HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincl Structured version   Unicode version

Theorem chincl 25047
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chincl  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  CH )

Proof of Theorem chincl
StepHypRef Expression
1 ineq1 3646 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B
) )
21eleq1d 2520 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  (
( A  i^i  B
)  e.  CH  <->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B )  e.  CH ) )
3 ineq2 3647 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  ->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B )  =  ( if ( A  e. 
CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )
) )
43eleq1d 2520 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  ->  (
( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B
)  e.  CH  <->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e. 
CH ,  B ,  ~H ) )  e.  CH ) )
5 ifchhv 24792 . . 3  |-  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  e.  CH
6 ifchhv 24792 . . 3  |-  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  e.  CH
75, 6chincli 25008 . 2  |-  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e. 
CH ,  B ,  ~H ) )  e.  CH
82, 4, 7dedth2h 3943 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  CH )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3428   ifcif 3892   ~Hchil 24466   CHcch 24476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-hilex 24546  ax-hfvadd 24547  ax-hv0cl 24550  ax-hfvmul 24552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-map 7319  df-nn 10427  df-hlim 24519  df-sh 24754  df-ch 24769
This theorem is referenced by:  chabs1  25064  chdmj1  25077  fh1  25166  fh2  25167  cm2j  25168  mdbr2  25845  mdbr3  25846  mdbr4  25847  dmdmd  25849  dmdbr2  25852  dmdbr5  25857  mddmd2  25858  mdsl0  25859  mdsl3  25865  mdsl2i  25871  mdslmd1i  25878  cvp  25924  atomli  25931  atordi  25933  atcvat3i  25945  atcvat4i  25946  mdsymlem1  25952  mdsymlem3  25954  mdsymlem5  25956  mdsymlem6  25957  sumdmdii  25964  dmdbr5ati  25971
  Copyright terms: Public domain W3C validator