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Theorem chpdifbndlem1 24403
Description: Lemma for chpdifbnd 24405. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdifbnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
chpdifbnd.1  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
chpdifbnd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
chpdifbnd.2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
chpdifbnd.c  |-  C  =  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
chpdifbnd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 1 (,) +oo ) )
chpdifbnd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] ( A  x.  X ) ) )
Assertion
Ref Expression
chpdifbndlem1  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  -  (ψ `  X ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, m, C    z, X    z, Y    z, B
Allowed substitution hints:    ph( z, m)    A( z, m)    B( m)    X( m)    Y( m)

Proof of Theorem chpdifbndlem1
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chpdifbnd.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] ( A  x.  X ) ) )
2 ioossre 11703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
3 chpdifbnd.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 1 (,) +oo ) )
42, 3sseldi 3432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
5 chpdifbnd.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
65rpred 11348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
76, 4remulcld 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  X
)  e.  RR )
8 elicc2 11706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( A  x.  X
)  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( X [,] ( A  x.  X )
)  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  <_  Y  /\  Y  <_  ( A  x.  X )
) ) )
94, 7, 8syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X [,] ( A  x.  X ) )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  X  <_  Y  /\  Y  <_  ( A  x.  X ) ) ) )
101, 9mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <_  Y  /\  Y  <_  ( A  x.  X ) ) )
1110simp1d 1021 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
12 chpcl 24063 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  RR  ->  (ψ `  Y )  e.  RR )
1311, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ψ `  Y )  e.  RR )
14 chpcl 24063 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  RR  ->  (ψ `  X )  e.  RR )
154, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ψ `  X )  e.  RR )
1613, 15resubcld 10054 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  -  (ψ `  X ) )  e.  RR )
17 0red 9649 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
18 1re 9647 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
20 0lt1 10143 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
22 eliooord 11701 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  X  /\  X  < +oo ) )
233, 22syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <  X  /\  X  < +oo )
)
2423simpld 461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  X )
2517, 19, 4, 21, 24lttrd 9801 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  X )
264, 25elrpd 11345 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
2726relogcld 23584 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR )
2816, 27remulcld 9676 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  e.  RR )
29 2re 10686 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
3011, 4resubcld 10054 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
31 remulcl 9629 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  e.  RR )
3229, 30, 31sylancr 670 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y  -  X )
)  e.  RR )
3332, 27remulcld 9676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
34 chpdifbnd.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3534rpred 11348 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3611, 4readdcld 9675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  +  X
)  e.  RR )
3735, 36remulcld 9676 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( Y  +  X )
)  e.  RR )
385relogcld 23584 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
39 remulcl 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
4029, 38, 39sylancr 670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
4140, 11remulcld 9676 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
)  e.  RR )
4237, 41readdcld 9675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  e.  RR )
4333, 42readdcld 9675 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X )
)  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) ) )  e.  RR )
44 chpdifbnd.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
45 peano2re 9811 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
466, 45syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
4735, 46remulcld 9676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  +  1 ) )  e.  RR )
48 remulcl 9629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
4929, 6, 48sylancr 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
5049, 38remulcld 9676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
5147, 50readdcld 9675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
5244, 51syl5eqel 2535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5352, 4remulcld 9676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  e.  RR )
5433, 53readdcld 9675 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( C  x.  X ) )  e.  RR )
5513, 27remulcld 9676 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
56 fzfid 12193 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
5710simp2d 1022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
58 flword2 12055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <_  Y )  ->  ( |_ `  Y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  X ) ) )
594, 11, 57, 58syl3anc 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  X ) ) )
60 fzss2 11845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  X ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  X
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) )
6261sselda 3434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )
63 elfznn 11835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) )  ->  n  e.  NN )
6463adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  n  e.  NN )
65 vmacl 24057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
67 nndivre 10652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( X  /  n
)  e.  RR )
684, 63, 67syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( X  /  n )  e.  RR )
69 chpcl 24063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( X  /  n
) )  e.  RR )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (ψ `  ( X  /  n ) )  e.  RR )
7166, 70remulcld 9676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) )  e.  RR )
