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Theorem chfacfscmulgsum 19144
Description: Breaking up a sum of values of the "characteristic factor function" scaled by a polynomial. (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
chfacfisf.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
chfacfisf.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
chfacfisf.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
chfacfisf.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
chfacfisf.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
chfacfisf.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
chfacfisf.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
chfacfisf.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
chfacfscmulcl.x  |-  X  =  (var1 `  R )
chfacfscmulcl.m  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
chfacfscmulcl.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
chfacfscmulgsum.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
chfacfscmulgsum  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s, B    .0. , n    B, i, s    i, G   
i, M    i, N    R, i    i, X    i, Y   
.^ , i    .x. , b, i    T, n    .- , n    .X. , n    i, n
Allowed substitution hints:    A( i, n, s, b)    B( b)    P( i, n, s, b)    .+ ( i, n, s, b)    R( s, b)    T( i, s, b)    .x. ( n, s)    .X. ( i, s, b)    .^ ( n, s, b)    G( n, s, b)    M( s, b)    .- ( i,
s, b)    N( s,
b)    X( n, s, b)    Y( s, b)    .0. ( i,
s, b)

Proof of Theorem chfacfscmulgsum
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
2 chfacfisf.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
3 chfacfscmulgsum.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
4 crngrng 17005 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
54anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
653adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
7 chfacfisf.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
8 chfacfisf.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( N Mat  P )
97, 8pmatrng 18977 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
106, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
11 rngcmn 17025 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. CMnd
)
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e. CMnd )
1312adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e. CMnd )
14 nn0ex 10800 . . . 4  |-  NN0  e.  _V
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  NN0  e.  _V )
16 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B ) )
17 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )
18 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
1916, 17, 183jca 1176 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  i  e.  NN0 ) )
20 chfacfisf.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
21 chfacfisf.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
22 chfacfisf.r . . . . 5  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
23 chfacfisf.s . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  Y )
24 chfacfisf.t . . . . 5  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
25 chfacfisf.g . . . . 5  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
26 chfacfscmulcl.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
27 chfacfscmulcl.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
28 chfacfscmulcl.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
2920, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmulcl 19141 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
)  e.  ( Base `  Y ) )
3019, 29syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  e.  ( Base `  Y
) )
3120, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmulfsupp 19143 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e. 
NN0  |->  ( ( i 
.^  X )  .x.  ( G `  i ) ) ) finSupp  .0.  )
32 nn0disj 11787 . . . 4  |-  ( ( 0 ... ( s  +  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  (
( s  +  1 )  +  1 ) ) )  =  (/)
3332a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( 0 ... ( s  +  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) ) )  =  (/) )
34 nnnn0 10801 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  NN0 )
35 peano2nn0 10835 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( s  +  1 )  e. 
NN0 )
3634, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  NN0 )
37 nn0split 11786 . . . . 5  |-  ( ( s  +  1 )  e.  NN0  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( s  +  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( ( s  +  1 )  +  1 ) ) ) )
3836, 37syl 16 . . . 4  |-  ( s  e.  NN  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( s  +  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( ( s  +  1 )  +  1 ) ) ) )
3938ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  NN0  =  (
( 0 ... (
s  +  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) ) ) )
401, 2, 3, 13, 15, 30, 31, 33, 39gsumsplit2 16748 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  (
ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  ( ( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) ) ) ) ) )
41 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
) )
42 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )
43 nncn 10543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  CC )
44 add1p1 10787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( s  +  1 )  +  1 )  =  ( s  +  2 ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  NN  ->  (
( s  +  1 )  +  1 )  =  ( s  +  2 ) )
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( s  +  1 )  +  1 )  =  ( s  +  2 ) )
4746fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ZZ>= `  (
( s  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) ) )
4847eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) )  <-> 
i  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) ) ) )
4948biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) ) )
5020, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmul0 19142 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) ) )  -> 
( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
)  =  .0.  )
5141, 42, 49, 50syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( (
i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) )  =  .0.  )
5251mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) )  =  ( i  e.  ( ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  .0.  )
)
5352oveq2d 6299 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  ( ( i 
.^  X )  .x.  ( G `  i ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  (
ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  .0.  ) ) )
544, 9sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  Ring )
55 rngmnd 17004 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Mnd )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  Mnd )
57563adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Mnd )
58 fvex 5875 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  e.  _V
5957, 58jctir 538 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( Y  e.  Mnd  /\  ( ZZ>=
`  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  e. 
_V ) )
6059adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  e. 
Mnd  /\  ( ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  e.  _V ) )
612gsumz 15830 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) )  e.  _V )  -> 
( Y  gsumg  ( i  e.  (
ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
6260, 61syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
6353, 62eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  ( ( i 
.^  X )  .x.  ( G `  i ) ) ) )  =  .0.  )
6463oveq2d 6299 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  (
ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  ( ( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  .0.  ) )
6557adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Mnd )
66 fzfid 12050 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 0 ... ( s  +  1 ) )  e.  Fin )
67 elfznn0 11769 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) )  ->  i  e.  NN0 )
6867, 19sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  i  e.  NN0 ) )
6968, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  e.  ( Base `  Y
) )
7069ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
)  e.  ( Base `  Y ) )
711, 13, 66, 70gsummptcl 16794 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
721, 3, 2mndrid 15758 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  .0.  )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) ) )
7365, 71, 72syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  .0.  )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) ) )
7464, 73eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  (
ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  ( ( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) ) )
7534ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  NN0 )
761, 3, 13, 75, 69gsummptfzsplit 16752 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  {
( s  +  1 ) }  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) ) ) )
77 elfznn0 11769 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 0 ... s )  ->  i  e.  NN0 )
7877, 30sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  e.  ( Base `  Y
) )
791, 3, 13, 75, 78gsummptfzsplitl 16753 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  {
0 }  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) ) ) )
80 0nn0 10809 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
8180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  0  e.  NN0 )
8220, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmulcl 19141 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
)  e.  ( Base `  Y ) )
8381, 82mpd3an3 1325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) )  e.  ( Base `  Y ) )
84 oveq1 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  (
i  .^  X )  =  ( 0  .^  X ) )
85 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  ( G `  i )  =  ( G ` 
0 ) )
8684, 85oveq12d 6301 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  =  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) )
871, 86gsumsn 16781 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  0  e.  NN0  /\  (
( 0  .^  X
)  .x.  ( G `  0 ) )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  {
0 }  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) ) )
8865, 81, 83, 87syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  { 0 } 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  =  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) )
8988oveq2d 6299 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  {
0 }  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) ) )
9079, 89eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) ) )
91 ovex 6308 . . . . . 6  |-  ( s  +  1 )  e. 
_V
9291a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  _V )
93 1nn0 10810 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
9493a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  1  e.  NN0 )
9575, 94nn0addcld 10855 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  NN0 )
9620, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmulcl 19141 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  ( s  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
9795, 96mpd3an3 1325 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
98 oveq1 6290 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( s  +  1 )  ->  (
i  .^  X )  =  ( ( s  +  1 )  .^  X ) )
99 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( s  +  1 )  ->  ( G `  i )  =  ( G `  ( s  +  1 ) ) )
10098, 99oveq12d 6301 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( s  +  1 )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  =  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )
1011, 100gsumsn 16781 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( s  +  1 )  e.  _V  /\  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )  -> 
( Y  gsumg  ( i  e.  {
( s  +  1 ) }  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )
10265, 92, 97, 101syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  { ( s  +  1 ) } 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  =  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )
10390, 102oveq12d 6301 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  {
( s  +  1 ) }  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) ) )  =  ( ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) )  .+  (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) ) )
104 fzfid 12050 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 1 ... s )  e.  Fin )
105 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B ) )
106 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )
107 elfznn 11713 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  NN )
108107nnnn0d 10851 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  NN0 )
109108adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  i  e.  NN0 )
110105, 106, 109, 29syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  e.  ( Base `  Y
) )
