MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem2 Structured version   Unicode version

Theorem chordthmlem2 22228
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then QMP is a right angle. This is proven by reduction to the special case chordthmlem 22227, where P = B, and using angrtmuld 22204 to observe that QMP is right iff QMB is. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem2.angdef  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
chordthmlem2.A  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
chordthmlem2.B  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
chordthmlem2.Q  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
chordthmlem2.X  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
chordthmlem2.M  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
chordthmlem2.P  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
chordthmlem2.ABequidistQ  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
chordthmlem2.PneM  |-  ( ph  ->  P  =/=  M )
chordthmlem2.QneM  |-  ( ph  ->  Q  =/=  M )
Assertion
Ref Expression
chordthmlem2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
Distinct variable groups:    x, y, Q    x, P, y    x, M, y    x, B, y   
x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem chordthmlem2
StepHypRef Expression
1 chordthmlem2.angdef . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
2 chordthmlem2.A . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 chordthmlem2.B . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 chordthmlem2.Q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
5 chordthmlem2.M . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
6 chordthmlem2.ABequidistQ . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
7 2re 10391 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
9 2ne0 10414 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
118, 10rereccld 10158 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
12 chordthmlem2.X . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1311, 12resubcld 9776 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  RR )
1413recnd 9412 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  CC )
153, 2subcld 9719 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
1611recnd 9412 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
1712recnd 9412 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1816, 17, 15subdird 9801 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
19 2cnd 10394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
203, 19, 10divcan4d 10113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  B )
213times2d 10568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  x.  2 )  =  ( B  +  B ) )
2221oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
2320, 22eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
2423, 5oveq12d 6109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
253, 3addcld 9405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  +  B
)  e.  CC )
262, 3addcld 9405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2725, 26, 19, 10divsubdird 10146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
283, 2, 3pnpcan2d 9757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B )
)  =  ( B  -  A ) )
2928oveq1d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
3024, 27, 293eqtr2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
3115, 19, 10divrec2d 10111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
3230, 31eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
33 chordthmlem2.P . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
3417, 2mulcld 9406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  x.  A
)  e.  CC )
35 1cnd 9402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3635, 17subcld 9719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
3736, 3mulcld 9406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  B
)  e.  CC )
3834, 37addcld 9405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X
)  x.  B ) )  e.  CC )
3933, 38eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
402, 39, 3, 17affineequiv 22221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  =  ( ( X  x.  A
)  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) )  <-> 
( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) ) )
4133, 40mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) )
4232, 41oveq12d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
4326halfcld 10569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC )
445, 43eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
453, 44, 39nnncan1d 9753 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( P  -  M ) )
4618, 42, 453eqtr2rd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  -  X )  x.  ( B  -  A ) ) )
47 chordthmlem2.PneM . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =/=  M )
4839, 44, 47subne0d 9728 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  =/=  0 )
4946, 48eqnetrrd 2628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
)  =/=  0 )
5014, 15, 49mulne0bbd 9992 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  =/=  0 )
513, 2, 50subne0ad 9730 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
5251necomd 2695 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
53 chordthmlem2.QneM . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =/=  M )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 53chordthmlem 22227 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( B  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
554, 44subcld 9719 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  -  M
)  e.  CC )
5639, 44subcld 9719 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  e.  CC )
573, 44subcld 9719 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  e.  CC )
584, 44, 53subne0d 9728 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  -  M
)  =/=  0 )
5919, 10recne0d 10101 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
6016, 15, 59, 50mulne0d 9988 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( B  -  A )
)  =/=  0 )
6132, 60eqnetrd 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =/=  0 )
6232, 46oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  /  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A
) ) ) )
6314, 15, 49mulne0bad 9991 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  =/=  0 )
6416, 14, 15, 63, 50divcan5rd 10134 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A
) )  /  (
( ( 1  / 
2 )  -  X
)  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  /  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )
6562, 64eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  =  ( ( 1  /  2 )  /  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )
6611, 13, 63redivcld 10159 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  /  (
( 1  /  2
)  -  X ) )  e.  RR )
6765, 66eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  e.  RR )
681, 55, 56, 57, 58, 48, 61, 67angrtmuld 22204 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M
) )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( ( Q  -  M ) F ( B  -  M
) )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) } ) )
6954, 68mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    \ cdif 3325   {csn 3877   {cpr 3879   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    - cmin 9595   -ucneg 9596    / cdiv 9993   2c2 10371   Imcim 12587   abscabs 12723   picpi 13352   logclog 22006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008
This theorem is referenced by:  chordthmlem3  22229
  Copyright terms: Public domain W3C validator