7262, 71syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) )  e.  RR )
7356, 72fsumrecl 13812 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  e.  RR )
7455, 73readdcld 9675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  e.  RR )
75 remulcl 9629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  X )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
7629, 27, 75sylancr 670 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
7776, 35resubcld 10054 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  e.  RR )
7877, 4remulcld 9676 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X )  e.  RR )
795, 26rpmulcld 11364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  X
)  e.  RR+ )
8079relogcld 23584 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  x.  X )
)  e.  RR )
81 remulcl 9629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  ( A  x.  X ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) )  e.  RR )
8229, 80, 81sylancr 670 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) )  e.  RR )
8335, 82readdcld 9675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  e.  RR )
8483, 11remulcld 9676 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) ) )  x.  Y )  e.  RR )
8515, 27remulcld 9676 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  e.  RR )
8685, 73readdcld 9675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  e.  RR )
8717, 4, 11, 25, 57ltletrd 9800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  Y )
8811, 87elrpd 11345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
8988relogcld 23584 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  Y
)  e.  RR )
9013, 89remulcld 9676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  Y ) )  e.  RR )
91 fzfid 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
92 nndivre 10652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( Y  /  n
)  e.  RR )
9311, 63, 92syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( Y  /  n )  e.  RR )
94 chpcl 24063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( Y  /  n
) )  e.  RR )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (ψ `  ( Y  /  n ) )  e.  RR )
9666, 95remulcld 9676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) )  e.  RR )
9791, 96fsumrecl 13812 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) )  e.  RR )
9890, 97readdcld 9675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  e.  RR )
99 chpge0 24065 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  Y )
)
10011, 99syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  (ψ `  Y
) )
10126, 88logled 23588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  <_  Y  <->  ( log `  X )  <_  ( log `  Y
) ) )
10257, 101mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  <_  ( log `  Y ) )
10327, 89, 13, 100, 102lemul2ad 10554 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  X ) )  <_ 
( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  Y ) ) )
10491, 71fsumrecl 13812 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  e.  RR )
105 vmage0 24060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
10664, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
107 chpge0 24065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  /  n )  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  ( X  /  n ) ) )
10868, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  0  <_  (ψ `  ( X  /  n
) ) )
10966, 70, 106, 108mulge0d 10197 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )
11091, 71, 109, 61fsumless 13868 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )
1114adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  X  e.  RR )
11211adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  Y  e.  RR )
11364nnrpd 11346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
11457adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  X  <_  Y )
115111, 112, 113, 114lediv1dd 11403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( X  /  n )  <_  ( Y  /  n ) )
116 chpwordi 24096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  /  n
)  e.  RR  /\  ( Y  /  n
)  e.  RR  /\  ( X  /  n
)  <_  ( Y  /  n ) )  -> 
(ψ `  ( X  /  n ) )  <_ 
(ψ `  ( Y  /  n ) ) )
11768, 93, 115, 116syl3anc 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (ψ `  ( X  /  n ) )  <_  (ψ `  ( Y  /  n ) ) )
11870, 95, 66, 106, 117lemul2ad 10554 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) )  <_ 
( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) ) )
11991, 71, 96, 118fsumle 13871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )
12073, 104, 97, 110, 119letrd 9797 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )
12155, 73, 90, 97, 103, 120le2addd 10239 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  <_  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) ) )
12298, 88rerpdivcld 11376 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  e.  RR )
123 remulcl 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  Y )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  Y ) )  e.  RR )
12429, 89, 123sylancr 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  Y ) )  e.  RR )
12535, 124readdcld 9675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  e.  RR )
126122, 124resubcld 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  e.  RR )
127126recnd 9674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  e.  CC )
128127abscld 13510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )  e.  RR )
129126leabsd 13488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  <_  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) ) )
13019, 4, 24ltled 9788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  X )
13119, 4, 11, 130, 57letrd 9797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  Y )
132 elicopnf 11737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( Y  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  1  <_  Y ) ) )
13318, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  1  <_  Y ) )
13411, 131, 133sylanbrc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( 1 [,) +oo ) )
135 chpdifbnd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B
)
136 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  Y  ->  (ψ `  z )  =  (ψ `  Y ) )
137 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  Y  ->  ( log `  z )  =  ( log `  Y
) )
138136, 137oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  Y  ->  (
(ψ `  z )  x.  ( log `  z
) )  =  ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) ) )
139 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (Λ `  m )  =  (Λ `  n ) )
140 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  (
z  /  m )  =  ( z  /  n ) )
141140fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (ψ `  ( z  /  m
) )  =  (ψ `  ( z  /  n
) ) )
142139, 141oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
(Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) ) )
143142cbvsumv 13774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( z  /  n ) ) )
144 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  Y  ->  ( |_ `  z )  =  ( |_ `  Y
) )
145144oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  Y  ->  (
1 ... ( |_ `  z ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )
146 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  =  Y  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  z  =  Y )
147146oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =  Y  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( z  /  n )  =  ( Y  /  n ) )
148147fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  =  Y  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  (ψ `  (
z  /  n ) )  =  (ψ `  ( Y  /  n
) ) )
149148oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  =  Y  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )
150145, 149sumeq12rdv 13785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  Y  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) ) )
151143, 150syl5eq 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  Y  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) ) )
152138, 151oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  Y  ->  (
( (ψ `  z
)  x.  ( log `  z ) )  + 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) ) )  =  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) ) )
153 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  Y  ->  z  =  Y )
154152, 153oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  Y  ->  (
( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  =  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y ) )
155137oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  Y  ->  (
2  x.  ( log `  z ) )  =  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )
156154, 155oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  Y  ->  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )
157156fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  Y  ->  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  z
)  x.  ( log `  z ) )  + 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) ) )
158157breq1d 4415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  Y  ->  (
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B  <->  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )  <_  B
) )
159158rspcv 3148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )  <_  B
) )
160134, 135, 159sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )  <_  B
)
161126, 128, 35, 129, 160letrd 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  <_  B )
162122, 124, 35lesubaddd 10217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  Y ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  Y ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n ) ) ) )  /  Y )  -  ( 2  x.  ( log `  Y
) ) )  <_  B 
<->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  <_ 
( B  +  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) ) )
163161, 162mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  <_ 
( B  +  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) ) )
16410simp3d 1023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( A  x.  X ) )
16588, 79logled 23588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  <_  ( A  x.  X )  <->  ( log `  Y )  <_  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )
166164, 165mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  Y
)  <_  ( log `  ( A  x.  X
) ) )
167 2pos 10708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
16829, 167pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
170 lemul2 10465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  Y
)  e.  RR  /\  ( log `  ( A  x.  X ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( log `  Y )  <_  ( log `  ( A  x.  X ) )  <->  ( 2  x.  ( log `  Y
) )  <_  (
2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) ) )
17189, 80, 169, 170syl3anc 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( log `  Y
)  <_  ( log `  ( A  x.  X
) )  <->  ( 2  x.  ( log `  Y
) )  <_  (
2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) ) )
172166, 171mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  Y ) )  <_  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )
173124, 82, 35, 172leadd2dd 10235 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  Y ) ) )  <_  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) ) ) )
174122, 125, 83, 163, 173letrd 9797 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  <_ 
( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) ) )
17598, 83, 88ledivmul2d 11399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  Y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  /  Y )  <_ 
( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  <-> 
( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  <_  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y ) ) )
176174, 175mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  Y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( Y  /  n
) ) ) )  <_  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y ) )
17774, 98, 84, 121, 176letrd 9797 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  <_  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y ) )
178 elicopnf 11737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( X  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  1  <_  X ) ) )
17918, 178ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( X  e.  RR  /\  1  <_  X ) )
1804, 130, 179sylanbrc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 1 [,) +oo ) )
181 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  X  ->  (ψ `  z )  =  (ψ `  X ) )
182 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  X  ->  ( log `  z )  =  ( log `  X
) )
183181, 182oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  X  ->  (
(ψ `  z )  x.  ( log `  z
) )  =  ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) ) )
184 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  X  ->  ( |_ `  z )  =  ( |_ `  X
) )
185184oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  X  ->  (
1 ... ( |_ `  z ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )
186 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  =  X  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  z  =  X )
187186oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  =  X  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  ( z  /  n )  =  ( X  /  n ) )
188187fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =  X  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  (ψ `  (
z  /  n ) )  =  (ψ `  ( X  /  n
) ) )
189188oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =  X  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )
190185, 189sumeq12rdv 13785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  X  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )
191143, 190syl5eq 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  X  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )
192183, 191oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  X  ->  (
( (ψ `  z
)  x.  ( log `  z ) )  + 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) ) )  =  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )
193 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  X  ->  z  =  X )
194192, 193oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  X  ->  (
( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  =  ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X ) )
195182oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  X  ->  (
2  x.  ( log `  z ) )  =  ( 2  x.  ( log `  X ) ) )
196194, 195oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )
197196fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  z
)  x.  ( log `  z ) )  + 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  z ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( z  /  m ) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) ) )
198197breq1d 4415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  (
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B  <->  ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )  <_  B
) )
199198rspcv 3148 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( ( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( z  /  m
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  B  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )  <_  B
) )
200180, 135, 199sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )  <_  B
)
20186, 26rerpdivcld 11376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  e.  RR )
202201, 76, 35absdifled 13508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  -  ( 2  x.  ( log `  X ) ) ) )  <_  B  <->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  <_  ( (
( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )  /  X )  /\  ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  <_ 
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  B
) ) ) )
203200, 202mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  <_  ( (
( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )  /  X )  /\  ( ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  /  X )  <_ 
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  B
) ) )
204203simpld 461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  <_  ( (
( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )  /  X ) )
20577, 86, 26lemuldivd 11394 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  -  B )  x.  X
)  <_  ( (
(ψ `  X )  x.  ( log `  X
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  X
) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  <_  ( (
( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) ) )  /  X ) ) )
206204, 205mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X )  <_  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )
20774, 78, 84, 86, 177, 206le2subd 10240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  -  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )  <_  ( (
( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  x.  Y )  -  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X ) ) )
20855recnd 9674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  X ) )  e.  CC )
20985recnd 9674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  X
)  x.  ( log `  X ) )  e.  CC )
21073recnd 9674 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  X ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( X  /  n ) ) )  e.  CC )
211208, 209, 210pnpcan2d 10029 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  -  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )  =  ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X
) )  -  (
(ψ `  X )  x.  ( log `  X
) ) ) )
21213recnd 9674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (ψ `  Y )  e.  CC )
21315recnd 9674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (ψ `  X )  e.  CC )
21427recnd 9674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  CC )
215212, 213, 214subdird 10082 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  =  ( ( (ψ `  Y
)  x.  ( log `  X ) )  -  ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X
) ) ) )
216211, 215eqtr4d 2490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( (ψ `  Y )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) )  -  ( ( (ψ `  X )  x.  ( log `  X ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  X ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( X  /  n
) ) ) ) )  =  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X )
)  x.  ( log `  X ) ) )
21776, 11remulcld 9676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  Y
)  e.  RR )
218217recnd 9674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  Y
)  e.  CC )
21935, 40readdcld 9675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
220219, 11remulcld 9676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  e.  RR )
221220recnd 9674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  e.  CC )
22276, 4remulcld 9676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
)  e.  RR )
223222recnd 9674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
)  e.  CC )
22435, 4remulcld 9676 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  x.  X
)  e.  RR )
225224recnd 9674 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  X
)  e.  CC )
226225negcld 9978 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( B  x.  X )  e.  CC )
227218, 221, 223, 226addsub4d 10038 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  +  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y ) )  -  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X )  +  -u ( B  x.  X
) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  -  (
( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X ) )  +  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  -  -u ( B  x.  X )
) ) )
2285, 26relogmuld 23586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  x.  X )
)  =  ( ( log `  A )  +  ( log `  X
) ) )
22938recnd 9674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
230229, 214addcomd 9840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  ( log `  X ) )  =  ( ( log `  X
)  +  ( log `  A ) ) )
231228, 230eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  x.  X )
)  =  ( ( log `  X )  +  ( log `  A
) ) )
232231oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( log `  X
)  +  ( log `  A ) ) ) )
233 2cnd 10689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
234233, 214, 229adddid 9672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( log `  X
