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Theorem chpchtlim 23781
Description: The ψ and  theta functions are asymptotic to each other, so is sufficient to prove either 
theta ( x )  /  x 
~~> r  1 or ψ ( x )  /  x  ~~> r  1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpchtlim  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem chpchtlim
StepHypRef Expression
1 1red 9522 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
2 1red 9522 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
3 2re 10522 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
4 elicopnf 11541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
65simplbi 458 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
76adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
8 0red 9508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  e.  RR )
93a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  e.  RR )
10 2pos 10544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  <  2 )
125simprbi 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  2  <_  x )
138, 9, 6, 11, 12ltletrd 9653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  0  < 
x )
146, 13elrpd 11174 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
1514adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1615rpge0d 11181 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  0  <_  x )
177, 16resqrtcld 13251 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
1815relogcld 23095 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1917, 18remulcld 9535 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
2012adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  2  <_  x )
21 chtrpcl 23566 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
( theta `  x )  e.  RR+ )
227, 20, 21syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( theta `  x )  e.  RR+ )
2319, 22rerpdivcld 11204 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
)  e.  RR )
246ssriv 3421 . . . . . 6  |-  ( 2 [,) +oo )  C_  RR
251recnd 9533 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
26 rlimconst 13369 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 [,) +oo )  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  1 )  ~~> r  1 )
2724, 25, 26sylancr 661 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  1 )  ~~> r  1 )
28 ovex 6224 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 [,) +oo )  e. 
_V
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( 2 [,) +oo )  e.  _V )
307, 22rerpdivcld 11204 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
x  /  ( theta `  x ) )  e.  RR )
31 ovex 6224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x )  e.  _V
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x )  e.  _V )
33 eqidd 2383 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( x  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( x  /  ( theta `  x
) ) ) )
347recnd 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
35 cxpsqrt 23171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
3736oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( log `  x )  /  ( sqr `  x
) ) )
3818recnd 9533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
3915rpsqrtcld 13245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
4039rpcnne0d 11186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 ) )
41 divcan5 10163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  (
( sqr `  x
)  x.  ( sqr `  x ) ) )  =  ( ( log `  x )  /  ( sqr `  x ) ) )
4238, 40, 40, 41syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( ( sqr `  x
)  x.  ( sqr `  x ) ) )  =  ( ( log `  x )  /  ( sqr `  x ) ) )
43 remsqsqrt 13092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( ( sqr `  x
)  x.  ( sqr `  x ) )  =  x )
447, 16, 43syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( sqr `  x
)  x.  ( sqr `  x ) )  =  x )
4544oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( ( sqr `  x
)  x.  ( sqr `  x ) ) )  =  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  x
) )
4637, 42, 453eqtr2d 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x ) )
4746mpteq2dva 4453 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x ) ) )
4829, 30, 32, 33, 47offval2 6455 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( x  / 
( theta `  x )
) )  oF  x.  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x )  /  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  /  ( theta `  x
) )  x.  (
( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x ) ) ) )
4915rpne0d 11182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
5022rpcnne0d 11186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) )
5119recnd 9533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
52 dmdcan 10171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0 )  /\  (
( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )  ->  (
( x  /  ( theta `  x ) )  x.  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  x
) )  =  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) )
5334, 49, 50, 51, 52syl211anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( x  /  ( theta `  x ) )  x.  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  x
) )  =  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) )
5453mpteq2dva 4453 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( x  / 
( theta `  x )
)  x.  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  ( theta `  x ) ) ) )
5548, 54eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( x  / 
( theta `  x )
) )  oF  x.  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x )  /  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  ( theta `  x ) ) ) )
56 chto1lb 23780 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( x  /  ( theta `  x
) ) )  e.  O(1)
5714ssriv 3421 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 [,) +oo )  C_  RR+
5857a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( 2 [,) +oo )  C_  RR+ )
59 1rp 11143 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
60 rphalfcl 11164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
62 cxploglim 23424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  /  ( x  ^c  ( 1  / 
2 ) ) ) )  ~~> r  0 )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  /  ( x  ^c  ( 1  / 
2 ) ) ) )  ~~> r  0
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) )  ~~> r  0 )
