MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdifbndlem1 Structured version   Unicode version

Theorem chpdifbndlem1 23494
Description: Lemma for chpdifbnd 23496. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdifbnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
chpdifbnd.1  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
chpdifbnd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
chpdifbnd.2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
chpdifbnd.c  |-  C  =  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
chpdifbnd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 1 (,) +oo ) )
chpdifbnd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] ( A  x.  X ) ) )
Assertion
Ref Expression
chpdifbndlem1  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  -  (ψ `  X ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, m, C    z, X    z, Y    z, B
Allowed substitution hints:    ph( z, m)    A( z, m)    B( m)    X( m)    Y( m)

Proof of Theorem chpdifbndlem1
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpdifbnd.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] ( A  x.  X ) ) )
2 ioossre 11586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
3 chpdifbnd.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 1 (,) +oo ) )
42, 3sseldi 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
5 chpdifbnd.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
65rpred 11256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
76, 4remulcld 9624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  X
)  e.  RR )
8 elicc2 11589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( A  x.  X
)  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( X [,] ( A  x.  X )
)  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  <_  Y  /\  Y  <_  ( A  x.  X )
) ) )
94, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X [,] ( A  x.  X ) )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  X  <_  Y  /\  Y  <_  ( A  x.  X ) ) ) )
101, 9mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <_  Y  /\  Y  <_  ( A  x.  X ) ) )
1110simp1d 1008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
12 chpcl 23154 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  RR  ->  (ψ `  Y )  e.  RR )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ψ `  Y )  e.  RR )
14 chpcl 23154 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  RR  ->  (ψ `  X )  e.  RR )
154, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ψ `  X )  e.  RR )
1613, 15resubcld 9987 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  -  (ψ `  X ) )  e.  RR )
17 0red 9597 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
18 1re 9595 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
20 0lt1 10075 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
22 eliooord 11584 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  X  /\  X  < +oo ) )
233, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <  X  /\  X  < +oo )
)
2423simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  X )
2517, 19, 4, 21, 24lttrd 9742 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  X )
264, 25elrpd 11254 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
2726relogcld 22764 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR )
2816, 27remulcld 9624 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  e.  RR )
29 2re 10605 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
3011, 4resubcld 9987 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
31 remulcl 9577 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  e.  RR )
3229, 30, 31sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y  -  X )
)  e.  RR )
3332, 27remulcld 9624 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
34 chpdifbnd.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3534rpred 11256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3611, 4readdcld 9623 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  +  X
)  e.  RR )
3735, 36remulcld 9624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( Y  +  X )
)  e.  RR )
385relogcld 22764 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
39 remulcl 9577 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
4029, 38, 39sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
4140, 11remulcld 9624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
)  e.  RR )
4237, 41readdcld 9623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  e.  RR )
4333, 42readdcld 9623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X )
)  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) ) )  e.  RR )
44 chpdifbnd.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
45 peano2re 9752 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
466, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
4735, 46remulcld 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  +  1 ) )  e.  RR )
48 remulcl 9577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
4929, 6, 48sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
5049, 38remulcld 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
5147, 50readdcld 9623 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
5244, 51syl5eqel 2559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5352, 4remulcld 9624 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  e.  RR )
5433, 53readdcld 9623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( C  x.  X ) )  e.  RR )
5513, 27remulcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
56 fzfid 12051 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
5710simp2d 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
58 flword2 11917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <_  Y )  ->  ( |_ `  Y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  X ) ) )
594, 11, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  X ) ) )
60 fzss2 11723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  X ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  X
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) )
6261sselda 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )
63 elfznn 11714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) )  ->  n  e.  NN )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  n  e.  NN )
65 vmacl 23148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
67 nndivre 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( X  /  n
)  e.  RR )
