MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem5 Structured version   Unicode version

Theorem chordthmlem5 23292
Description: If P is on the segment AB and AQ = BQ, then PA  x. PB = BQ 2  - PQ 2 . This follows from two uses of chordthmlem3 23290 to show that PQ 2 = QM 2  + PM 2 and BQ 2 = QM 2  + BM 2 , so BQ 2  - PQ 2 = (QM 2  + BM 2 )  - (QM 2  + PM 2 ) = BM 2  - PM 2 , which equals PA  x. PB by chordthmlem4 23291. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem5.A  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
chordthmlem5.B  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
chordthmlem5.Q  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
chordthmlem5.X  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
chordthmlem5.P  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
chordthmlem5.ABequidistQ  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
Assertion
Ref Expression
chordthmlem5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( B  -  Q
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  Q ) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem chordthmlem5
StepHypRef Expression
1 chordthmlem5.Q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
2 chordthmlem5.A . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 chordthmlem5.B . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
42, 3addcld 9632 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
54halfcld 10804 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC )
61, 5subcld 9950 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
76abscld 13278 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  RR )
87recnd 9639 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  CC )
98sqcld 12310 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
103, 5subcld 9950 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
1110abscld 13278 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  RR )
1211recnd 9639 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  CC )
1312sqcld 12310 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
14 chordthmlem5.P . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
15 unitssre 11692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
16 chordthmlem5.X . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1715, 16sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1817recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1918, 2mulcld 9633 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  x.  A
)  e.  CC )
20 1cnd 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
2120, 18subcld 9950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
2221, 3mulcld 9633 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  B
)  e.  CC )
2319, 22addcld 9632 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X
)  x.  B ) )  e.  CC )
2414, 23eqeltrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
2524, 5subcld 9950 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
2625abscld 13278 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  RR )
2726recnd 9639 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  CC )
2827sqcld 12310 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
299, 13, 28pnpcand 9987 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( P  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( B  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
30 0red 9614 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
31 eqidd 2458 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
322mul02d 9795 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )
3320subid1d 9939 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  0 )  =  1 )
3433oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  0 )  x.  B
)  =  ( 1  x.  B ) )
353mulid2d 9631 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  B
)  =  B )
3634, 35eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  0 )  x.  B
)  =  B )
3732, 36oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0  x.  A )  +  ( ( 1  -  0 )  x.  B ) )  =  ( 0  +  B ) )
383addid2d 9798 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  +  B
)  =  B )
3937, 38eqtr2d 2499 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( 0  x.  A )  +  ( ( 1  -  0 )  x.  B ) ) )
40 chordthmlem5.ABequidistQ . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
412, 3, 1, 30, 31, 39, 40chordthmlem3 23290 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  -  Q )
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
422, 3, 1, 17, 31, 14, 40chordthmlem3 23290 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  Q )
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( P  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
4341, 42oveq12d 6314 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( B  -  Q
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  Q ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( P  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
442, 3, 16, 31, 14chordthmlem4 23291 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( B  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
4529, 43, 443eqtr4rd 2509 1  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( B  -  Q
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  Q ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   [,]cicc 11557   ^cexp 12168   abscabs 13078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-log 23069
This theorem is referenced by:  chordthm  23293  chordthmALT  33834
  Copyright terms: Public domain W3C validator