)  +  ( log `  A ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) )
235232, 234eqtrd 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) )
236235oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  =  ( B  +  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
23735recnd 9674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
23876recnd 9674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  X ) )  e.  CC )
23940recnd 9674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
240237, 238, 239add12d 9861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
241236, 240eqtrd 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X
) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
242241oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) ) )  x.  Y )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  +  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  Y ) )
243219recnd 9674 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
24411recnd 9674 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
245238, 243, 244adddird 9673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  +  ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  Y )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  Y
)  +  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y ) ) )
246242, 245eqtrd 2487 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X ) ) ) )  x.  Y )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  +  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y ) ) )
2474recnd 9674 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
248238, 237, 247subdird 10082 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X )  -  ( B  x.  X )
) )
249223, 225negsubd 9997 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
)  +  -u ( B  x.  X )
)  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X )  -  ( B  x.  X
) ) )
250248, 249eqtr4d 2490 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X )  +  -u ( B  x.  X
) ) )
251246, 250oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y )  -  (
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  Y
)  +  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y ) )  -  ( ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
)  +  -u ( B  x.  X )
) ) )
25230recnd 9674 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
253233, 252, 214mul32d 9848 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  ( Y  -  X )
) )
254238, 244, 247subdid 10081 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  -  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
) ) )
255253, 254eqtrd 2487 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  -  (
( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  X ) ) )
25635, 11remulcld 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  Y
)  e.  RR )
257256recnd 9674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  Y
)  e.  CC )
25841recnd 9674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
)  e.  CC )
259257, 225, 258add32d 9862 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  Y )  +  ( B  x.  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  =  ( ( ( B  x.  Y )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
) )  +  ( B  x.  X ) ) )
260237, 244, 247adddid 9672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( Y  +  X )
)  =  ( ( B  x.  Y )  +  ( B  x.  X ) ) )
261260oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  =  ( ( ( B  x.  Y )  +  ( B  x.  X ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
) ) )
262237, 239, 244adddird 9673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  =  ( ( B  x.  Y )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
) ) )
263262oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  +  ( B  x.  X ) )  =  ( ( ( B  x.  Y
)  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  +  ( B  x.  X
) ) )
264259, 261, 2633eqtr4d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  =  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  +  ( B  x.  X ) ) )
265221, 225subnegd 9998 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  -  -u ( B  x.  X )
)  =  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  +  ( B  x.  X
) ) )
266264, 265eqtr4d 2490 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  =  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )  x.  Y )  -  -u ( B  x.  X )
) )
267255, 266oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X )
)  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( log `  X ) )  x.  Y )  -  ( ( 2  x.  ( log `  X
) )  x.  X
) )  +  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  A ) ) )  x.  Y )  -  -u ( B  x.  X ) ) ) )
268227, 251, 2673eqtr4d 2497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  ( 2  x.  ( log `  ( A  x.  X )
) ) )  x.  Y )  -  (
( ( 2  x.  ( log `  X
) )  -  B
)  x.  X ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X )
)  x.  ( log `  X ) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) ) ) )
269207, 216, 2683brtr3d 4435 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  <_  (
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
) ) ) )
27047, 4remulcld 9676 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  x.  X
)  e.  RR )
27150, 4remulcld 9676 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
)  e.  RR )
27211, 7, 4, 164leadd1dd 10234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  +  X
)  <_  ( ( A  x.  X )  +  X ) )
2736recnd 9674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
27419recnd 9674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
275273, 274, 247adddird 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  x.  X
)  =  ( ( A  x.  X )  +  ( 1  x.  X ) ) )
276247mulid2d 9666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  X
)  =  X )
277276oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  X )  +  ( 1  x.  X ) )  =  ( ( A  x.  X )  +  X ) )
278275, 277eqtrd 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  x.  X
)  =  ( ( A  x.  X )  +  X ) )
279272, 278breqtrrd 4432 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  +  X
)  <_  ( ( A  +  1 )  x.  X ) )
28046, 4remulcld 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  x.  X
)  e.  RR )
28136, 280, 34lemul2d 11389 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  X )  <_  (
( A  +  1 )  x.  X )  <-> 
( B  x.  ( Y  +  X )
)  <_  ( B  x.  ( ( A  + 
1 )  x.  X
) ) ) )
282279, 281mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( Y  +  X )
)  <_  ( B  x.  ( ( A  + 
1 )  x.  X
) ) )
28346recnd 9674 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  CC )
284237, 283, 247mulassd 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A  +  1
) )  x.  X
)  =  ( B  x.  ( ( A  +  1 )  x.  X ) ) )
285282, 284breqtrrd 4432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( Y  +  X )
)  <_  ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  x.  X ) )
28629a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
287 0le2 10707 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  2
288287a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  2 )
289 log1 23547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  1 )  =  0
290 chpdifbnd.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
291 1rp 11313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
292 logleb 23564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  A  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  A ) ) )
293291, 5, 292sylancr 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  A  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  A
) ) )
294290, 293mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  1
)  <_  ( log `  A ) )
295289, 294syl5eqbrr 4440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  A ) )
296286, 38, 288, 295mulge0d 10197 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  ( log `  A
) ) )
29711, 7, 40, 296, 164lemul2ad 10554 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
)  <_  ( (
2  x.  ( log `  A ) )  x.  ( A  x.  X
) ) )
29849recnd 9674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  CC )
299298, 229, 247mulassd 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
)  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( log `  A )  x.  X
) ) )
300233, 273, 229, 247mul4d 9850 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  (
( log `  A
)  x.  X ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  ( A  x.  X
) ) )
301299, 300eqtrd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
)  =  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  ( A  x.  X
) ) )
302297, 301breqtrrd 4432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  A
) )  x.  Y
)  <_  ( (
( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) )  x.  X ) )
30337, 41, 270, 271, 285, 302le2addd 10239 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  <_  ( ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  x.  X )  +  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
) ) )
30444oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( C  x.  X )  =  ( ( ( B  x.  ( A  + 
1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) ) )  x.  X )
30547recnd 9674 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A  +  1 ) )  e.  CC )
30650recnd 9674 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
307305, 306, 247adddird 9673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  ( A  + 
1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A ) ) )  x.  X )  =  ( ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  x.  X )  +  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
) ) )
308304, 307syl5eq 2499 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  =  ( ( ( B  x.  ( A  +  1 ) )  x.  X )  +  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) )  x.  X
) ) )
309303, 308breqtrrd 4432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( Y  +  X
) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) )  <_  ( C  x.  X ) )
31042, 53, 33, 309leadd2dd 10235 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( ( B  x.  ( Y  +  X )
)  +  ( ( 2  x.  ( log `  A ) )  x.  Y ) ) )  <_  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( C  x.  X ) ) )
31128, 43, 54, 269, 310letrd 9797 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  <_  (
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  +  ( C  x.  X ) ) )
31232recnd 9674 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( Y  -  X )
)  e.  CC )
3134, 24rplogcld 23590 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  e.  RR+ )
3144, 313rerpdivcld 11376 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  /  ( log `  X ) )  e.  RR )
31552, 314remulcld 9676 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) )  e.  RR )
316315recnd 9674 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) )  e.  CC )
317312, 316, 214adddird 9673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  x.  ( log `  X
) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  +  ( ( C  x.  ( X  / 
( log `  X
) ) )  x.  ( log `  X
) ) ) )
31852recnd 9674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
319314recnd 9674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  /  ( log `  X ) )  e.  CC )
320318, 319, 214mulassd 9671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( X  /  ( log `  X ) ) )  x.  ( log `  X ) )  =  ( C  x.  (
( X  /  ( log `  X ) )  x.  ( log `  X
) ) ) )
321313rpne0d 11353 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  X
)  =/=  0 )
322247, 214, 321divcan1d 10391 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  / 
( log `  X
) )  x.  ( log `  X ) )  =  X )
323322oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( X  /  ( log `  X ) )  x.  ( log `  X
) ) )  =  ( C  x.  X
) )
324320, 323eqtrd 2487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( X  /  ( log `  X ) ) )  x.  ( log `  X ) )  =  ( C  x.  X
) )
325324oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) )  x.  ( log `  X
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  x.  ( log `  X
) )  +  ( C  x.  X ) ) )
326317, 325eqtrd 2487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X ) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  x.  ( log `  X
) )  =  ( ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  x.  ( log `  X ) )  +  ( C  x.  X ) ) )
327311, 326breqtrrd 4432 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  <_  (
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  x.  ( log `  X
) ) )
32832, 315readdcld 9675 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  e.  RR )
32916, 328, 313lemul1d 11388 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  <-> 
( ( (ψ `  Y )  -  (ψ `  X ) )  x.  ( log `  X
) )  <_  (
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) )  x.  ( log `  X
) ) ) )
330327, 329mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  ( (ψ `  Y
)  -  (ψ `  X ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( Y  -  X
) )  +  ( C  x.  ( X  /  ( log `  X
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739    C_ wss 3406   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    x. cmul 9549   +oocpnf 9677    < clt 9680    <_ cle 9681    - cmin 9865   -ucneg 9866    / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   (,)cioo 11642   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   ...cfz 11791   |_cfl 12033   abscabs 13309   sum_csu 13764   logclog 23516  Λcvma 24030  ψcchp 24031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-dvds 14318  df-gcd 14481  df-prm 14635  df-pc 14799  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-log 23518  df-vma 24036  df-chp 24037
This theorem is referenced by:  chpdifbndlem2  24404
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