684, 63, 67syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( X  /  n )  e.  RR )
69 chpcl 23154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( X  /  n
) )  e.  RR )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (ψ `  ( X  /  n ) )  e.  RR )
7166, 70remulcld 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) )  e.  RR )
7262, 71syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) )  e.  RR )
7356, 72fsumrecl 13519 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  e.  RR )
7455, 73readdcld 9623 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  e.  RR )
75 remulcl 9577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  X )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
7629, 27, 75sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
7776, 35resubcld 9987 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  e.  RR )
7877, 4remulcld 9624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X )  e.  RR )
795, 26rpmulcld 11272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  X
)  e.  RR+ )
8079relogcld 22764 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  x.  X )
)  e.  RR )
81 remulcl 9577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  ( A  x.  X ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) )  e.  RR )
8229, 80, 81sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) )  e.  RR )
8335, 82readdcld 9623 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  e.  RR )
8483, 11remulcld 9624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) ) )  x.  Y )  e.  RR )
8515, 27remulcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
8685, 73readdcld 9623 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  e.  RR )
8717, 4, 11, 25, 57ltletrd 9741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  Y )
8811, 87elrpd 11254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
8988relogcld 22764 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  Y
)  e.  RR )
9013, 89remulcld 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  Y ) )  e.  RR )
91 fzfid 12051 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
92 nndivre 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( Y  /  n
)  e.  RR )
9311, 63, 92syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( Y  /  n )  e.  RR )
94 chpcl 23154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( Y  /  n
) )  e.  RR )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (ψ `  ( Y  /  n ) )  e.  RR )
9666, 95remulcld 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) )  e.  RR )
9791, 96fsumrecl 13519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) )  e.  RR )
9890, 97readdcld 9623 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  e.  RR )
99 chpge0 23156 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  Y )
)
10011, 99syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  (ψ `  Y
) )
10126, 88logled 22768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  <_  Y  <->  ( log `  X )  <_  ( log `  Y
) ) )
10257, 101mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  <_  ( log `  Y ) )
10327, 89, 13, 100, 102lemul2ad 10486 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  X ) )  <_ 
( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  Y ) ) )
10491, 71fsumrecl 13519 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  e.  RR )
105 vmage0 23151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
10664, 105syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
107 chpge0 23156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  /  n )  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  ( X  /  n ) ) )
10868, 107syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  0  <_  (ψ `  ( X  /  n
) ) )
10966, 70, 106, 108mulge0d 10129 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )
11091, 71, 109, 61fsumless 13573 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )
1114adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  X  e.  RR )
11211adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  Y  e.  RR )
11364nnrpd 11255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
11457adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  X  <_  Y )
115111, 112, 113, 114lediv1dd 11310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( X  /  n )  <_  ( Y  /  n ) )
116 chpwordi 23187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  /  n
)  e.  RR  /\  ( Y  /  n
)  e.  RR  /\  ( X  /  n
)  <_  ( Y  /  n ) )  -> 
(ψ `  ( X  /  n ) )  <_ 
(ψ `  ( Y  /  n ) ) )
11768, 93, 115, 116syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (ψ `  ( X  /  n ) )  <_  (ψ `  ( Y  /  n ) ) )
11870, 95, 66, 106, 117lemul2ad 10486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) )  <_ 
( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) ) )
11991, 71, 96, 118fsumle 13576 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )
12073, 104, 97, 110, 119letrd 9738 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )
12155, 73, 90, 97, 103, 120le2addd 10170 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  <_  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) ) )
12298, 88rerpdivcld 11283 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  e.  RR )
123 remulcl 9577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  Y )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  Y ) )  e.  RR )
12429, 89, 123sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  Y ) )  e.  RR )
12535, 124readdcld 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  e.  RR )
126122, 124resubcld 9987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  e.  RR )
127126recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  e.  CC )
128127abscld 13230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )  e.  RR )
129126leabsd 13209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  <_  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) ) )
13019, 4, 24ltled 9732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  X )
13119, 4, 11, 130, 57letrd 9738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  Y )
132 elicopnf 11620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( Y  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  1  <_  Y ) ) )
13318, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  1  <_  Y ) )
13411, 131, 133sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 1 [,) +oo ) )
135 chpdifbnd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
136 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  Y  ->  (ψ `  z )  =  (ψ `  Y ) )
