HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  choc0 Structured version   Unicode version

Theorem choc0 24866
Description: The orthocomplement of the zero subspace is the unit subspace. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
choc0  |-  ( _|_ `  0H )  =  ~H

Proof of Theorem choc0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 h0elsh 24796 . . . 4  |-  0H  e.  SH
2 shocel 24822 . . . 4  |-  ( 0H  e.  SH  ->  (
x  e.  ( _|_ `  0H )  <->  ( x  e.  ~H  /\  A. y  e.  0H  ( x  .ih  y )  =  0 ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  ( x  e.  ( _|_ `  0H ) 
<->  ( x  e.  ~H  /\ 
A. y  e.  0H  ( x  .ih  y )  =  0 ) )
4 hi02 24636 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  .ih  0h )  =  0 )
5 df-ral 2800 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  0H  (
x  .ih  y )  =  0  <->  A. y
( y  e.  0H  ->  ( x  .ih  y
)  =  0 ) )
6 elch0 24794 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  0H  <->  y  =  0h )
76imbi1i 325 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  0H  ->  ( x  .ih  y )  =  0 )  <->  ( y  =  0h  ->  ( x  .ih  y )  =  0 ) )
87albii 1611 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  e.  0H  ->  ( x  .ih  y )  =  0 )  <->  A. y ( y  =  0h  ->  (
x  .ih  y )  =  0 ) )
9 ax-hv0cl 24542 . . . . . . . . 9  |-  0h  e.  ~H
109elexi 3080 . . . . . . . 8  |-  0h  e.  _V
11 oveq2 6200 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0h  ->  (
x  .ih  y )  =  ( x  .ih  0h ) )
1211eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0h  ->  (
( x  .ih  y
)  =  0  <->  (
x  .ih  0h )  =  0 ) )
1310, 12ceqsalv 3098 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  =  0h  ->  ( x  .ih  y )  =  0 )  <->  ( x  .ih  0h )  =  0 )
148, 13bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e.  0H  ->  ( x  .ih  y )  =  0 )  <->  ( x  .ih  0h )  =  0 )
155, 14bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  0H  (
x  .ih  y )  =  0  <->  ( x  .ih  0h )  =  0 )
164, 15sylibr 212 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  A. y  e.  0H  ( x  .ih  y )  =  0 )
17 abai 793 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  A. y  e.  0H  (
x  .ih  y )  =  0 )  <->  ( x  e.  ~H  /\  ( x  e.  ~H  ->  A. y  e.  0H  ( x  .ih  y )  =  0 ) ) )
1816, 17mpbiran2 910 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  A. y  e.  0H  (
x  .ih  y )  =  0 )  <->  x  e.  ~H )
193, 18bitri 249 . 2  |-  ( x  e.  ( _|_ `  0H ) 
<->  x  e.  ~H )
2019eqriv 2447 1  |-  ( _|_ `  0H )  =  ~H
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   0cc0 9385   ~Hchil 24458    .ih csp 24461   0hc0v 24463   SHcsh 24467   _|_cort 24469   0Hc0h 24474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465  ax-hilex 24538  ax-hfvadd 24539  ax-hvcom 24540  ax-hvass 24541  ax-hv0cl 24542  ax-hvaddid 24543  ax-hfvmul 24544  ax-hvmulid 24545  ax-hvmulass 24546  ax-hvdistr1 24547  ax-hvdistr2 24548  ax-hvmul0 24549  ax-hfi 24618  ax-his1 24621  ax-his2 24622  ax-his3 24623  ax-his4 24624
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-icc 11410  df-seq 11910  df-exp 11969  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-topgen 14486  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-lm 18951  df-haus 19037  df-grpo 23815  df-gid 23816  df-ginv 23817  df-gdiv 23818  df-ablo 23906  df-vc 24061  df-nv 24107  df-va 24110  df-ba 24111  df-sm 24112  df-0v 24113  df-vs 24114  df-nmcv 24115  df-ims 24116  df-hnorm 24507  df-hvsub 24510  df-hlim 24511  df-sh 24746  df-ch 24761  df-oc 24792  df-ch0 24793
This theorem is referenced by:  choc1  24867  ssjo  24987  qlaxr3i  25176  riesz3i  25603  chirredi  25935  mdsymi  25952
  Copyright terms: Public domain W3C validator