HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincl Structured version   Unicode version

Theorem chincl 26543
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chincl  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  CH )

Proof of Theorem chincl
StepHypRef Expression
1 ineq1 3689 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B
) )
21eleq1d 2526 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  (
( A  i^i  B
)  e.  CH  <->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B )  e.  CH ) )
3 ineq2 3690 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  ->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B )  =  ( if ( A  e. 
CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )
) )
43eleq1d 2526 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  ->  (
( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B
)  e.  CH  <->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e. 
CH ,  B ,  ~H ) )  e.  CH ) )
5 ifchhv 26288 . . 3  |-  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  e.  CH
6 ifchhv 26288 . . 3  |-  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  e.  CH
75, 6chincli 26504 . 2  |-  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e. 
CH ,  B ,  ~H ) )  e.  CH
82, 4, 7dedth2h 3997 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  CH )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    i^i cin 3470   ifcif 3944   ~Hchil 25962   CHcch 25972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-hilex 26042  ax-hfvadd 26043  ax-hv0cl 26046  ax-hfvmul 26048
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-map 7440  df-nn 10557  df-hlim 26015  df-sh 26250  df-ch 26265
This theorem is referenced by:  chabs1  26560  chdmj1  26573  fh1  26662  fh2  26663  cm2j  26664  mdbr2  27341  mdbr3  27342  mdbr4  27343  dmdmd  27345  dmdbr2  27348  dmdbr5  27353  mddmd2  27354  mdsl0  27355  mdsl3  27361  mdsl2i  27367  mdslmd1i  27374  cvp  27420  atomli  27427  atordi  27429  atcvat3i  27441  atcvat4i  27442  mdsymlem1  27448  mdsymlem3  27450  mdsymlem5  27452  mdsymlem6  27453  sumdmdii  27460  dmdbr5ati  27467
  Copyright terms: Public domain W3C validator