HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincl Structured version   Unicode version

Theorem chincl 26093
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chincl  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  CH )

Proof of Theorem chincl
StepHypRef Expression
1 ineq1 3693 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B
) )
21eleq1d 2536 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  ->  (
( A  i^i  B
)  e.  CH  <->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B )  e.  CH ) )
3 ineq2 3694 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  ->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B )  =  ( if ( A  e. 
CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )
) )
43eleq1d 2536 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  ->  (
( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  B
)  e.  CH  <->  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e. 
CH ,  B ,  ~H ) )  e.  CH ) )
5 ifchhv 25838 . . 3  |-  if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  e.  CH
6 ifchhv 25838 . . 3  |-  if ( B  e.  CH ,  B ,  ~H )  e.  CH
75, 6chincli 26054 . 2  |-  ( if ( A  e.  CH ,  A ,  ~H )  i^i  if ( B  e. 
CH ,  B ,  ~H ) )  e.  CH
82, 4, 7dedth2h 3992 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  CH )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3475   ifcif 3939   ~Hchil 25512   CHcch 25522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hv0cl 25596  ax-hfvmul 25598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-map 7419  df-nn 10533  df-hlim 25565  df-sh 25800  df-ch 25815
This theorem is referenced by:  chabs1  26110  chdmj1  26123  fh1  26212  fh2  26213  cm2j  26214  mdbr2  26891  mdbr3  26892  mdbr4  26893  dmdmd  26895  dmdbr2  26898  dmdbr5  26903  mddmd2  26904  mdsl0  26905  mdsl3  26911  mdsl2i  26917  mdslmd1i  26924  cvp  26970  atomli  26977  atordi  26979  atcvat3i  26991  atcvat4i  26992  mdsymlem1  26998  mdsymlem3  27000  mdsymlem5  27002  mdsymlem6  27003  sumdmdii  27010  dmdbr5ati  27017
  Copyright terms: Public domain W3C validator