137 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  Y  ->  ( log `  z )  =  ( log `  Y
) )
138136, 137oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  Y  ->  (
(ψ `  z )  x.  ( log `  z
) )  =  ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) ) )
139 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (Λ `  m )  =  (Λ `  n ) )
140 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  (
z  /  m )  =  ( z  /  n ) )
141140fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (ψ `  ( z  /  m
) )  =  (ψ `  ( z  /  n
) ) )
142139, 141oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
(Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) ) )
143142cbvsumv 13481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( z  /  n ) ) )
144 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  Y  ->  ( |_ `  z )  =  ( |_ `  Y
) )
145144oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  Y  ->  (
1 ... ( |_ `  z ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )
146 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  =  Y  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  z  =  Y )
147146oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =  Y  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( z  /  n )  =  ( Y  /  n ) )
148147fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  =  Y  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (ψ `  (
z  /  n ) )  =  (ψ `  ( Y  /  n
) ) )
149148oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  =  Y  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )
150145, 149sumeq12rdv 13492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  Y  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) ) )
151143, 150syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  Y  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) ) )
152138, 151oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  Y  ->  (
( (ψ `  z
)  x.  ( log `  z ) )  + 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) ) )  =  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) ) )
153 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  Y  ->  z  =  Y )
154152, 153oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  Y  ->  (
( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  =  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y ) )
155137oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  Y  ->  (
2  x.  ( log `  z ) )  =  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )
156154, 155oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  Y  ->  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )
157156fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  Y  ->  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  z
)  x.  ( log `  z ) )  + 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) ) )
158157breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  Y  ->  (
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B  <->  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )  <_  B
) )
159158rspcv 3210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )  <_  B
) )
160134, 135, 159sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )  <_  B
)
161126, 128, 35, 129, 160letrd 9738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  <_  B )
162122, 124, 35lesubaddd 10149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  Y ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y
) ) )  <_  B 
<->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  <_ 
( B  +  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) ) )
163161, 162mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  <_ 
( B  +  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )
16410simp3d 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( A  x.  X ) )
16588, 79logled 22768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  <_  ( A  x.  X )  <->  ( log `  Y )  <_  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )
166164, 165mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  Y
)  <_  ( log `  ( A  x.  X
) ) )
167 2pos 10627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
16829, 167pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
170 lemul2 10395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  Y
)  e.  RR  /\  ( log `  ( A  x.  X ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( log `  Y )  <_  ( log `  ( A  x.  X ) )  <->  ( 2  x.  ( log `  Y
) )  <_  (
2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) ) )
17189, 80, 169, 170syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Y
)  <_  ( log `  ( A  x.  X
) )  <->  ( 2  x.  ( log `  Y
) )  <_  (
2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) ) )
172166, 171mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  Y ) )  <_  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )
173124, 82, 35, 172leadd2dd 10167 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  <_  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) ) ) )
174122, 125, 83, 163, 173letrd 9738 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  <_ 
( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) ) )
17598, 83, 88ledivmul2d 11306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  <_ 
( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  <-> 
( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  <_  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y ) ) )
176174, 175mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  <_  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y ) )
17774, 98, 84, 121, 176letrd 9738 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  <_  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y ) )
178 elicopnf 11620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( X  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  1  <_  X ) ) )
17918, 178ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  1  <_  X ) )
1804, 130, 179sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 1 [,) +oo ) )
181 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  X  ->  (ψ `  z )  =  (ψ `  X ) )
182 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  X  ->  ( log `  z )  =  ( log `  X
) )
183181, 182oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  X  ->  (
(ψ `  z )  x.  ( log `  z
) )  =  ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) ) )
184 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  X  ->  ( |_ `  z )  =  ( |_ `  X
) )
185184oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  X  ->  (
1 ... ( |_ `  z ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )
186 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  =  X  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  z  =  X )
187186oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  =  X  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  ( z  /  n )  =  ( X  /  n ) )
188187fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =  X  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  (ψ `  (
z  /  n ) )  =  (ψ `  ( X  /  n
) ) )
189188oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =  X  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )
190185, 189sumeq12rdv 13492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  X  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )
191143, 190syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  X  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )
192183, 191oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  X  ->  (
( (ψ `  z
)  x.  ( log `  z ) )  + 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) ) )  =  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )
193 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  X  ->  z  =  X )
194192, 193oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  X  ->  (
( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  =  ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X ) )
195182oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  X  ->  (
2  x.  ( log `  z ) )  =  ( 2  x.  ( log `  X ) ) )
196194, 195oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )
197196fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  z
)  x.  ( log `  z ) )  + 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) ) )
198197breq1d 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  (
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B  <->  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )  <_  B
) )
199198rspcv 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )  <_  B
) )
200180, 135, 199sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )  <_  B
)
20186, 26rerpdivcld 11283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  e.  RR )
202201, 76, 35absdifled 13229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )  <_  B  <->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  <_  ( (
( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )  /  X )  /\  ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  <_ 
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  B
) ) ) )
203200, 202mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  <_  ( (
( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )  /  X )  /\  ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  <_ 
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  B
) ) )
204203simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  <_  ( (
( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )  /  X ) )
20577, 86, 26lemuldivd 11301 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  -  B )  x.  X
)  <_  ( (
(ψ `  X )  x.  ( log `  X
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  <_  ( (
( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )  /  X ) ) )
206204, 205mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X )  <_  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )
20774, 78, 84, 86, 177, 206le2subd 10171 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  -  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )  <_  ( (
( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  x.  Y )  -  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X ) ) )
20855recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  X ) )  e.  CC )
20985recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  e.  CC )
21073recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  e.  CC )
211208, 209, 210pnpcan2d 9968 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  -  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )  =  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X
) )  -  (
(ψ `  X )  x.  ( log `  X
) ) ) )
21213recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (ψ `  Y )  e.  CC )
21315recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (ψ `  X )  e.  CC )
21427recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  CC )
215212, 213, 214subdird 10013 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  =  ( ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  X ) )  -  ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) ) ) )
216211, 215eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  -  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )  =  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X )
)  x.  ( log `  X ) ) )
21776, 11remulcld 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  Y
)  e.  RR )
218217recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  Y
)  e.  CC )
21935, 40readdcld 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
220219, 11remulcld 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  e.  RR )
221220recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  e.  CC )
22276, 4remulcld 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
)  e.  RR )
223222recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
)  e.  CC )
22435, 4remulcld 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  X
)  e.  RR )
225224recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  X
)  e.  CC )
226225negcld 9917 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( B  x.  X )  e.  CC )
227218, 221, 223, 226addsub4d 9977 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  +  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y ) )  -  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X )  +  -u ( B  x.  X
) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  -  (
( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X ) )  +  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  -  -u ( B  x.  X )
) ) )
2285, 26relogmuld 22766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  x.  X )
)  =  ( ( log `  A )  +  ( log `  X
) ) )
22938recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
230229, 214addcomd 9781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  ( log `  X ) )  =  ( ( log `  X
)  +  ( log `  A ) ) )
231228, 230eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  x.  X )
