HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  choc1 Structured version   Unicode version

Theorem choc1 24749
Description: The orthocomplement of the unit subspace is the zero subspace. Does not require Axiom of Choice. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
choc1  |-  ( _|_ `  ~H )  =  0H

Proof of Theorem choc1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 helsh 24667 . . . . . . 7  |-  ~H  e.  SH
2 shocel 24704 . . . . . . 7  |-  ( ~H  e.  SH  ->  (
x  e.  ( _|_ `  ~H )  <->  ( x  e.  ~H  /\  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  y )  =  0 ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( _|_ `  ~H ) 
<->  ( x  e.  ~H  /\ 
A. y  e.  ~H  ( x  .ih  y )  =  0 ) )
43simprbi 464 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _|_ `  ~H )  ->  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  y )  =  0 )
5 shocss 24708 . . . . . . . 8  |-  ( ~H  e.  SH  ->  ( _|_ `  ~H )  C_  ~H )
61, 5ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  ~H )  C_  ~H
76sseli 3371 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( _|_ `  ~H )  ->  x  e.  ~H )
8 hial0 24523 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( A. y  e.  ~H  ( x  .ih  y )  =  0  <->  x  =  0h ) )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _|_ `  ~H )  ->  ( A. y  e.  ~H  ( x  .ih  y )  =  0  <-> 
x  =  0h )
)
104, 9mpbid 210 . . . 4  |-  ( x  e.  ( _|_ `  ~H )  ->  x  =  0h )
11 elch0 24676 . . . 4  |-  ( x  e.  0H  <->  x  =  0h )
1210, 11sylibr 212 . . 3  |-  ( x  e.  ( _|_ `  ~H )  ->  x  e.  0H )
1312ssriv 3379 . 2  |-  ( _|_ `  ~H )  C_  0H
14 h0elsh 24678 . . . 4  |-  0H  e.  SH
15 shococss 24716 . . . 4  |-  ( 0H  e.  SH  ->  0H  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  0H ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . 3  |-  0H  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  0H ) )
17 choc0 24748 . . . 4  |-  ( _|_ `  0H )  =  ~H
1817fveq2i 5713 . . 3  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  0H ) )  =  ( _|_ `  ~H )
1916, 18sseqtri 3407 . 2  |-  0H  C_  ( _|_ `  ~H )
2013, 19eqssi 3391 1  |-  ( _|_ `  ~H )  =  0H
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734    C_ wss 3347   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   0cc0 9301   ~Hchil 24340    .ih csp 24343   0hc0v 24345   SHcsh 24349   _|_cort 24351   0Hc0h 24356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380  ax-mulf 9381  ax-hilex 24420  ax-hfvadd 24421  ax-hvcom 24422  ax-hvass 24423  ax-hv0cl 24424  ax-hvaddid 24425  ax-hfvmul 24426  ax-hvmulid 24427  ax-hvmulass 24428  ax-hvdistr1 24429  ax-hvdistr2 24430  ax-hvmul0 24431  ax-hfi 24500  ax-his1 24503  ax-his2 24504  ax-his3 24505  ax-his4 24506
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-sup 7710  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-icc 11326  df-seq 11826  df-exp 11885  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-topgen 14401  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-lm 18852  df-haus 18938  df-grpo 23697  df-gid 23698  df-ginv 23699  df-gdiv 23700  df-ablo 23788  df-vc 23943  df-nv 23989  df-va 23992  df-ba 23993  df-sm 23994  df-0v 23995  df-vs 23996  df-nmcv 23997  df-ims 23998  df-hnorm 24389  df-hvsub 24392  df-hlim 24393  df-sh 24628  df-ch 24643  df-oc 24674  df-ch0 24675
This theorem is referenced by:  ho0val  25173  st0  25672
  Copyright terms: Public domain W3C validator