HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chintcl Structured version   Unicode version

Theorem chintcl 24882
Description: The intersection (infimum) of a nonempty subset of  CH belongs to  CH. Part of Theorem 3.13 of [Beran] p. 108. Also part of Definition 3.4-1 in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chintcl  |-  ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  CH )

Proof of Theorem chintcl
StepHypRef Expression
1 inteq 4234 . . 3  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  |^| A  =  |^| if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH ) )
21eleq1d 2521 . 2  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( |^| A  e.  CH  <->  |^| if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  e.  CH ) )
3 sseq1 3480 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( A  C_  CH  <->  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_  CH )
)
4 neeq1 2730 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( A  =/=  (/)  <->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) )
53, 4anbi12d 710 . . . 4  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  <->  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) ) )
6 sseq1 3480 . . . . 5  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( CH  C_ 
CH 
<->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_  CH )
)
7 neeq1 2730 . . . . 5  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( CH  =/=  (/)  <->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) )
86, 7anbi12d 710 . . . 4  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( ( CH  C_  CH  /\  CH  =/=  (/) )  <->  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) ) )
9 ssid 3478 . . . . 5  |-  CH  C_  CH
10 h0elch 24805 . . . . . 6  |-  0H  e.  CH
11 ne0i 3746 . . . . . 6  |-  ( 0H  e.  CH  ->  CH  =/=  (/) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  CH  =/=  (/)
139, 12pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( CH  C_ 
CH  /\  CH  =/=  (/) )
145, 8, 13elimhyp 3951 . . 3  |-  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) )
1514chintcli 24881 . 2  |-  |^| if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  e.  CH
162, 15dedth 3944 1  |-  ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  CH )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645    C_ wss 3431   (/)c0 3740   ifcif 3894   |^|cint 4231   CHcch 24478   0Hc0h 24484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468  ax-hilex 24548  ax-hfvadd 24549  ax-hvcom 24550  ax-hvass 24551  ax-hv0cl 24552  ax-hvaddid 24553  ax-hfvmul 24554  ax-hvmulid 24555  ax-hvmulass 24556  ax-hvdistr1 24557  ax-hvdistr2 24558  ax-hvmul0 24559  ax-hfi 24628  ax-his1 24631  ax-his2 24632  ax-his3 24633  ax-his4 24634
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-icc 11413  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-topgen 14496  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-lm 18960  df-haus 19046  df-grpo 23825  df-gid 23826  df-ginv 23827  df-gdiv 23828  df-ablo 23916  df-vc 24071  df-nv 24117  df-va 24120  df-ba 24121  df-sm 24122  df-0v 24123  df-vs 24124  df-nmcv 24125  df-ims 24126  df-hnorm 24517  df-hvsub 24520  df-hlim 24521  df-sh 24756  df-ch 24771  df-ch0 24803
This theorem is referenced by:  ococin  24958
  Copyright terms: Public domain W3C validator