Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpchtsum Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem chpchtsum 24226
 Description: The second Chebyshev function is the sum of the theta function at arguments quickly approaching zero. (This is usually stated as an infinite sum, but after a certain point, the terms are all zero, and it is easier for us to use an explicit finite sum.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpchtsum ψ
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem chpchtsum
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12224 . . . . 5
2 inss2 3644 . . . . . . . . . 10
3 simpr 468 . . . . . . . . . 10
42, 3sseldi 3416 . . . . . . . . 9
5 prmnn 14704 . . . . . . . . 9
64, 5syl 17 . . . . . . . 8
76nnrpd 11362 . . . . . . 7
87relogcld 23651 . . . . . 6
98recnd 9687 . . . . 5
10 fsumconst 13928 . . . . 5
111, 9, 10syl2anc 673 . . . 4
12 simpl 464 . . . . . . . . . 10
13 1red 9676 . . . . . . . . . . 11
146nnred 10646 . . . . . . . . . . 11
15 prmuz2 14721 . . . . . . . . . . . . 13
164, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12
17 eluz2b2 11254 . . . . . . . . . . . . 13
1817simprbi 471 . . . . . . . . . . . 12
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11
20 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . 14
2120, 3sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13
22 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . 14
23 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . . 14
2422, 12, 23sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13
2521, 24mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
2625simp3d 1044 . . . . . . . . . . 11
2713, 14, 12, 19, 26ltletrd 9812 . . . . . . . . . 10
2812, 27rplogcld 23657 . . . . . . . . 9
2914, 19rplogcld 23657 . . . . . . . . 9
3028, 29rpdivcld 11381 . . . . . . . 8
3130rpred 11364 . . . . . . 7
3230rpge0d 11368 . . . . . . 7
33 flge0nn0 12087 . . . . . . 7
3431, 32, 33syl2anc 673 . . . . . 6
35 hashfz1 12567 . . . . . 6
3634, 35syl 17 . . . . 5
3736oveq1d 6323 . . . 4
3831flcld 12067 . . . . . 6
3938zcnd 11064 . . . . 5
4039, 9mulcomd 9682 . . . 4
4111, 37, 403eqtrrd 2510 . . 3
4241sumeq2dv 13846 . 2
43 chpval2 24225 . 2 ψ
44 simpl 464 . . . . . 6
45 0red 9662 . . . . . . 7
46 1red 9676 . . . . . . . 8
47 0lt1 10157 . . . . . . . . 9
4847a1i 11 . . . . . . . 8
49 elfzuz2 11830 . . . . . . . . 9
50 eluzle 11195 . . . . . . . . . . 11
5150adantl 473 . . . . . . . . . 10
52 simpl 464 . . . . . . . . . . 11
53 1z 10991 . . . . . . . . . . 11
54 flge 12074 . . . . . . . . . . 11
5552, 53, 54sylancl 675 . . . . . . . . . 10
5651, 55mpbird 240 . . . . . . . . 9
5749, 56sylan2 482 . . . . . . . 8
5845, 46, 44, 48, 57ltletrd 9812 . . . . . . 7
5945, 44, 58ltled 9800 . . . . . 6
60 elfznn 11854 . . . . . . . 8
6160adantl 473 . . . . . . 7
6261nnrecred 10677 . . . . . 6
6344, 59, 62recxpcld 23747 . . . . 5
64 chtval 24116 . . . . 5
6563, 64syl 17 . . . 4
6665sumeq2dv 13846 . . 3
67 ppifi 24111 . . . 4
68 fzfid 12224 . . . 4
692sseli 3414 . . . . . . . 8
70 elfznn 11854 . . . . . . . 8
7169, 70anim12i 576 . . . . . . 7
7271a1i 11 . . . . . 6
73 0red 9662 . . . . . . . . 9
742a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
7574sselda 3418 . . . . . . . . . . 11
7675, 5syl 17 . . . . . . . . . 10
7776nnred 10646 . . . . . . . . 9
7876nngt0d 10675 . . . . . . . . 9
7973, 77, 12, 78, 26ltletrd 9812 . . . . . . . 8
8079ex 441 . . . . . . 7
8180adantrd 475 . . . . . 6
8272, 81jcad 542 . . . . 5
83 inss2 3644 . . . . . . . . 9
8483sseli 3414 . . . . . . . 8
8560, 84anim12ci 577 . . . . . . 7
8685a1i 11 . . . . . 6
8758ex 441 . . . . . . 7
8887adantrd 475 . . . . . 6
8986, 88jcad 542 . . . . 5
90 elin 3608 . . . . . . . . 9
91 simprll 780 . . . . . . . . . . 11
9291biantrud 515 . . . . . . . . . 10
93 0red 9662 . . . . . . . . . . 11
94 simpl 464 . . . . . . . . . . 11
9591, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12
9695nnred 10646 . . . . . . . . . . 11
9795nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . 12
9897nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . 11
99 df-3an 1009 . . . . . . . . . . . . 13
10023, 99syl6bb 269 . . . . . . . . . . . 12
101100baibd 923 . . . . . . . . . . 11
10293, 94, 96, 98, 101syl22anc 1293 . . . . . . . . . 10
10392, 102bitr3d 263 . . . . . . . . 9
10490, 103syl5bb 265 . . . . . . . 8
105 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13
10694, 105elrpd 11361 . . . . . . . . . . . 12
107106relogcld 23651 . . . . . . . . . . 11
10891, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
109108, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12
11096, 109rplogcld 23657 . . . . . . . . . . 11
111107, 110rerpdivcld 11392 . . . . . . . . . 10
112 simprlr 781 . . . . . . . . . . 11
113112nnzd 11062 . . . . . . . . . 10
114 flge 12074 . . . . . . . . . 10
115111, 113, 114syl2anc 673 . . . . . . . . 9
116112nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . 13
11795, 116nnexpcld 12475 . . . . . . . . . . . 12
118117nnrpd 11362 . . . . . . . . . . 11
119118, 106logled 23655 . . . . . . . . . 10
12095nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . 12
121 relogexp 23624 . . . . . . . . . . . 12
122120, 113, 121syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
123122breq1d 4405 . . . . . . . . . 10
124112nnred 10646 . . . . . . . . . . 11
125124, 107, 110lemuldivd 11410 . . . . . . . . . 10
126119, 123, 1253bitrd 287 . . . . . . . . 9
127 nnuz 11218 . . . . . . . . . . 11
128112, 127syl6eleq 2559 . . . . . . . . . 10
129111flcld 12067 . . . . . . . . . 10
130 elfz5 11818 . . . . . . . . . 10
131128, 129, 130syl2anc 673 . . . . . . . . 9
132115, 126, 1313bitr4rd 294 . . . . . . . 8
133104, 132anbi12d 725 . . . . . . 7
13494flcld 12067 . . . . . . . . . . 11
135 elfz5 11818 . . . . . . . . . . 11
136128, 134, 135syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
137 flge 12074 . . . . . . . . . . 11
13894, 113, 137syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
139136, 138bitr4d 264 . . . . . . . . 9
140 elin 3608 . . . . . . . . . 10
14191biantrud 515 . . . . . . . . . . . 12
142106rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . . . 14
143112nnrecred 10677 . . . . . . . . . . . . . 14
14494, 142, 143recxpcld 23747 . . . . . . . . . . . . 13
145 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . . . 15
146 df-3an 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15
147145, 146syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . 14
148147baibd 923 . . . . . . . . . . . . 13
14993, 144, 96, 98, 148syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . 12
150141, 149bitr3d 263 . . . . . . . . . . 11
15194, 142, 143cxpge0d 23748 . . . . . . . . . . . 12
152112nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . 12
15396, 98, 144, 151, 152cxple2d 23751 . . . . . . . . . . 11
15495nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13
155 cxpexp 23692 . . . . . . . . . . . . 13
156154, 116, 155syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
157112nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15
158112nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . 15
159157, 158recid2d 10401 . . . . . . . . . . . . . 14
160159oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13
161106, 143, 157cxpmuld 23758 . . . . . . . . . . . . 13
16294recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14
163162cxp1d 23730 . . . . . . . . . . . . 13
164160, 161, 1633eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . 12
165156, 164breq12d 4408 . . . . . . . . . . 11
166150, 153, 1653bitrd 287 . . . . . . . . . 10
167140, 166syl5bb 265 . . . . . . . . 9
168139, 167anbi12d 725 . . . . . . . 8
169117nnred 10646 . . . . . . . . . . 11
170 bernneq3 12438 . . . . . . . . . . . 12
171108, 116, 170syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
172124, 169, 171ltled 9800 . . . . . . . . . 10
173 letr 9745 . . . . . . . . . . 11
174124, 169, 94, 173syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
175172, 174mpand 689 . . . . . . . . 9
176175pm4.71rd 647 . . . . . . . 8
177154exp1d 12449 . . . . . . . . . . 11
17895nnge1d 10674 . . . . . . . . . . . 12
17996, 178, 128leexp2ad 12486 . . . . . . . . . . 11
180177, 179eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . 10
181 letr 9745 . . . . . . . . . . 11
18296, 169, 94, 181syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
183180, 182mpand 689 . . . . . . . . 9
184183pm4.71rd 647 . . . . . . . 8
185168, 176, 1843bitr2rd 290 . . . . . . 7
186133, 185bitrd 261 . . . . . 6
187186ex 441 . . . . 5
18882, 89, 187pm5.21ndd 361 . . . 4
1899adantrr 731 . . . 4
19067, 68, 1, 188, 189fsumcom2 13912 . . 3
19166, 190eqtr4d 2508 . 2
19242, 43, 1913eqtr4d 2515 1 ψ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   cin 3389   wss 3390   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cicc 11663  cfz 11810  cfl 12059  cexp 12310  chash 12553  csu 13829  cprime 14701  clog 23583   ccxp 23584  ccht 24096  ψcchp 24098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-cht 24102  df-vma 24103  df-chp 24104 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator