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Theorem chordthmlem4 23035
Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA  x. PB = BM 2  - PM 2 . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity  X  x.  (
1  -  X )  =  ( 1  / 
2 ) 2  -  ( ( 1  /  2 )  -  X ) 2 . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem4.A  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
chordthmlem4.B  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
chordthmlem4.X  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
chordthmlem4.M  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
chordthmlem4.P  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
chordthmlem4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( B  -  M
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  M ) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem chordthmlem4
StepHypRef Expression
1 1re 9595 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 unitssre 11673 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
4 chordthmlem4.X . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
53, 4sseldi 3485 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
62, 5resubcld 9990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  RR )
76recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
87abscld 13243 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR )
98recnd 9622 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  CC )
10 chordthmlem4.B . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
11 chordthmlem4.A . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1210, 11subcld 9933 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
1312abscld 13243 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  A )
)  e.  RR )
1413recnd 9622 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  A )
)  e.  CC )
155recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1615abscld 13243 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
1716recnd 9622 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  CC )
189, 14, 17, 14mul4d 9792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) )  x.  ( ( abs `  X )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  X ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A )
)  x.  ( abs `  ( B  -  A
) ) ) ) )
19 chordthmlem4.P . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
2015, 11mulcld 9616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  x.  A
)  e.  CC )
217, 10mulcld 9616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  B
)  e.  CC )
2220, 21addcld 9615 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X
)  x.  B ) )  e.  CC )
2319, 22eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
2411, 23, 10, 15affineequiv2 23027 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  =  ( ( X  x.  A
)  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) )  <-> 
( P  -  A
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  ( B  -  A ) ) ) )
2519, 24mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  -  A
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  ( B  -  A ) ) )
2625fveq2d 5857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  A )
)  =  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  ( B  -  A )
) ) )
277, 12absmuld 13261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  ( 1  -  X ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
2826, 27eqtrd 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  A )
)  =  ( ( abs `  ( 1  -  X ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
2923, 10abssubd 13260 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  P
) ) )
3011, 23, 10, 15affineequiv 23026 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  =  ( ( X  x.  A
)  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) )  <-> 
( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) ) )
3119, 30mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) )
3231fveq2d 5857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  P )
)  =  ( abs `  ( X  x.  ( B  -  A )
) ) )
3315, 12absmuld 13261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  X )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) ) )
3429, 32, 333eqtrd 2486 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  B )
)  =  ( ( abs `  X )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
3528, 34oveq12d 6296 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) )  x.  ( ( abs `  X )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) ) ) )
3614sqvald 12283 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  -  A )
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( B  -  A
) )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) ) )
3736oveq2d 6294 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  X ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  X ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A )
)  x.  ( abs `  ( B  -  A
) ) ) ) )
3818, 35, 373eqtr4d 2492 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  X ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) ) )
392recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4039halfcld 10786 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
4140sqcld 12284 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
422rehalfcld 10788 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
4342, 5resubcld 9990 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  RR )
4443recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  CC )
4544abscld 13243 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) )  e.  RR )
4645recnd 9622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) )  e.  CC )
4746sqcld 12284 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 )  e.  CC )
4814sqcld 12284 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  -  A )
) ^ 2 )  e.  CC )
4941, 47, 48subdird 10016 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 1  /  2
) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) ) ) )
50 subsq 12251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ 2 )  -  ( ( ( 1  /  2 )  -  X ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  +  ( ( 1  /  2
)  -  X ) )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) ) )
5140, 44, 50syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
2 )  -  (
( ( 1  / 
2 )  -  X
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( ( 1  /  2 )  -  X ) )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( ( 1  / 
2 )  -  X
) ) ) )
5240, 40, 15addsubassd 9953 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) )  -  X
)  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )
53392halvesd 10787 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
5453oveq1d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) )  -  X
)  =  ( 1  -  X ) )
5552, 54eqtr3d 2484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( ( 1  /  2
)  -  X ) )  =  ( 1  -  X ) )
5640, 15nncand 9938 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  (
( 1  /  2
)  -  X ) )  =  X )
5755, 56oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( ( 1  / 
2 )  -  X
) )  x.  (
( 1  /  2
)  -  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )  =  ( ( 1  -  X )  x.  X ) )
5851, 57eqtr2d 2483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  X
)  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( 1  /  2 )  -  X ) ^
2 ) ) )
59 0re 9596 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
6059, 1elicc2i 11596 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1
) )
614, 60sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 ) )
6261simp3d 1009 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  <_  1 )
635, 2, 62abssubge0d 13239 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  =  ( 1  -  X ) )
6461simp2d 1008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
655, 64absidd 13230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  =  X )
6663, 65oveq12d 6296 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  X ) )  =  ( ( 1  -  X )  x.  X
) )
67 absresq 13111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  2
)  -  X )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2 )  -  X ) ^
2 ) )
6843, 67syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2 )  -  X ) ^
2 ) )
6968oveq2d 6294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
2 )  -  (
( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( 1  /  2 )  -  X ) ^
2 ) ) )
7058, 66, 693eqtr4d 2492 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  X ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
2 )  -  (
( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 ) ) )
7170oveq1d 6293 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  X ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^
2 )  -  (
( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A ) ) ^ 2 ) ) )
72 2cnd 10611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
73 2ne0 10631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
7510, 72, 74divcan4d 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  B )
7610times2d 10785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  x.  2 )  =  ( B  +  B ) )
7776oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
7875, 77eqtr3d 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
79 chordthmlem4.M . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
8078, 79oveq12d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
8110, 10addcld 9615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  +  B
)  e.  CC )
8211, 10addcld 9615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
8381, 82, 72, 74divsubdird 10362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
8410, 11, 10pnpcan2d 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B )
)  =  ( B  -  A ) )
8584oveq1d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
8680, 83, 853eqtr2d 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
8712, 72, 74divrec2d 10327 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
8886, 87eqtrd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
8988fveq2d 5857 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  M )
)  =  ( abs `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( B  -  A )
) ) )
9040, 12absmuld 13261 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  ( 1  /  2 ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
9159a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
92 halfgt0 10759 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 1  /  2
)
9392a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  /  2 ) )
9491, 42, 93ltled 9733 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  /  2 ) )
9542, 94absidd 13230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
9695oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  /  2 ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A
) ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) ) )
9789, 90, 963eqtrd 2486 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  M )
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
9897oveq1d 6293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  -  M )
) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) ^ 2 ) )
9940, 14sqmuld 12298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) ) )
10098, 99eqtrd 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  -  M )
) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A )
) ^ 2 ) ) )
10140, 15, 12subdird 10016 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
10288, 31oveq12d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
10382halfcld 10786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC )
10479, 103eqeltrd 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
10510, 104, 23nnncan1d 9967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( P  -  M ) )
106101, 102, 1053eqtr2rd 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  -  X )  x.  ( B  -  A ) ) )
107106fveq2d 5857 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  M )
)  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
) ) )
10844, 12absmuld 13261 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( 1  / 
2 )  -  X
)  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( 1  /  2 )  -  X ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
109107, 108eqtrd 2482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  M )
)  =  ( ( abs `  ( ( 1  /  2 )  -  X ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
110109oveq1d 6293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  M )
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( 1  /  2 )  -  X ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) ^ 2 ) )
11146, 14sqmuld 12298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( 1  / 
2 )  -  X
) )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( 1  / 
2 )  -  X
) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A ) ) ^ 2 ) ) )
112110, 111eqtrd 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  M )
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A )
) ^ 2 ) ) )
113100, 112oveq12d 6296 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( B  -  M
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  M ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 1  /  2
) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) ) ) )
11449, 71, 1133eqtr4rd 2493 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( B  -  M
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  M ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( 1  -  X ) )  x.  ( abs `  X
) )  x.  (
( abs `  ( B  -  A )
) ^ 2 ) ) )
11538, 114eqtr4d 2485 1  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( B  -  M
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  M ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   class class class wbr 4434   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9807    / cdiv 10209   2c2 10588   [,]cicc 11538   ^cexp 12142   abscabs 13043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-sup 7900  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-rp 11227  df-icc 11542  df-seq 12084  df-exp 12143  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045
This theorem is referenced by:  chordthmlem5  23036
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