MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem2 Structured version   Unicode version

Theorem chordthmlem2 23487
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then QMP is a right angle. This is proven by reduction to the special case chordthmlem 23486, where P = B, and using angrtmuld 23465 to observe that QMP is right iff QMB is. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem2.angdef  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
chordthmlem2.A  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
chordthmlem2.B  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
chordthmlem2.Q  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
chordthmlem2.X  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
chordthmlem2.M  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
chordthmlem2.P  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
chordthmlem2.ABequidistQ  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
chordthmlem2.PneM  |-  ( ph  ->  P  =/=  M )
chordthmlem2.QneM  |-  ( ph  ->  Q  =/=  M )
Assertion
Ref Expression
chordthmlem2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
Distinct variable groups:    x, y, Q    x, P, y    x, M, y    x, B, y   
x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem chordthmlem2
StepHypRef Expression
1 chordthmlem2.angdef . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
2 chordthmlem2.A . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 chordthmlem2.B . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 chordthmlem2.Q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
5 chordthmlem2.M . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
6 chordthmlem2.ABequidistQ . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
7 2re 10645 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
9 2ne0 10668 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
118, 10rereccld 10411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
12 chordthmlem2.X . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1311, 12resubcld 10027 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  RR )
1413recnd 9651 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  CC )
153, 2subcld 9966 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
1611recnd 9651 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
1712recnd 9651 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1816, 17, 15subdird 10053 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
19 2cnd 10648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
203, 19, 10divcan4d 10366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  B )
213times2d 10822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  x.  2 )  =  ( B  +  B ) )
2221oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
2320, 22eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
2423, 5oveq12d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
253, 3addcld 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  +  B
)  e.  CC )
262, 3addcld 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2725, 26, 19, 10divsubdird 10399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
283, 2, 3pnpcan2d 10004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B )
)  =  ( B  -  A ) )
2928oveq1d 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
3024, 27, 293eqtr2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
3115, 19, 10divrec2d 10364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
3230, 31eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
33 chordthmlem2.P . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
3417, 2mulcld 9645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  x.  A
)  e.  CC )
35 1cnd 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3635, 17subcld 9966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
3736, 3mulcld 9645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  B
)  e.  CC )
3834, 37addcld 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X
)  x.  B ) )  e.  CC )
3933, 38eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
402, 39, 3, 17affineequiv 23480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  =  ( ( X  x.  A
)  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) )  <-> 
( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) ) )
4133, 40mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) )
4232, 41oveq12d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
4326halfcld 10823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC )
445, 43eqeltrd 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
453, 44, 39nnncan1d 10000 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( P  -  M ) )
4618, 42, 453eqtr2rd 2450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  -  X )  x.  ( B  -  A ) ) )
47 chordthmlem2.PneM . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =/=  M )
4839, 44, 47subne0d 9975 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  =/=  0 )
4946, 48eqnetrrd 2697 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
)  =/=  0 )
5014, 15, 49mulne0bbd 10245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  =/=  0 )
513, 2, 50subne0ad 9977 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
5251necomd 2674 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
53 chordthmlem2.QneM . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =/=  M )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 53chordthmlem 23486 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( B  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
554, 44subcld 9966 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  -  M
)  e.  CC )
5639, 44subcld 9966 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  e.  CC )
573, 44subcld 9966 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  e.  CC )
584, 44, 53subne0d 9975 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  -  M
)  =/=  0 )
5919, 10recne0d 10354 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
6016, 15, 59, 50mulne0d 10241 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( B  -  A )
)  =/=  0 )
6132, 60eqnetrd 2696 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =/=  0 )
6232, 46oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  /  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A
) ) ) )
6314, 15, 49mulne0bad 10244 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  =/=  0 )
6416, 14, 15, 63, 50divcan5rd 10387 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A
) )  /  (
( ( 1  / 
2 )  -  X
)  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  /  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )
6562, 64eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  =  ( ( 1  /  2 )  /  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )
6611, 13, 63redivcld 10412 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  /  (
( 1  /  2
)  -  X ) )  e.  RR )
6765, 66eqeltrd 2490 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  e.  RR )
681, 55, 56, 57, 58, 48, 61, 67angrtmuld 23465 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M
) )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( ( Q  -  M ) F ( B  -  M
) )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) } ) )
6954, 68mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    \ cdif 3410   {csn 3971   {cpr 3973   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526    - cmin 9840   -ucneg 9841    / cdiv 10246   2c2 10625   Imcim 13078   abscabs 13214   picpi 14009   logclog 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-shft 13047  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-ef 14010  df-sin 14012  df-cos 14013  df-pi 14015  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561  df-log 23234
This theorem is referenced by:  chordthmlem3  23488
  Copyright terms: Public domain W3C validator