MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem2 Structured version   Unicode version

Theorem chordthmlem2 22885
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then QMP is a right angle. This is proven by reduction to the special case chordthmlem 22884, where P = B, and using angrtmuld 22861 to observe that QMP is right iff QMB is. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem2.angdef  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
chordthmlem2.A  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
chordthmlem2.B  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
chordthmlem2.Q  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
chordthmlem2.X  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
chordthmlem2.M  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
chordthmlem2.P  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
chordthmlem2.ABequidistQ  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
chordthmlem2.PneM  |-  ( ph  ->  P  =/=  M )
chordthmlem2.QneM  |-  ( ph  ->  Q  =/=  M )
Assertion
Ref Expression
chordthmlem2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
Distinct variable groups:    x, y, Q    x, P, y    x, M, y    x, B, y   
x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem chordthmlem2
StepHypRef Expression
1 chordthmlem2.angdef . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
2 chordthmlem2.A . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 chordthmlem2.B . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 chordthmlem2.Q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
5 chordthmlem2.M . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
6 chordthmlem2.ABequidistQ . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
7 2re 10594 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
9 2ne0 10617 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
118, 10rereccld 10360 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
12 chordthmlem2.X . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1311, 12resubcld 9976 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  RR )
1413recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  CC )
153, 2subcld 9919 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
1611recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
1712recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1816, 17, 15subdird 10002 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
19 2cnd 10597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
203, 19, 10divcan4d 10315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  B )
213times2d 10771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  x.  2 )  =  ( B  +  B ) )
2221oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
2320, 22eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
2423, 5oveq12d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
253, 3addcld 9604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  +  B
)  e.  CC )
262, 3addcld 9604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2725, 26, 19, 10divsubdird 10348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
283, 2, 3pnpcan2d 9957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B )
)  =  ( B  -  A ) )
2928oveq1d 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
3024, 27, 293eqtr2d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
3115, 19, 10divrec2d 10313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
3230, 31eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
33 chordthmlem2.P . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
3417, 2mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  x.  A
)  e.  CC )
35 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3635, 17subcld 9919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
3736, 3mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  B
)  e.  CC )
3834, 37addcld 9604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X
)  x.  B ) )  e.  CC )
3933, 38eqeltrd 2548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
402, 39, 3, 17affineequiv 22878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  =  ( ( X  x.  A
)  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) )  <-> 
( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) ) )
4133, 40mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) )
4232, 41oveq12d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
4326halfcld 10772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC )
445, 43eqeltrd 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
453, 44, 39nnncan1d 9953 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( P  -  M ) )
4618, 42, 453eqtr2rd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  -  X )  x.  ( B  -  A ) ) )
47 chordthmlem2.PneM . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =/=  M )
4839, 44, 47subne0d 9928 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  =/=  0 )
4946, 48eqnetrrd 2754 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
)  =/=  0 )
5014, 15, 49mulne0bbd 10194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  =/=  0 )
513, 2, 50subne0ad 9930 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
5251necomd 2731 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
53 chordthmlem2.QneM . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =/=  M )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 53chordthmlem 22884 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( B  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
554, 44subcld 9919 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  -  M
)  e.  CC )
5639, 44subcld 9919 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  e.  CC )
573, 44subcld 9919 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  e.  CC )
584, 44, 53subne0d 9928 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  -  M
)  =/=  0 )
5919, 10recne0d 10303 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
6016, 15, 59, 50mulne0d 10190 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( B  -  A )
)  =/=  0 )
6132, 60eqnetrd 2753 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =/=  0 )
6232, 46oveq12d 6293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  /  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A
) ) ) )
6314, 15, 49mulne0bad 10193 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  =/=  0 )
6416, 14, 15, 63, 50divcan5rd 10336 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A
) )  /  (
( ( 1  / 
2 )  -  X
)  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  /  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )
6562, 64eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  =  ( ( 1  /  2 )  /  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )
6611, 13, 63redivcld 10361 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  /  (
( 1  /  2
)  -  X ) )  e.  RR )
6765, 66eqeltrd 2548 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  e.  RR )
681, 55, 56, 57, 58, 48, 61, 67angrtmuld 22861 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M
) )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( ( Q  -  M ) F ( B  -  M
) )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) } ) )
6954, 68mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655    \ cdif 3466   {csn 4020   {cpr 4022   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9794   -ucneg 9795    / cdiv 10195   2c2 10574   Imcim 12881   abscabs 13017   picpi 13653   logclog 22663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665
This theorem is referenced by:  chordthmlem3  22886
  Copyright terms: Public domain W3C validator