)  =  ( ( log `  X )  +  ( log `  A
) ) )
232231oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( log `  X
)  +  ( log `  A ) ) ) )
233 2cnd 10608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
234233, 214, 229adddid 9620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( log `  X
)  +  ( log `  A ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) )
235232, 234eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) )
236235oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  =  ( B  +  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
23735recnd 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
23876recnd 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  X ) )  e.  CC )
23940recnd 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
240237, 238, 239add12d 9801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
241236, 240eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
242241oveq1d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) ) )  x.  Y )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  +  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  Y ) )
243219recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
24411recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
245238, 243, 244adddird 9621 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  Y )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  Y
)  +  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y ) ) )
246242, 245eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) ) )  x.  Y )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  +  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y ) ) )
2474recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
248238, 237, 247subdird 10013 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X )  -  ( B  x.  X )
) )
249223, 225negsubd 9936 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
)  +  -u ( B  x.  X )
)  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X )  -  ( B  x.  X
) ) )
250248, 249eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X )  +  -u ( B  x.  X
) ) )
251246, 250oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y )  -  (
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  Y
)  +  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y ) )  -  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
)  +  -u ( B  x.  X )
) ) )
25230recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
253233, 252, 214mul32d 9789 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  ( Y  -  X )
) )
254238, 244, 247subdid 10012 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  -  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
) ) )
255253, 254eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  -  (
( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X ) ) )
25635, 11remulcld 9624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  Y
)  e.  RR )
257256recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  Y
)  e.  CC )
25841recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
)  e.  CC )
259257, 225, 258add32d 9802 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  Y )  +  ( B  x.  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  =  ( ( ( B  x.  Y )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
) )  +  ( B  x.  X ) ) )
260237, 244, 247adddid 9620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( Y  +  X )
)  =  ( ( B  x.  Y )  +  ( B  x.  X ) ) )
261260oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  =  ( ( ( B  x.  Y )  +  ( B  x.  X ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
) ) )
262237, 239, 244adddird 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  =  ( ( B  x.  Y )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
) ) )
263262oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  +  ( B  x.  X ) )  =  ( ( ( B  x.  Y
)  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  +  ( B  x.  X
) ) )
264259, 261, 2633eqtr4d 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  =  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  +  ( B  x.  X ) ) )
265221, 225subnegd 9937 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  -  -u ( B  x.  X )
)  =  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  +  ( B  x.  X
) ) )
266264, 265eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  =  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  -  -u ( B  x.  X )
) )
267255, 266oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X )
)  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  -  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
) )  +  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  -  -u ( B  x.  X ) ) ) )
268227, 251, 2673eqtr4d 2518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y )  -  (
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X )
)  x.  ( log `  X ) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) ) ) )
269207, 216, 2683brtr3d 4476 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  <_  (
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
) ) ) )
27047, 4remulcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  x.  X
)  e.  RR )
27150, 4remulcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
)  e.  RR )
27211, 7, 4, 164leadd1dd 10166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  +  X
)  <_  ( ( A  x.  X )  +  X ) )
2736recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
27419recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
275273, 274, 247adddird 9621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  x.  X
)  =  ( ( A  x.  X )  +  ( 1  x.  X ) ) )
276247mulid2d 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  X
)  =  X )
277276oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  X )  +  ( 1  x.  X ) )  =  ( ( A  x.  X )  +  X ) )
278275, 277eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  x.  X
)  =  ( ( A  x.  X )  +  X ) )
279272, 278breqtrrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  +  X
)  <_  ( ( A  +  1 )  x.  X ) )
28046, 4remulcld 9624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  x.  X
)  e.  RR )
28136, 280, 34lemul2d 11296 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  X )  <_  (
( A  +  1 )  x.  X )  <-> 
( B  x.  ( Y  +  X )
)  <_  ( B  x.  ( ( A  + 
1 )  x.  X
) ) ) )
282279, 281mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( Y  +  X )
)  <_  ( B  x.  ( ( A  + 
1 )  x.  X
) ) )
