HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chintcl Structured version   Unicode version

Theorem chintcl 26664
Description: The intersection (infimum) of a nonempty subset of  CH belongs to  CH. Part of Theorem 3.13 of [Beran] p. 108. Also part of Definition 3.4-1 in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chintcl  |-  ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  CH )

Proof of Theorem chintcl
StepHypRef Expression
1 inteq 4230 . . 3  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  |^| A  =  |^| if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH ) )
21eleq1d 2471 . 2  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( |^| A  e.  CH  <->  |^| if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  e.  CH ) )
3 sseq1 3463 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( A  C_  CH  <->  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_  CH )
)
4 neeq1 2684 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( A  =/=  (/)  <->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) )
53, 4anbi12d 709 . . . 4  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  <->  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) ) )
6 sseq1 3463 . . . . 5  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( CH  C_ 
CH 
<->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_  CH )
)
7 neeq1 2684 . . . . 5  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( CH  =/=  (/)  <->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) )
86, 7anbi12d 709 . . . 4  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( ( CH  C_  CH  /\  CH  =/=  (/) )  <->  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) ) )
9 ssid 3461 . . . . 5  |-  CH  C_  CH
10 h0elch 26587 . . . . . 6  |-  0H  e.  CH
1110ne0ii 3745 . . . . 5  |-  CH  =/=  (/)
129, 11pm3.2i 453 . . . 4  |-  ( CH  C_ 
CH  /\  CH  =/=  (/) )
135, 8, 12elimhyp 3943 . . 3  |-  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) )
1413chintcli 26663 . 2  |-  |^| if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  e.  CH
152, 14dedth 3936 1  |-  ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  CH )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ifcif 3885   |^|cint 4227   CHcch 26260   0Hc0h 26266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602  ax-hilex 26330  ax-hfvadd 26331  ax-hvcom 26332  ax-hvass 26333  ax-hv0cl 26334  ax-hvaddid 26335  ax-hfvmul 26336  ax-hvmulid 26337  ax-hvmulass 26338  ax-hvdistr1 26339  ax-hvdistr2 26340  ax-hvmul0 26341  ax-hfi 26410  ax-his1 26413  ax-his2 26414  ax-his3 26415  ax-his4 26416
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-icc 11589  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-lm 20023  df-haus 20109  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-gdiv 25610  df-ablo 25698  df-vc 25853  df-nv 25899  df-va 25902  df-ba 25903  df-sm 25904  df-0v 25905  df-vs 25906  df-nmcv 25907  df-ims 25908  df-hnorm 26299  df-hvsub 26302  df-hlim 26303  df-sh 26538  df-ch 26553  df-ch0 26585
This theorem is referenced by:  ococin  26740
  Copyright terms: Public domain W3C validator