HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chlub Structured version   Unicode version

Theorem chlub 24931
Description: Hilbert lattice join is the least upper bound of two elements. (Contributed by NM, 12-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chlub  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( A  C_  C  /\  B  C_  C )  <-> 
( A  vH  B
)  C_  C )
)

Proof of Theorem chlub
StepHypRef Expression
1 chsh 24646 . 2  |-  ( A  e.  CH  ->  A  e.  SH )
2 chsh 24646 . . 3  |-  ( B  e.  CH  ->  B  e.  SH )
3 shlub 24836 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( A  C_  C  /\  B  C_  C )  <-> 
( A  vH  B
)  C_  C )
)
42, 3syl3an2 1252 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( A  C_  C  /\  B  C_  C )  <-> 
( A  vH  B
)  C_  C )
)
51, 4syl3an1 1251 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( A  C_  C  /\  B  C_  C )  <-> 
( A  vH  B
)  C_  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756    C_ wss 3347  (class class class)co 6110   SHcsh 24349   CHcch 24350    vH chj 24354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cc 8623  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380  ax-mulf 9381  ax-hilex 24420  ax-hfvadd 24421  ax-hvcom 24422  ax-hvass 24423  ax-hv0cl 24424  ax-hvaddid 24425  ax-hfvmul 24426  ax-hvmulid 24427  ax-hvmulass 24428  ax-hvdistr1 24429  ax-hvdistr2 24430  ax-hvmul0 24431  ax-hfi 24500  ax-his1 24503  ax-his2 24504  ax-his3 24505  ax-his4 24506  ax-hcompl 24623
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-omul 6944  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-acn 8131  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-clim 12985  df-rlim 12986  df-sum 13183  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-hom 14281  df-cco 14282  df-rest 14380  df-topn 14381  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-topgen 14401  df-pt 14402  df-prds 14405  df-xrs 14459  df-qtop 14464  df-imas 14465  df-xps 14467  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-mulg 15567  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-fbas 17833  df-fg 17834  df-cnfld 17838  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-topsp 18526  df-cld 18642  df-ntr 18643  df-cls 18644  df-nei 18721  df-cn 18850  df-cnp 18851  df-lm 18852  df-haus 18938  df-tx 19154  df-hmeo 19347  df-fil 19438  df-fm 19530  df-flim 19531  df-flf 19532  df-xms 19914  df-ms 19915  df-tms 19916  df-cfil 20785  df-cau 20786  df-cmet 20787  df-grpo 23697  df-gid 23698  df-ginv 23699  df-gdiv 23700  df-ablo 23788  df-subgo 23808  df-vc 23943  df-nv 23989  df-va 23992  df-ba 23993  df-sm 23994  df-0v 23995  df-vs 23996  df-nmcv 23997  df-ims 23998  df-dip 24115  df-ssp 24139  df-ph 24232  df-cbn 24283  df-hnorm 24389  df-hba 24390  df-hvsub 24392  df-hlim 24393  df-hcau 24394  df-sh 24628  df-ch 24643  df-oc 24674  df-ch0 24675  df-shs 24730  df-chj 24732
This theorem is referenced by:  chabs1  24938  mdbr2  25719  dmdbr2  25726  mdsl1i  25744  mdsl2i  25745  mdsl2bi  25746  chrelati  25787  chrelat2i  25788  cvexchlem  25791  atexch  25804  atomli  25805  atcvatlem  25808  atcvati  25809  mdsymlem5  25830  dmdbr5ati  25845
  Copyright terms: Public domain W3C validator