28346recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
284237, 283, 247mulassd 9619 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  x.  X
)  =  ( B  x.  ( ( A  +  1 )  x.  X ) ) )
285282, 284breqtrrd 4473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( Y  +  X )
)  <_  ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  x.  X ) )
28629a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
287 0le2 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  2
288287a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  2 )
289 log1 22726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  1 )  =  0
290 chpdifbnd.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
291 1rp 11224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
292 logleb 22744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  A  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  A ) ) )
293291, 5, 292sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  A  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  A
) ) )
294290, 293mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  1
)  <_  ( log `  A ) )
295289, 294syl5eqbrr 4481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  A ) )
296286, 38, 288, 295mulge0d 10129 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )
29711, 7, 40, 296, 164lemul2ad 10486 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
)  <_  ( (
2  x.  ( log `  A ) )  x.  ( A  x.  X
) ) )
29849recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  CC )
299298, 229, 247mulassd 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
)  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( log `  A )  x.  X
) ) )
300233, 273, 229, 247mul4d 9791 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  (
( log `  A
)  x.  X ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  ( A  x.  X
) ) )
301299, 300eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
)  =  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  ( A  x.  X
) ) )
302297, 301breqtrrd 4473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
)  <_  ( (
( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) )  x.  X ) )
30337, 41, 270, 271, 285, 302le2addd 10170 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  <_  ( ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  x.  X )  +  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
) ) )
30444oveq1i 6294 . . . . . . 7  |-  ( C  x.  X )  =  ( ( ( B  x.  ( A  + 
1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) ) )  x.  X )
30547recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  +  1 ) )  e.  CC )
30650recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
307305, 306, 247adddird 9621 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( A  + 
1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) ) )  x.  X )  =  ( ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  x.  X )  +  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
) ) )
308304, 307syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  =  ( ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  x.  X )  +  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
) ) )
309303, 308breqtrrd 4473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  <_  ( C  x.  X ) )
31042, 53, 33, 309leadd2dd 10167 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X )
)  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) ) )  <_  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( C  x.  X ) ) )
31128, 43, 54, 269, 310letrd 9738 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  <_  (
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  +  ( C  x.  X ) ) )
31232recnd 9622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y  -  X )
)  e.  CC )
3134, 24rplogcld 22770 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR+ )
3144, 313rerpdivcld 11283 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  /  ( log `  X ) )  e.  RR )
31552, 314remulcld 9624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) )  e.  RR )
316315recnd 9622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) )  e.  CC )
317312, 316, 214adddird 9621 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  x.  ( log `  X
) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  +  ( ( C  x.  ( X  / 
( log `  X
) ) )  x.  ( log `  X
) ) ) )
31852recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
319314recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  /  ( log `  X ) )  e.  CC )
320318, 319, 214mulassd 9619 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( X  /  ( log `  X ) ) )  x.  ( log `  X ) )  =  ( C  x.  (
( X  /  ( log `  X ) )  x.  ( log `  X
) ) ) )
321313rpne0d 11261 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  =/=  0 )
322247, 214, 321divcan1d 10321 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  / 
( log `  X
) )  x.  ( log `  X ) )  =  X )
323322oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( X  /  ( log `  X ) )  x.  ( log `  X
) ) )  =  ( C  x.  X
) )
324320, 323eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( X  /  ( log `  X ) ) )  x.  ( log `  X ) )  =  ( C  x.  X
) )
325324oveq2d 6300 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) )  x.  ( log `  X
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( C  x.  X ) ) )
326317, 325eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  x.  ( log `  X
) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  +  ( C  x.  X ) ) )
327311, 326breqtrrd 4473 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  <_  (
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  x.  ( log `  X
) ) )
32832, 315readdcld 9623 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  e.  RR )
32916, 328, 313lemul1d 11295 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  <-> 
( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  <_  (
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  x.  ( log `  X
) ) ) )
330327, 329mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  -  (ψ `  X ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497   +oocpnf 9625    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220   (,)cioo 11529   [,)cico 11531   [,]cicc 11532   ...cfz 11672   |_cfl 11895   abscabs 13030   sum_csu 13471   logclog 22698  Λcvma 23121  ψcchp 23122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-vma 23127  df-chp 23128
This theorem is referenced by:  chpdifbndlem2  23495
  Copyright terms: Public domain W3C validator