Theorem choicefi 37535

Description: For a finite set, a choice function exists, without using the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
choicefi.a	|- ( ph -> A e. Fin )
choicefi.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W )
choicefi.n	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
choicefi	|- ( ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   B, f   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( x)   W( x, f)

Proof of Theorem choicefi

Dummy variables g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		choicefi.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
2		mptfi 7904	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( x e. A |-> B ) e. Fin )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. Fin )
4		rnfi 7888	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> B ) e. Fin -> ran ( x e. A |-> B ) e. Fin )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( x e. A |-> B ) e. Fin )
6		fnchoice 37391	. . 3 |- ( ran ( x e. A |-> B ) e. Fin -> E. g ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. g ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) )
8		simpl 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) ) -> ph )
9		simprl 769	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) ) -> g Fn ran ( x e. A |-> B ) )
10		nfv 1772	. . . . . . . 8 |- F/ y ph
11		nfra1 2781	. . . . . . . 8 |- F/ y A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y )
12	10, 11	nfan 2022	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) )
13		rspa 2767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) )
14	13	adantll 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) )
15		vex 3060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
16		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
17	16	elrnmpt 5103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A y = B ) )
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A y = B )
19	18	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ran ( x e. A |-> B ) -> E. x e. A y = B )
20	19	adantl 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> E. x e. A y = B )
21		simp3 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = B ) -> y = B )
22		choicefi.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B =/= (/) )
23	22	3adant3 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = B ) -> B =/= (/) )
24	21, 23	eqnetrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = B ) -> y =/= (/) )
25	24	3exp 1214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. A -> ( y = B -> y =/= (/) ) ) )
26	25	rexlimdv 2889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E. x e. A y = B -> y =/= (/) ) )
27	26	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( E. x e. A y = B -> y =/= (/) ) )
28	20, 27	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> y =/= (/) )
29	28	adantlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> y =/= (/) )
30		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) -> ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) )
31	30	imp 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ y =/= (/) ) -> ( g ` y ) e. y )
32	14, 29, 31	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( g ` y ) e. y )
33	32	ex 440	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) -> ( y e. ran ( x e. A |-> B ) -> ( g ` y ) e. y ) )
34	12, 33	ralrimi 2800	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) -> A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y )
35		rsp 2766	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y -> ( y e. ran ( x e. A |-> B ) -> ( g ` y ) e. y ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) -> ( y e. ran ( x e. A |-> B ) -> ( g ` y ) e. y ) )
37	12, 36	ralrimi 2800	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) -> A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y )
38	37	adantrl 727	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) ) -> A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y )
39		vex 3060	. . . . . . . . 9 |- g e. _V
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> g e. _V )
41	1	mptexd 37531	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
42		coexg 6776	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. _V /\ ( x e. A |-> B ) e. _V ) -> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) e. _V )
43	40, 41, 42	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) e. _V )
44	43	3ad2ant1 1035	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) e. _V )
45		simpr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) ) -> g Fn ran ( x e. A |-> B ) )
46		choicefi.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W )
47	46	ralrimiva 2814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. A B e. W )
48	16	fnmpt 5730	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A B e. W -> ( x e. A |-> B ) Fn A )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) Fn A )
50	49	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( x e. A |-> B ) Fn A )
51		ssid 3463	. . . . . . . . . 10 |- ran ( x e. A |-> B ) C_ ran ( x e. A |-> B )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) ) -> ran ( x e. A |-> B ) C_ ran ( x e. A |-> B ) )
53		fnco 5710	. . . . . . . . 9 |- ( ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ ( x e. A |-> B ) Fn A /\ ran ( x e. A |-> B ) C_ ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A )
54	45, 50, 52, 53	syl3anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A )
55	54	3adant3 1034	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A )
56		nfv 1772	. . . . . . . . 9 |- F/ x ph
57		nfcv 2603	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x g
58		nfmpt1 4508	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
59	58	nfrn 5099	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ran ( x e. A |-> B )
60	57, 59	nffn 5698	. . . . . . . . 9 |- F/ x g Fn ran ( x e. A |-> B )
61		nfv 1772	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( g ` y ) e. y
62	59, 61	nfral 2786	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y
63	56, 60, 62	nf3an 2024	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y )
64		funmpt 5641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Fun ( x e. A |-> B )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Fun ( x e. A |-> B ) )
66		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
67	16, 46	dmmptd 5734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
68	67	eqcomd 2468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A = dom ( x e. A |-> B ) )
69	68	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A = dom ( x e. A |-> B ) )
70	66, 69	eleqtrd 2542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. dom ( x e. A |-> B ) )
71		fvco 5969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( x e. A |-> B ) /\ x e. dom ( x e. A |-> B ) ) -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) = ( g ` ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
72	65, 70, 71	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) = ( g ` ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
73	16	fvmpt2 5985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ B e. W ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
74	66, 46, 73	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
75	74	fveq2d 5896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( g ` ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) = ( g ` B ) )
76	72, 75	eqtrd 2496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) = ( g ` B ) )
77	76	3ad2antl1 1176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) = ( g ` B ) )
78	16	elrnmpt1 5105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ B e. W ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
79	66, 46, 78	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
80	79	3ad2antl1 1176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) /\ x e. A ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
81		simpl3 1019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) /\ x e. A ) -> A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y )
82		fveq2 5892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = B -> ( g ` y ) = ( g ` B ) )
83		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = B -> y = B )
84	82, 83	eleq12d 2534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = B -> ( ( g ` y ) e. y <-> ( g ` B ) e. B ) )
85	84	rspcva 3160	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> ( g ` B ) e. B )
86	80, 81, 85	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) /\ x e. A ) -> ( g ` B ) e. B )
87	77, 86	eqeltrd 2540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B )
88	87	ex 440	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> ( x e. A -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B ) )
89	63, 88	ralrimi 2800	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> A. x e. A ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B )
90	55, 89	jca 539	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A /\ A. x e. A ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B ) )
91		fneq1 5690	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. ( x e. A |-> B ) ) -> ( f Fn A <-> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A ) )
92		nfcv 2603	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x f
93	57, 58	nfco 5022	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( g o. ( x e. A |-> B ) )
94	92, 93	nfeq 2614	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( g o. ( x e. A |-> B ) )
95		fveq1 5891	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. ( x e. A |-> B ) ) -> ( f ` x ) = ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) )
96	95	eleq1d 2524	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. ( x e. A |-> B ) ) -> ( ( f ` x ) e. B <-> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B ) )
97	94, 96	ralbid 2834	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. ( x e. A |-> B ) ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B <-> A. x e. A ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B ) )
98	91, 97	anbi12d 722	. . . . . . 7 |- ( f = ( g o. ( x e. A |-> B ) ) -> ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) <-> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A /\ A. x e. A ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B ) ) )
99	98	spcegv 3147	. . . . . 6 |- ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) e. _V -> ( ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A /\ A. x e. A ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) ) )
100	44, 90, 99	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
101	8, 9, 38, 100	syl3anc 1276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
102	101	ex 440	. . 3 |- ( ph -> ( ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) ) )
103	102	exlimdv 1790	. 2 |- ( ph -> ( E. g ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) ) )
104	7, 103	mpd 15	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   C_ wss 3416   (/)c0 3743   |-> cmpt 4477   dom cdm 4856   ran crn 4857   o. ccom 4860   Fun wfun 5599   Fn wfn 5600   ` cfv 5605   Fincfn 7600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-fin 7604

This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  38264  hoiqssbllem3  38553