HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chirred Structured version   Unicode version

Theorem chirred 27874
Description: The Hilbert lattice is irreducible: any element that commutes with all elements must be zero or one. Theorem 14.8.4 of [BeltramettiCassinelli] p. 166. (Contributed by NM, 16-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chirred  |-  ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x )  ->  ( A  =  0H  \/  A  =  ~H )
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem chirred
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2433 . . 3  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  ->  ( A  =  0H  <->  if (
( A  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  =  0H ) )
2 eqeq1 2433 . . 3  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  ->  ( A  =  ~H  <->  if (
( A  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  =  ~H ) )
31, 2orbi12d 714 . 2  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  ->  (
( A  =  0H  \/  A  =  ~H ) 
<->  ( if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  =  0H  \/  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  =  ~H ) ) )
4 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  ->  ( A  e.  CH  <->  if (
( A  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  e.  CH ) )
5 nfv 1754 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  A  e.  CH
6 nfra1 2813 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x  e.  CH  A  C_H  x
75, 6nfan 1986 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( A  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  A  C_H  x )
8 nfcv 2591 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x A
9 nfcv 2591 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x 0H
107, 8, 9nfif 3944 . . . . . . . 8  |-  F/_ x if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )
1110nfeq2 2608 . . . . . . 7  |-  F/ x  A  =  if (
( A  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )
12 breq1 4429 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  ->  ( A  C_H  x  <->  if (
( A  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  C_H  x ) )
1311, 12ralbid 2866 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  ->  ( A. x  e.  CH  A  C_H  x  <->  A. x  e.  CH  if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  C_H  x ) )
144, 13anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  ->  (
( A  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  A  C_H  x )  <->  ( if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  C_H  x ) ) )
15 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( 0H  =  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  ->  ( 0H  e.  CH  <->  if (
( A  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  e.  CH ) )
1610nfeq2 2608 . . . . . . 7  |-  F/ x 0H  =  if (
( A  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )
17 breq1 4429 . . . . . . 7  |-  ( 0H  =  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  ->  ( 0H  C_H  x  <->  if (
( A  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  C_H  x ) )
1816, 17ralbid 2866 . . . . . 6  |-  ( 0H  =  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  ->  ( A. x  e.  CH  0H  C_H  x  <->  A. x  e.  CH  if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  C_H  x ) )
1915, 18anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( 0H  =  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  ->  (
( 0H  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  0H  C_H  x )  <->  ( if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  C_H  x ) ) )
20 h0elch 26734 . . . . . 6  |-  0H  e.  CH
21 cm0 27088 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  0H  C_H  x )
2221rgen 2792 . . . . . 6  |-  A. x  e.  CH  0H  C_H  x
2320, 22pm3.2i 456 . . . . 5  |-  ( 0H  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  0H  C_H  x )
2414, 19, 23elimhyp 3973 . . . 4  |-  ( if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  C_H  x )
2524simpli 459 . . 3  |-  if ( ( A  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  e.  CH
2624simpri 463 . . . 4  |-  A. x  e.  CH  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  C_H  x
27 nfcv 2591 . . . . . 6  |-  F/_ x  C_H
28 nfcv 2591 . . . . . 6  |-  F/_ x
y
2910, 27, 28nfbr 4470 . . . . 5  |-  F/ x if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  C_H  y
30 breq2 4430 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  C_H  x  <->  if (
( A  e.  CH  /\ 
A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  C_H  y ) )
3129, 30rspc 3182 . . . 4  |-  ( y  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  C_H  x  ->  if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  C_H  y ) )
3226, 31mpi 21 . . 3  |-  ( y  e.  CH  ->  if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  C_H  y )
3325, 32chirredi 27873 . 2  |-  ( if ( ( A  e. 
CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x
) ,  A ,  0H )  =  0H  \/  if ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x ) ,  A ,  0H )  =  ~H )
343, 33dedth 3966 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  A. x  e.  CH  A  C_H  x )  ->  ( A  =  0H  \/  A  =  ~H )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   ifcif 3915   class class class wbr 4426   ~Hchil 26398   CHcch 26408   0Hc0h 26414    C_H ccm 26415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618  ax-hilex 26478  ax-hfvadd 26479  ax-hvcom 26480  ax-hvass 26481  ax-hv0cl 26482  ax-hvaddid 26483  ax-hfvmul 26484  ax-hvmulid 26485  ax-hvmulass 26486  ax-hvdistr1 26487  ax-hvdistr2 26488  ax-hvmul0 26489  ax-hfi 26558  ax-his1 26561  ax-his2 26562  ax-his3 26563  ax-his4 26564  ax-hcompl 26681
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-mulr 15157  df-starv 15158  df-sca 15159  df-vsca 15160  df-ip 15161  df-tset 15162  df-ple 15163  df-ds 15165  df-unif 15166  df-hom 15167  df-cco 15168  df-rest 15271  df-topn 15272  df-0g 15290  df-gsum 15291  df-topgen 15292  df-pt 15293  df-prds 15296  df-xrs 15350  df-qtop 15355  df-imas 15356  df-xps 15358  df-mre 15434  df-mrc 15435  df-acs 15437  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-submnd 16525  df-mulg 16618  df-cntz 16913  df-cmn 17358  df-psmet 18888  df-xmet 18889  df-met 18890  df-bl 18891  df-mopn 18892  df-fbas 18893  df-fg 18894  df-cnfld 18897  df-top 19843  df-bases 19844  df-topon 19845  df-topsp 19846  df-cld 19956  df-ntr 19957  df-cls 19958  df-nei 20036  df-cn 20165  df-cnp 20166  df-lm 20167  df-haus 20253  df-tx 20499  df-hmeo 20692  df-fil 20783  df-fm 20875  df-flim 20876  df-flf 20877  df-xms 21257  df-ms 21258  df-tms 21259  df-cfil 22109  df-cau 22110  df-cmet 22111  df-grpo 25755  df-gid 25756  df-ginv 25757  df-gdiv 25758  df-ablo 25846  df-subgo 25866  df-vc 26001  df-nv 26047  df-va 26050  df-ba 26051  df-sm 26052  df-0v 26053  df-vs 26054  df-nmcv 26055  df-ims 26056  df-dip 26173  df-ssp 26197  df-ph 26290  df-cbn 26341  df-hnorm 26447  df-hba 26448  df-hvsub 26450  df-hlim 26451  df-hcau 26452  df-sh 26686  df-ch 26700  df-oc 26731  df-ch0 26732  df-shs 26787  df-span 26788  df-chj 26789  df-chsup 26790  df-pjh 26874  df-cm 27062  df-cv 27758  df-at 27817
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator