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Theorem choicefi 37535
Description: For a finite set, a choice function exists, without using the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
choicefi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
choicefi.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  W )
choicefi.n  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
choicefi  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  B ) )
Distinct variable groups:    A, f, x    B, f    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( x)    W( x, f)

Proof of Theorem choicefi
Dummy variables  g 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 choicefi.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 mptfi 7904 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
4 rnfi 7888 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
Fin )
6 fnchoice 37391 . . 3  |-  ( ran  ( x  e.  A  |->  B )  e.  Fin  ->  E. g ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e. 
ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y ) ) )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e. 
ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y ) ) )
8 simpl 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y ) ) )  ->  ph )
9 simprl 769 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y ) ) )  -> 
g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  B ) )
10 nfv 1772 . . . . . . . 8  |-  F/ y
ph
11 nfra1 2781 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )
1210, 11nfan 2022 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y ) )
13 rspa 2767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y )  /\  y  e. 
ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  ->  ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y ) )
1413adantll 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y ) )  /\  y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  ->  ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y ) )
15 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
16 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1716elrnmpt 5103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  <->  E. x  e.  A  y  =  B )
)
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  <->  E. x  e.  A  y  =  B )
1918biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  ->  E. x  e.  A  y  =  B )
2019adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  ->  E. x  e.  A  y  =  B )
21 simp3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
22 choicefi.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
23223adant3 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  B  =/=  (/) )
2421, 23eqnetrd 2703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  =  B )  ->  y  =/=  (/) )
25243exp 1214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  =  B  ->  y  =/=  (/) ) ) )
2625rexlimdv 2889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  y  =  B  ->  y  =/=  (/) ) )
2726adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  -> 
( E. x  e.  A  y  =  B  ->  y  =/=  (/) ) )
2820, 27mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  -> 
y  =/=  (/) )
2928adantlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y ) )  /\  y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  ->  y  =/=  (/) )
30 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  ->  (
y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y ) )
3130imp 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y )  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
g `  y )  e.  y )
3214, 29, 31syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y ) )  /\  y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  ->  ( g `  y )  e.  y )
3332ex 440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y ) )  -> 
( y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  ->  (
g `  y )  e.  y ) )
3412, 33ralrimi 2800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y ) )  ->  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `
 y )  e.  y )
35 rsp 2766 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `  y
)  e.  y  -> 
( y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  ->  (
g `  y )  e.  y ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y ) )  -> 
( y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B )  ->  (
g `  y )  e.  y ) )
3712, 36ralrimi 2800 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y ) )  ->  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `
 y )  e.  y )
3837adantrl 727 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y ) ) )  ->  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `
 y )  e.  y )
39 vex 3060 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  g  e.  _V )
411mptexd 37531 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
42 coexg 6776 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  _V  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )  ->  ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. 
_V )
4340, 41, 42syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( g  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  e.  _V )
44433ad2ant1 1035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `  y
)  e.  y )  ->  ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. 