111110ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... s ) ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
)  e.  ( Base `  Y ) )
1121, 13, 104, 111gsummptcl 16794 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
1131, 3mndass 15737 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( (
0  .^  X )  .x.  ( G `  0
) )  e.  (
Base `  Y )  /\  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) )  .+  (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) )  .+  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  (
s  +  1 ) ) ) ) ) )
11465, 112, 83, 97, 113syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) )  .+  (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) )  .+  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  (
s  +  1 ) ) ) ) ) )
11525a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  G  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `
 ( b `  s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  < 
n ,  .0.  , 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) ) ) )
116107nnne0d 10579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  =/=  0 )
117116ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  i  =/=  0 )
118 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  i  ->  (
n  =/=  0  <->  i  =/=  0 ) )
119118adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  (
n  =/=  0  <->  i  =/=  0 ) )
120117, 119mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  n  =/=  0 )
121 eqneqall 2674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
n  =/=  0  ->  .0.  =  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) ) )
122120, 121mpan9 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  ->  .0.  =  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )
123 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  ->  n  =  i )
124 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  =  n  ->  (
0  =  i  <->  n  =  i ) )
125124eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  0  ->  (
0  =  i  <->  n  =  i ) )
126125adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  -> 
( 0  =  i  <-> 
n  =  i ) )
127123, 126mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  -> 
0  =  i )
128127fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  -> 
( b `  0
)  =  ( b `
 i ) )
129128fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  -> 
( T `  (
b `  0 )
)  =  ( T `
 ( b `  i ) ) )
130129oveq2d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  -> 
( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) )  =  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) )
131122, 130oveq12d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  -> 
(  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) )  =  ( ( T `
 ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )
132 elfz2 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  i  /\  i  <_  s ) ) )
133 zleltp1 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  ( i  <_  s  <->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
134133ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  <_  s  <->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
1351343adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  (
i  <_  s  <->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
136135biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  <_  s  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
137136adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  <_  i  /\  i  <_  s )  -> 
( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
138137impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  s ) )  ->  i  <  ( s  +  1 ) )
139138orcd 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  s ) )  ->  ( i  <  ( s  +  1 )  \/  ( s  +  1 )  < 
i ) )
140 zre 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  ZZ  ->  s  e.  RR )
141 1red 9610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
142140, 141readdcld 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  ZZ  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
143 zre 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  RR )
144142, 143anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  RR  /\  ( s  +  1 )  e.  RR ) )
1451443adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  RR  /\  ( s  +  1 )  e.  RR ) )
146 lttri2 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  RR  /\  ( s  +  1 )  e.  RR )  ->  ( i  =/=  ( s  +  1 )  <->  ( i  < 
( s  +  1 )  \/  ( s  +  1 )  < 
i ) ) )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  (
i  =/=  ( s  +  1 )  <->  ( i  <  ( s  +  1 )  \/  ( s  +  1 )  < 
i ) ) )
148147adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  s ) )  ->  ( i  =/=  ( s  +  1 )  <->  ( i  < 
( s  +  1 )  \/  ( s  +  1 )  < 
i ) ) )
149139, 148mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  s ) )  ->  i  =/=  ( s  +  1 ) )
150132, 149sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  =/=  ( s  +  1 ) )
151150ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  i  =/=  ( s  +  1 ) )
152 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  i  ->  (
n  =/=  ( s  +  1 )  <->  i  =/=  ( s  +  1 ) ) )
153152adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  (
n  =/=  ( s  +  1 )  <->  i  =/=  ( s  +  1 ) ) )
154151, 153mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  n  =/=  ( s  +  1 ) )
155154adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  ->  n  =/=  (
s  +  1 ) )
156155neneqd 2669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  ->  -.  n  =  ( s  +  1 ) )
157156pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  ->  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  ( T `  ( b `  s
) )  =  ( ( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )
158157imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  =  ( s  +  1 ) )  ->  ( T `  ( b `  s
) )  =  ( ( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
159107nnred 10550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  RR )
