Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem4 Structured version   Unicode version

Theorem chordthmlem4 23035
 Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA PB = BM 2 PM 2 . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity 2 2 . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem4.A
chordthmlem4.B
chordthmlem4.X
chordthmlem4.M
chordthmlem4.P
Assertion
Ref Expression
chordthmlem4

Proof of Theorem chordthmlem4
StepHypRef Expression
1 1re 9595 . . . . . . . . 9
21a1i 11 . . . . . . . 8
3 unitssre 11673 . . . . . . . . 9
4 chordthmlem4.X . . . . . . . . 9
53, 4sseldi 3485 . . . . . . . 8
62, 5resubcld 9990 . . . . . . 7
76recnd 9622 . . . . . 6
87abscld 13243 . . . . 5
98recnd 9622 . . . 4
10 chordthmlem4.B . . . . . . 7
11 chordthmlem4.A . . . . . . 7
1210, 11subcld 9933 . . . . . 6
1312abscld 13243 . . . . 5
1413recnd 9622 . . . 4
155recnd 9622 . . . . . 6
1615abscld 13243 . . . . 5
1716recnd 9622 . . . 4
189, 14, 17, 14mul4d 9792 . . 3
19 chordthmlem4.P . . . . . . 7
2015, 11mulcld 9616 . . . . . . . . . 10
217, 10mulcld 9616 . . . . . . . . . 10
2220, 21addcld 9615 . . . . . . . . 9
2319, 22eqeltrd 2529 . . . . . . . 8
2411, 23, 10, 15affineequiv2 23027 . . . . . . 7
2519, 24mpbid 210 . . . . . 6
2625fveq2d 5857 . . . . 5
277, 12absmuld 13261 . . . . 5
2826, 27eqtrd 2482 . . . 4
2923, 10abssubd 13260 . . . . 5
3011, 23, 10, 15affineequiv 23026 . . . . . . 7
3119, 30mpbid 210 . . . . . 6
3231fveq2d 5857 . . . . 5
3315, 12absmuld 13261 . . . . 5
3429, 32, 333eqtrd 2486 . . . 4
3528, 34oveq12d 6296 . . 3
3614sqvald 12283 . . . 4
3736oveq2d 6294 . . 3
3818, 35, 373eqtr4d 2492 . 2
392recnd 9622 . . . . . 6
4039halfcld 10786 . . . . 5
4140sqcld 12284 . . . 4
422rehalfcld 10788 . . . . . . . . 9
4342, 5resubcld 9990 . . . . . . . 8
4443recnd 9622 . . . . . . 7
4544abscld 13243 . . . . . 6
4645recnd 9622 . . . . 5
4746sqcld 12284 . . . 4
4814sqcld 12284 . . . 4
4941, 47, 48subdird 10016 . . 3
50 subsq 12251 . . . . . . 7
5140, 44, 50syl2anc 661 . . . . . 6
5240, 40, 15addsubassd 9953 . . . . . . . 8
53392halvesd 10787 . . . . . . . . 9
5453oveq1d 6293 . . . . . . . 8
5552, 54eqtr3d 2484 . . . . . . 7
5640, 15nncand 9938 . . . . . . 7
5755, 56oveq12d 6296 . . . . . 6
5851, 57eqtr2d 2483 . . . . 5
59 0re 9596 . . . . . . . . . 10
6059, 1elicc2i 11596 . . . . . . . . 9
614, 60sylib 196 . . . . . . . 8
6261simp3d 1009 . . . . . . 7
635, 2, 62abssubge0d 13239 . . . . . 6
6461simp2d 1008 . . . . . . 7
655, 64absidd 13230 . . . . . 6
6663, 65oveq12d 6296 . . . . 5
67 absresq 13111 . . . . . . 7
6843, 67syl 16 . . . . . 6
6968oveq2d 6294 . . . . 5
7058, 66, 693eqtr4d 2492 . . . 4
7170oveq1d 6293 . . 3
72 2cnd 10611 . . . . . . . . . . . . 13
73 2ne0 10631 . . . . . . . . . . . . . 14
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
7510, 72, 74divcan4d 10329 . . . . . . . . . . . 12
7610times2d 10785 . . . . . . . . . . . . 13
7776oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . 12
7875, 77eqtr3d 2484 . . . . . . . . . . 11
79 chordthmlem4.M . . . . . . . . . . 11
8078, 79oveq12d 6296 . . . . . . . . . 10
8110, 10addcld 9615 . . . . . . . . . . 11
8211, 10addcld 9615 . . . . . . . . . . 11
8381, 82, 72, 74divsubdird 10362 . . . . . . . . . 10
8410, 11, 10pnpcan2d 9971 . . . . . . . . . . 11
8584oveq1d 6293 . . . . . . . . . 10
8680, 83, 853eqtr2d 2488 . . . . . . . . 9
8712, 72, 74divrec2d 10327 . . . . . . . . 9
8886, 87eqtrd 2482 . . . . . . . 8
8988fveq2d 5857 . . . . . . 7
9040, 12absmuld 13261 . . . . . . 7
9159a1i 11 . . . . . . . . . 10
92 halfgt0 10759 . . . . . . . . . . 11
9392a1i 11 . . . . . . . . . 10
9491, 42, 93ltled 9733 . . . . . . . . 9
9542, 94absidd 13230 . . . . . . . 8
9695oveq1d 6293 . . . . . . 7
9789, 90, 963eqtrd 2486 . . . . . 6
9897oveq1d 6293 . . . . 5
9940, 14sqmuld 12298 . . . . 5
10098, 99eqtrd 2482 . . . 4
10140, 15, 12subdird 10016 . . . . . . . . 9
10288, 31oveq12d 6296 . . . . . . . . 9
10382halfcld 10786 . . . . . . . . . . 11
10479, 103eqeltrd 2529 . . . . . . . . . 10
10510, 104, 23nnncan1d 9967 . . . . . . . . 9
106101, 102, 1053eqtr2rd 2489 . . . . . . . 8
107106fveq2d 5857 . . . . . . 7
10844, 12absmuld 13261 . . . . . . 7
109107, 108eqtrd 2482 . . . . . 6
110109oveq1d 6293 . . . . 5
11146, 14sqmuld 12298 . . . . 5
112110, 111eqtrd 2482 . . . 4
113100, 112oveq12d 6296 . . 3
11449, 71, 1133eqtr4rd 2493 . 2
11538, 114eqtr4d 2485 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 972   wceq 1381   wcel 1802   wne 2636   class class class wbr 4434  cfv 5575  (class class class)co 6278  cc 9490  cr 9491  cc0 9492  c1 9493   caddc 9495   cmul 9497   clt 9628   cle 9629   cmin 9807   cdiv 10209  c2 10588  cicc 11538  cexp 12142  cabs 13043 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-sup 7900  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-rp 11227  df-icc 11542  df-seq 12084  df-exp 12143  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045 This theorem is referenced by:  chordthmlem5  23036
 Copyright terms: Public domain W3C validator