6558, 64rlimres2 13386 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) )  ~~> r  0 )
66 o1rlimmul 13443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( x  /  ( theta `  x ) ) )  e.  O(1)  /\  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) )  ~~> r  0 )  ->  ( (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( x  /  ( theta `  x ) ) )  oF  x.  (
x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
6756, 65, 66sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( x  / 
( theta `  x )
) )  oF  x.  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( log `  x )  /  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
6855, 67eqbrtrrd 4389 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) )  /  ( theta `  x
) ) )  ~~> r  0 )
692, 23, 27, 68rlimadd 13467 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( 1  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) ) )  ~~> r  ( 1  +  0 ) )
70 1p0e1 10565 . . . 4  |-  ( 1  +  0 )  =  1
7169, 70syl6breq 4406 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( 1  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) ) )  ~~> r  1 )
72 1re 9506 . . . 4  |-  1  e.  RR
73 readdcl 9486 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) )  /  ( theta `  x
) )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) )  /  ( theta `  x
) ) )  e.  RR )
7472, 23, 73sylancr 661 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) )  e.  RR )
75 chpcl 23515 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
767, 75syl 16 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
7776, 22rerpdivcld 11204 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  RR )
78 chtcl 23500 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
797, 78syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
8079, 19readdcld 9534 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  +  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
813a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  2  e.  RR )
82 1le2 10666 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  2
8382a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  1  <_  2 )
842, 81, 7, 83, 20letrd 9650 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
85 chpub 23612 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  <_  ( ( theta `  x
)  +  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )
867, 84, 85syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (ψ `  x )  <_  (
( theta `  x )  +  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
8776, 80, 22, 86lediv1dd 11231 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  <_  (
( ( theta `  x
)  +  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  / 
( theta `  x )
) )
8822rpcnd 11179 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
89 divdir 10147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  CC  /\  ( ( theta `  x
)  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( theta `  x )  +  ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  /  ( theta `  x
) )  =  ( ( ( theta `  x
)  /  ( theta `  x ) )  +  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) )  /  ( theta `  x
) ) ) )
9088, 51, 50, 89syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( theta `  x
)  +  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  / 
( theta `  x )
)  =  ( ( ( theta `  x )  /  ( theta `  x
) )  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) ) )
91 divid 10151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
)  ->  ( ( theta `  x )  / 
( theta `  x )
)  =  1 )
9250, 91syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( theta `  x
) )  =  1 )
9392oveq1d 6211 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  ( theta `  x ) )  +  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x ) )  /  ( theta `  x
) ) )  =  ( 1  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) ) )
9490, 93eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( ( theta `  x
)  +  ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  / 
( theta `  x )
)  =  ( 1  +  ( ( ( sqr `  x )  x.  ( log `  x
) )  /  ( theta `  x ) ) ) )
9587, 94breqtrd 4391 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  <_  (
1  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) ) )
9695adantrr 714 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  /\  1  <_  x ) )  -> 
( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) )  <_ 
( 1  +  ( ( ( sqr `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( theta `  x )
) ) )
9788mulid2d 9525 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  x.  ( theta `  x ) )  =  ( theta `  x )
)
98 chtlepsi 23598 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  <_ 
(ψ `  x )
)
997, 98syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  ( theta `  x )  <_ 
(ψ `  x )
)
10097, 99eqbrtrd 4387 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
1  x.  ( theta `  x ) )  <_ 
(ψ `  x )
)
1012, 76, 22lemuldivd 11222 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  (
( 1  x.  ( theta `  x ) )  <_  (ψ `  x
)  <->  1  <_  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) )
102100, 101mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 2 [,) +oo ) )  ->  1  <_  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )
103102adantrr 714 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )
1041, 1, 71, 74, 77, 96, 103rlimsqz2 13475 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1 )
105104trud 1408 1  |-  ( x  e.  ( 2 [,) +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399   T. wtru 1400    e. wcel 1826    =/= wne 2577   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    oFcof 6437   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408   +oocpnf 9536    < clt 9539    <_ cle 9540    / cdiv 10123   2c2 10502   RR+crp 11139   [,)cico 11452   sqrcsqrt 13068    ~~> r crli 13310   O(1)co1 13311   logclog 23027    ^c ccxp 23028   thetaccht 23481  ψcchp 23483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-o1 13315  df-lo1 13316  df-sum 13511  df-ef 13805  df-e 13806  df-sin 13807  df-cos 13808  df-pi 13810  df-dvds 13989  df-gcd 14147  df-prm 14220  df-pc 14363  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-limc 22355  df-dv 22356  df-log 23029  df-cxp 23030  df-cht 23487  df-vma 23488  df-chp 23489  df-ppi 23490
This theorem is referenced by:  chpo1ub  23782  pnt2  23915
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