160 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  i  ->  (
n  e.  RR  <->  i  e.  RR ) )
161159, 160syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  (
n  =  i  ->  n  e.  RR )
)
162161adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
n  =  i  ->  n  e.  RR )
)
163162imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  n  e.  RR )
16475nn0red 10852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  RR )
165164ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  s  e.  RR )
166 1red 9610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  1  e.  RR )
167165, 166readdcld 9622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
168132, 138sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  <  ( s  +  1 ) )
169168ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  i  <  ( s  +  1 ) )
170 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  i  ->  (
n  <  ( s  +  1 )  <->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
171170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  (
n  <  ( s  +  1 )  <->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
172169, 171mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  n  <  ( s  +  1 ) )
173163, 167, 172ltnsymd 9732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  -.  ( s  +  1 )  <  n )
174173pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  (
( s  +  1 )  <  n  ->  .0.  =  ( ( T `
 ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) ) )
175174ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  ->  (
( s  +  1 )  <  n  ->  .0.  =  ( ( T `
 ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) ) )
176175imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  ( s  +  1 )  <  n )  ->  .0.  =  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
177 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  n  =  i )
178177oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( n  - 
1 )  =  ( i  -  1 ) )
179178fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( b `  ( n  -  1
) )  =  ( b `  ( i  -  1 ) ) )
180179fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  =  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )
181177fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( b `  n )  =  ( b `  i ) )
182181fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( T `  ( b `  n
) )  =  ( T `  ( b `
 i ) ) )
183182oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) )  =  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) )
184180, 183oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( ( T `
 ( b `  ( n  -  1
) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  n ) ) ) )  =  ( ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) )
185176, 184ifeqda 3972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  ->  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) )  =  ( ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
186158, 185ifeqda 3972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  ->  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) )  =  ( ( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
187131, 186ifeqda 3972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
188 ovex 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) )  e.  _V
189188a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) )  e.  _V )
190115, 187, 109, 189fvmptd 5954 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( G `  i )  =  ( ( T `
 ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )
191190oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  =  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )
192191mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... s
)  |->  ( ( i 
.^  X )  .x.  ( G `  i ) ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  X
)  .x.  ( ( T `  ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) ) ) )
193192oveq2d 6299 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) ) )
19425a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) ) ) )
195 nn0p1gt0 10824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  NN0  ->  0  < 
( s  +  1 ) )
196 0red 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN0  ->  0  e.  RR )
197 ltne 9680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( s  +  1 ) )  -> 
( s  +  1 )  =/=  0 )
198196, 197sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  0  <  ( s  +  1 ) )  -> 
( s  +  1 )  =/=  0 )
199 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  (
n  =/=  0  <->  (
s  +  1 )  =/=  0 ) )
200198, 199syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  0  <  ( s  +  1 ) )  -> 
( n  =  ( s  +  1 )  ->  n  =/=  0
) )
201195, 200mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  n  =/=  0 ) )
20234, 201syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  NN  ->  (
n  =  ( s  +  1 )  ->  n  =/=  0 ) )
203202ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  n  =/=  0 ) )
204203imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  =  ( s  +  1 ) )  ->  n  =/=  0 )
205 eqneqall 2674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  (
n  =/=  0  -> 
(  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) )  =  ( T `  ( b `  s
) ) ) )
206204, 205mpan9 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  n  =  0 )  ->  (  .0.  .-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 0 ) ) ) )  =  ( T `  ( b `
 s ) ) )
207 iftrue 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) )  =  ( T `  ( b `  s
) ) )
208207ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  n  =  0 )  ->  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) )  =  ( T `  ( b `  s
) ) )
209206, 208ifeqda 3972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  =  ( s  +  1 ) )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( T `
 ( b `  s ) ) )
21075, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  NN0 )
211 fvex 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( T `
 ( b `  s ) )  e. 
