MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdifbnd Structured version   Unicode version

Theorem chpdifbnd 22689
Description: A bound on the difference of nearby ψ values. Theorem 10.5.2 of [Shapiro], p. 427. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpdifbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, c, y, A

Proof of Theorem chpdifbnd
Dummy variables  b  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selberg2b 22686 . 2  |-  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  b
2 simpl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR )
3 0red 9375 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
0  e.  RR )
4 1red 9389 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
1  e.  RR )
5 0lt1 9850 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
0  <  1 )
7 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
1  <_  A )
83, 4, 2, 6, 7ltletrd 9519 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
0  <  A )
92, 8elrpd 11013 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
109adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( b  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  b
) )  ->  A  e.  RR+ )
11 simplr 747 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( b  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  b
) )  ->  1  <_  A )
12 simprl 748 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( b  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  b
) )  ->  b  e.  RR+ )
13 simprr 749 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( b  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  b
) )  ->  A. z  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  b
)
14 eqid 2433 . . . 4  |-  ( ( b  x.  ( A  +  1 ) )  +  ( ( 2  x.  A )  x.  ( log `  A
) ) )  =  ( ( b  x.  ( A  +  1 ) )  +  ( ( 2  x.  A
)  x.  ( log `  A ) ) )
1510, 11, 12, 13, 14chpdifbndlem2 22688 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( b  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  b
) )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
1615rexlimdvaa 2832 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
( ( ( (ψ `  z )  x.  ( log `  z ) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  z ) ) ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( z  /  n
) ) ) )  /  z )  -  ( 2  x.  ( log `  z ) ) ) )  <_  b  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x
) ) ( (ψ `  y )  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) ) )
171, 16mpi 17 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,) +oo ) A. y  e.  ( x [,] ( A  x.  x ) ) ( (ψ `  y
)  -  (ψ `  x ) )  <_ 
( ( 2  x.  ( y  -  x
) )  +  ( c  x.  ( x  /  ( log `  x
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275   +oocpnf 9403    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   2c2 10359   RR+crp 10979   (,)cioo 11288   [,)cico 11290   [,]cicc 11291   ...cfz 11424   |_cfl 11624   abscabs 12707   sum_csu 13147   logclog 21891  Λcvma 22314  ψcchp 22315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-o1 12952  df-lo1 12953  df-sum 13148  df-ef 13336  df-e 13337  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-dvds 13519  df-gcd 13674  df-prm 13747  df-pc 13887  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-cmp 18832  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893  df-cxp 21894  df-em 22271  df-cht 22319  df-vma 22320  df-chp 22321  df-ppi 22322  df-mu 22323
This theorem is referenced by:  pntibndlem3  22726
  Copyright terms: Public domain W3C validator