.  X ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  ( A  x.  X
) ) )
301299, 300eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
)  =  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  ( A  x.  X
) ) )
302297, 301breqtrrd 4313 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
)  <_  ( (
( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) )  x.  X ) )
30337, 41, 270, 271, 285, 302le2addd 9949 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  <_  ( ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  x.  X )  +  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
) ) )
30444oveq1i 6096 . . . . . . 7  |-  ( C  x.  X )  =  ( ( ( B  x.  ( A  + 
1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) ) )  x.  X )
30547recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  +  1 ) )  e.  CC )
30650recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
307305, 306, 247adddird 9403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( A  + 
1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) ) )  x.  X )  =  ( ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  x.  X )  +  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
) ) )
308304, 307syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  =  ( ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  x.  X )  +  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
) ) )
309303, 308breqtrrd 4313 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  <_  ( C  x.  X ) )
31042, 53, 33, 309leadd2dd 9946 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X )
)  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) ) )  <_  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( C  x.  X ) ) )
31128, 43, 54, 269, 310letrd 9520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  <_  (
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  +  ( C  x.  X ) ) )
31232recnd 9404 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y  -  X )
)  e.  CC )
3134, 24rplogcld 22058 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR+ )
3144, 313rerpdivcld 11046 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  /  ( log `  X ) )  e.  RR )
31552, 314remulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) )  e.  RR )
316315recnd 9404 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) )  e.  CC )
317312, 316, 214adddird 9403 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  x.  ( log `  X
) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  +  ( ( C  x.  ( X  / 
( log `  X
) ) )  x.  ( log `  X
) ) ) )
31852recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
319314recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  /  ( log `  X ) )  e.  CC )
320318, 319, 214mulassd 9401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( X  /  ( log `  X ) ) )  x.  ( log `  X ) )  =  ( C  x.  (
( X  /  ( log `  X ) )  x.  ( log `  X
) ) ) )
321313rpne0d 11024 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  =/=  0 )
322247, 214, 321divcan1d 10100 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  / 
( log `  X
) )  x.  ( log `  X ) )  =  X )
323322oveq2d 6102 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( X  /  ( log `  X ) )  x.  ( log `  X
) ) )  =  ( C  x.  X
) )
324320, 323eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( X  /  ( log `  X ) ) )  x.  ( log `  X ) )  =  ( C  x.  X
) )
325324oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) )  x.  ( log `  X
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( C  x.  X ) ) )
326317, 325eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  x.  ( log `  X
) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  +  ( C  x.  X ) ) )
327311, 326breqtrrd 4313 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  <_  (
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  x.  ( log `  X
) ) )
32832, 315readdcld 9405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  e.  RR )
32916, 328, 313lemul1d 11058 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  <-> 
( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  <_  (
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  x.  ( log `  X
) ) ) )
330327, 329mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  -  (ψ `  X ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   +oocpnf 9407    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   (,)cioo 11292   [,)cico 11294   [,]cicc 11295   ...cfz 11429   |_cfl 11632   abscabs 12715   sum_csu 13155   logclog 21986  Λcvma 22409  ψcchp 22410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988  df-vma 22415  df-chp 22416
This theorem is referenced by:  chpdifbndlem2  22783
  Copyright terms: Public domain W3C validator