_V )
45 simpr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  -> 
g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  B ) )
46 choicefi.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  W )
4746ralrimiva 2814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  W )
4816fnmpt 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  W  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A
)
5049adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B )  Fn  A
)
51 ssid 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
x  e.  A  |->  B )  C_  ran  ( x  e.  A  |->  B )
5251a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  B )  C_  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
53 fnco 5710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  /\  ran  ( x  e.  A  |->  B )  C_  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  -> 
( g  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  Fn  A
)
5445, 50, 52, 53syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )  -> 
( g  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  Fn  A
)
55543adant3 1034 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `  y
)  e.  y )  ->  ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  Fn  A )
56 nfv 1772 . . . . . . . . 9  |-  F/ x ph
57 nfcv 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
g
58 nfmpt1 4508 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
5958nfrn 5099 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x ran  ( x  e.  A  |->  B )
6057, 59nffn 5698 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )
61 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( g `  y
)  e.  y
6259, 61nfral 2786 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `
 y )  e.  y
6356, 60, 62nf3an 2024 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B ) ( g `  y )  e.  y )
64 funmpt 5641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Fun  ( x  e.  A  |->  B ) )
66 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
6716, 46dmmptd 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
6867eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  =  dom  (
x  e.  A  |->  B ) )
6968adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A  =  dom  ( x  e.  A  |->  B ) )
7066, 69eleqtrd 2542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  ( x  e.  A  |->  B ) )
71 fvco 5969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  x  e.  dom  ( x  e.  A  |->  B ) )  ->  ( (
g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) ) `  x )  =  ( g `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
7265, 70, 71syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( g  o.  (
x  e.  A  |->  B ) ) `  x
)  =  ( g `
 ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ) )
7316fvmpt2 5985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  W )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
7466, 46, 73syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
7574fveq2d 5896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) )  =  ( g `
 B ) )
7672, 75eqtrd 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( g  o.  (
x  e.  A  |->  B ) ) `  x
)  =  ( g `
 B ) )
77763ad2antl1 1176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B ) ( g `  y )  e.  y )  /\  x  e.  A )  ->  (
( g  o.  (
x  e.  A  |->  B ) ) `  x
)  =  ( g `
 B ) )
7816elrnmpt1 5105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  W )  ->  B  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B ) )
7966, 46, 78syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
80793ad2antl1 1176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B ) ( g `  y )  e.  y )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) )
81 simpl3 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B ) ( g `  y )  e.  y )  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `  y )  e.  y )
82 fveq2 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
g `  y )  =  ( g `  B ) )
83 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  y  =  B )
8482, 83eleq12d 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  (
( g `  y
)  e.  y  <->  ( g `  B )  e.  B
) )
8584rspcva 3160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `  y )  e.  y )  -> 
( g `  B
)  e.  B )
8680, 81, 85syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B ) ( g `  y )  e.  y )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  B )  e.  B )
8777, 86eqeltrd 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B ) ( g `  y )  e.  y )  /\  x  e.  A )  ->  (
( g  o.  (
x  e.  A  |->  B ) ) `  x
)  e.  B )
8887ex 440 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `  y
)  e.  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ( (
g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) ) `  x )  e.  B ) )
8963, 88ralrimi 2800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `  y
)  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) ) `  x )  e.  B
)
9055, 89jca 539 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `  y
)  e.  y )  ->  ( ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  Fn  A  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  (
x  e.  A  |->  B ) ) `  x
)  e.  B ) )
91 fneq1 5690 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  -> 
( f  Fn  A  <->  ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  Fn  A ) )
92 nfcv 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
f
9357, 58nfco 5022 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( g  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )
9492, 93nfeq 2614 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  f  =  ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )
95 fveq1 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  -> 
( f `  x
)  =  ( ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) ) `  x ) )
9695eleq1d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  -> 
( ( f `  x )  e.  B  <->  ( ( g  o.  (
x  e.  A  |->  B ) ) `  x
)  e.  B ) )
9794, 96ralbid 2834 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B  <->  A. x  e.  A  ( ( g  o.  (
x  e.  A  |->  B ) ) `  x
)  e.  B ) )
9891, 97anbi12d 722 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  -> 
( ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)  <->  ( ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  Fn  A  /\  A. x  e.  A  (
( g  o.  (
x  e.  A  |->  B ) ) `  x
)  e.  B ) ) )
9998spcegv 3147 . . . . . 6  |-  ( ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e.  _V  ->  ( ( ( g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( (
g  o.  ( x  e.  A  |->  B ) ) `  x )  e.  B )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
) ) )
10044, 90, 99sylc 62 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( g `  y
)  e.  y )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  B ) )
1018, 9, 38, 100syl3anc 1276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y ) ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
) )
102101ex 440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g  Fn 
ran  ( x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  (
x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  y ) )  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) ) )
103102exlimdv 1790 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  B )  /\  A. y  e.  ran  ( x  e.  A  |->  B ) ( y  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  y ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
) ) )
1047, 103mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    C_ wss 3416   (/)c0 3743    |-> cmpt 4477   dom cdm 4856   ran crn 4857    o. ccom 4860   Fun wfun 5599    Fn wfn 5600   ` cfv 5605   Fincfn 7600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-fin 7604
This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  38264  hoiqssbllem3  38553
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