_V
212211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  s
) )  e.  _V )
213194, 209, 210, 212fvmptd 5954 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( G `  ( s  +  1 ) )  =  ( T `  ( b `
 s ) ) )
214213oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) )  =  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( T `  (
b `  s )
) ) )
21543ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
216 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
21726, 7, 216vr1cl 18045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
218215, 217syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
219 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
220219, 216mgpbas 16946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
221 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
222219, 221rngidval 16954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 0g `  (mulGrp `  P ) )
223220, 222, 28mulg0 15954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( Base `  P
)  ->  ( 0 
.^  X )  =  ( 1r `  P
) )
224218, 223syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
0  .^  X )  =  ( 1r `  P ) )
2257ply1crng 18024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  CRing
)
226225anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing ) )
2272263adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing ) )
2288matsca2 18705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing )  ->  P  =  (Scalar `  Y
) )
229227, 228syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  P  =  (Scalar `  Y )
)
230229fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( 1r `  P )  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )
231224, 230eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
0  .^  X )  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )
232231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 0  .^  X )  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )
233232oveq1d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) )  =  ( ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  .x.  ( G `  0 ) ) )
2347, 8pmatlmod 18978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  LMod )
2354, 234sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  LMod )
2362353adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  LMod )
237236adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  LMod )
23820, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25chfacfisf 19138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G : NN0 --> (
Base `  Y )
)
2394, 238syl3anl2 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G : NN0 --> (
Base `  Y )
)
240239, 81ffvelrnd 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( G ` 
0 )  e.  (
Base `  Y )
)
241 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
242 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)
2431, 241, 27, 242lmodvs1 17335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( G `  0 )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  Y ) )  .x.  ( G `  0 ) )  =  ( G `
 0 ) )
244237, 240, 243syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  .x.  ( G `  0 ) )  =  ( G ` 
0 ) )
245 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )
246245adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  =  0 )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) )
247 ovex 6308 . . . . . . . . . 10  |-  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  e.  _V
248247a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  e.  _V )
249194, 246, 81, 248fvmptd 5954 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( G ` 
0 )  =  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) ) ) )
250233, 244, 2493eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) )  =  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) )
251214, 250oveq12d 6301 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  (
s  +  1 ) ) )  .+  (
( 0  .^  X
)  .x.  ( G `  0 ) ) )  =  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( T `  ( b `  s
) ) )  .+  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) ) ) ) )
2521, 3cmncom 16617 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e. CMnd  /\  (
( 0  .^  X
)  .x.  ( G `  0 ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( (
( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  (
s  +  1 ) ) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
( 0  .^  X
)  .x.  ( G `  0 ) ) 
.+  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0
) ) ) )
25313, 83, 97, 252syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0
) )  .+  (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  (
s  +  1 ) ) )  .+  (
( 0  .^  X
)  .x.  ( G `  0 ) ) ) )
254 rnggrp 17000 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
25510, 254syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Grp )
256255adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
257214, 97eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
25810adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
25924, 20, 21, 7, 8mat2pmatbas 19010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
2604, 259syl3an2 1262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
261260adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  M )  e.  (
Base `  Y )
)
262 simpl1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  N  e.  Fin )
263215adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
264 elmapi 7440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
265264adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
b : ( 0 ... s ) --> B )
266265adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
267 0elfz 11771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... s
) )
26834, 267syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  NN  ->  0  e.  ( 0 ... s
) )
269268ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... s ) )
270266, 269ffvelrnd 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( b ` 
0 )  e.  B
)
27124, 20, 21, 7, 8mat2pmatbas 19010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  0 )  e.  B )  ->  ( T `  ( b `  0 ) )  e.  ( Base `  Y
) )
272262, 263, 270, 271syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  0
) )  e.  (
Base `  Y )
)
2731, 22rngcl 17008 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  0
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) )  e.  (
Base `  Y )
)
274258, 261, 272, 273syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 0 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
2751, 2, 23, 3grpsubadd0sub 15932 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( T `  ( b `  s ) ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( T `  ( b `  s
) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  =  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( T `  ( b `  s ) ) ) 
.+  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ) )
276256, 257, 274, 275syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( T `  (
b `  s )
) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) )  =  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( T `  (
b `  s )
) )  .+  (  .0.  .-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 0 ) ) ) ) ) )
277251, 253, 2763eqtr4d 2518 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0
) )  .+  (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( T `  (
b `  s )
) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )
278193, 277oveq12d 6301 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) )  .+  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  (
s  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
279114, 278eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) )  .+  (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
28076, 103, 2793eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
28140, 74, 2803eqtrd 2512 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804   NNcn 10535   2c2 10584   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   .rcmulr 14555  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694    gsumg cgsu 14695   Mndcmnd 15725   Grpcgrp 15726   -gcsg 15729  .gcmg 15730  CMndccmn 16601  mulGrpcmgp 16940   1rcur 16952   Ringcrg 16995   CRingccrg 16996   LModclmod 17307  var1cv1 18002  Poly1cpl1 18003   Mat cmat 18692   matToPolyMat cmat2pmat 18988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom