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Theorem chfacfscmulgsum 19488
Description: Breaking up a sum of values of the "characteristic factor function" scaled by a polynomial. (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
chfacfisf.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
chfacfisf.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
chfacfisf.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
chfacfisf.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
chfacfisf.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
chfacfisf.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
chfacfisf.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
chfacfisf.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
chfacfscmulcl.x  |-  X  =  (var1 `  R )
chfacfscmulcl.m  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
chfacfscmulcl.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
chfacfscmulgsum.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
chfacfscmulgsum  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s, B    .0. , n    B, i, s    i, G   
i, M    i, N    R, i    i, X    i, Y   
.^ , i    .x. , b, i    T, n    .- , n    .X. , n    i, n
Allowed substitution hints:    A( i, n, s, b)    B( b)    P( i, n, s, b)    .+ ( i, n, s, b)    R( s, b)    T( i, s, b)    .x. ( n, s)    .X. ( i, s, b)    .^ ( n, s, b)    G( n, s, b)    M( s, b)    .- ( i,
s, b)    N( s,
b)    X( n, s, b)    Y( s, b)    .0. ( i,
s, b)

Proof of Theorem chfacfscmulgsum
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . 3  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
2 chfacfisf.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
3 chfacfscmulgsum.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
4 crngring 17336 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
54anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
653adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
7 chfacfisf.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
8 chfacfisf.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( N Mat  P )
97, 8pmatring 19321 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
106, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
11 ringcmn 17356 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. CMnd
)
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e. CMnd )
1312adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e. CMnd )
14 nn0ex 10822 . . . 4  |-  NN0  e.  _V
1514a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  NN0  e.  _V )
16 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B ) )
17 simplr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )
18 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
1916, 17, 183jca 1176 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  i  e.  NN0 ) )
20 chfacfisf.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
21 chfacfisf.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
22 chfacfisf.r . . . . 5  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
23 chfacfisf.s . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  Y )
24 chfacfisf.t . . . . 5  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
25 chfacfisf.g . . . . 5  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
26 chfacfscmulcl.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
27 chfacfscmulcl.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
28 chfacfscmulcl.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
2920, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmulcl 19485 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
)  e.  ( Base `  Y ) )
3019, 29syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  e.  ( Base `  Y
) )
3120, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmulfsupp 19487 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e. 
NN0  |->  ( ( i 
.^  X )  .x.  ( G `  i ) ) ) finSupp  .0.  )
32 nn0disj 11817 . . . 4  |-  ( ( 0 ... ( s  +  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  (
( s  +  1 )  +  1 ) ) )  =  (/)
3332a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( 0 ... ( s  +  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) ) )  =  (/) )
34 nnnn0 10823 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  NN0 )
35 peano2nn0 10857 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( s  +  1 )  e. 
NN0 )
3634, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  NN0 )
37 nn0split 11816 . . . . 5  |-  ( ( s  +  1 )  e.  NN0  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( s  +  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( ( s  +  1 )  +  1 ) ) ) )
3836, 37syl 16 . . . 4  |-  ( s  e.  NN  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( s  +  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( ( s  +  1 )  +  1 ) ) ) )
3938ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  NN0  =  (
( 0 ... (
s  +  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) ) ) )
401, 2, 3, 13, 15, 30, 31, 33, 39gsumsplit2 17075 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  (
ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  ( ( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) ) ) ) ) )
41 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
) )
42 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )
43 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  CC )
44 add1p1 10809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( s  +  1 )  +  1 )  =  ( s  +  2 ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  NN  ->  (
( s  +  1 )  +  1 )  =  ( s  +  2 ) )
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( s  +  1 )  +  1 )  =  ( s  +  2 ) )
4746fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ZZ>= `  (
( s  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) ) )
4847eleq2d 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) )  <-> 
i  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) ) ) )
4948biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) ) )
5020, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmul0 19486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) ) )  -> 
( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
)  =  .0.  )
5141, 42, 49, 50syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( (
i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) )  =  .0.  )
5251mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) )  =  ( i  e.  ( ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  .0.  )
)
5352oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  ( ( i 
.^  X )  .x.  ( G `  i ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  (
ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  .0.  ) ) )
544, 9sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  Ring )
55 ringmnd 17334 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Mnd )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  Mnd )
57563adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Mnd )
58 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  e.  _V
5957, 58jctir 538 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( Y  e.  Mnd  /\  ( ZZ>=
`  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  e. 
_V ) )
6059adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  e. 
Mnd  /\  ( ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  e.  _V ) )
612gsumz 16132 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( ZZ>= `  ( (
s  +  1 )  +  1 ) )  e.  _V )  -> 
( Y  gsumg  ( i  e.  (
ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
6260, 61syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
6353, 62eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  ( ( i 
.^  X )  .x.  ( G `  i ) ) ) )  =  .0.  )
6463oveq2d 6312 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  (
ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  ( ( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  .0.  ) )
6557adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Mnd )
66 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 0 ... ( s  +  1 ) )  e.  Fin )
67 elfznn0 11797 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) )  ->  i  e.  NN0 )
6867, 19sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  i  e.  NN0 ) )
6968, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... (
s  +  1 ) ) )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  e.  ( Base `  Y
) )
7069ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
)  e.  ( Base `  Y ) )
711, 13, 66, 70gsummptcl 17121 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
721, 3, 2mndrid 16069 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  .0.  )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) ) )
7365, 71, 72syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  .0.  )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) ) )
7464, 73eqtrd 2498 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  (
ZZ>= `  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )  |->  ( ( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) ) )
7534ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  NN0 )
761, 3, 13, 75, 69gsummptfzsplit 17079 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  {
( s  +  1 ) }  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) ) ) )
77 elfznn0 11797 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 0 ... s )  ->  i  e.  NN0 )
7877, 30sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  e.  ( Base `  Y
) )
791, 3, 13, 75, 78gsummptfzsplitl 17080 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  {
0 }  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) ) ) )
80 0nn0 10831 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
8180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  0  e.  NN0 )
8220, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmulcl 19485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
)  e.  ( Base `  Y ) )
8381, 82mpd3an3 1325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) )  e.  ( Base `  Y ) )
84 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  (
i  .^  X )  =  ( 0  .^  X ) )
85 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  ( G `  i )  =  ( G ` 
0 ) )
8684, 85oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  =  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) )
871, 86gsumsn 17108 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  0  e.  NN0  /\  (
( 0  .^  X
)  .x.  ( G `  0 ) )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  {
0 }  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) ) )
8865, 81, 83, 87syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  { 0 } 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  =  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) )
8988oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  {
0 }  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) ) )
9079, 89eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) ) )
91 ovex 6324 . . . . . 6  |-  ( s  +  1 )  e. 
_V
9291a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  _V )
93 1nn0 10832 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
9493a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  1  e.  NN0 )
9575, 94nn0addcld 10877 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  NN0 )
9620, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28chfacfscmulcl 19485 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  ( s  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
9795, 96mpd3an3 1325 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
98 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( s  +  1 )  ->  (
i  .^  X )  =  ( ( s  +  1 )  .^  X ) )
99 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( s  +  1 )  ->  ( G `  i )  =  ( G `  ( s  +  1 ) ) )
10098, 99oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( s  +  1 )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  =  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )
1011, 100gsumsn 17108 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( s  +  1 )  e.  _V  /\  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )  -> 
( Y  gsumg  ( i  e.  {
( s  +  1 ) }  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )
10265, 92, 97, 101syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  { ( s  +  1 ) } 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  =  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )
10390, 102oveq12d 6314 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( Y  gsumg  ( i  e.  {
( s  +  1 ) }  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) ) )  =  ( ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) )  .+  (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) ) )
104 fzfid 12086 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 1 ... s )  e.  Fin )
105 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B ) )
106 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )
107 elfznn 11739 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  NN )
108107nnnn0d 10873 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  NN0 )
109108adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  i  e.  NN0 )
110105, 106, 109, 29syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  e.  ( Base `  Y
) )
111110ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... s ) ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
)  e.  ( Base `  Y ) )
1121, 13, 104, 111gsummptcl 17121 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
1131, 3mndass 16057 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( (
0  .^  X )  .x.  ( G `  0
) )  e.  (
Base `  Y )  /\  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) )  .+  (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) )  .+  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  (
s  +  1 ) ) ) ) ) )
11465, 112, 83, 97, 113syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) )  .+  (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) )  .+  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  (
s  +  1 ) ) ) ) ) )
11525a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  G  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `
 ( b `  s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  < 
n ,  .0.  , 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) ) ) )
116107nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  =/=  0 )
117116ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  i  =/=  0 )
118 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  i  ->  (
n  =/=  0  <->  i  =/=  0 ) )
119118adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  (
n  =/=  0  <->  i  =/=  0 ) )
120117, 119mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  n  =/=  0 )
121 eqneqall 2664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
n  =/=  0  ->  .0.  =  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) ) )
122120, 121mpan9 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  ->  .0.  =  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )
123 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  ->  n  =  i )
124 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  =  n  ->  (
0  =  i  <->  n  =  i ) )
125124eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  0  ->  (
0  =  i  <->  n  =  i ) )
126125adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  -> 
( 0  =  i  <-> 
n  =  i ) )
127123, 126mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  -> 
0  =  i )
128127fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  -> 
( b `  0
)  =  ( b `
 i ) )
129128fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  -> 
( T `  (
b `  0 )
)  =  ( T `
 ( b `  i ) ) )
130129oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  -> 
( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) )  =  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) )
131122, 130oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  n  =  0 )  -> 
(  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) )  =  ( ( T `
 ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )
132 elfz2 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  i  /\  i  <_  s ) ) )
133 zleltp1 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  ( i  <_  s  <->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
134133ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  <_  s  <->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
1351343adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  (
i  <_  s  <->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
136135biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  <_  s  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
137136adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  <_  i  /\  i  <_  s )  -> 
( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
138137impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  s ) )  ->  i  <  ( s  +  1 ) )
139138orcd 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  s ) )  ->  ( i  <  ( s  +  1 )  \/  ( s  +  1 )  < 
i ) )
140 zre 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  ZZ  ->  s  e.  RR )
141 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
142140, 141readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  ZZ  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
143 zre 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  RR )
144142, 143anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  RR  /\  ( s  +  1 )  e.  RR ) )
1451443adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  RR  /\  ( s  +  1 )  e.  RR ) )
146 lttri2 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  RR  /\  ( s  +  1 )  e.  RR )  ->  ( i  =/=  ( s  +  1 )  <->  ( i  < 
( s  +  1 )  \/  ( s  +  1 )  < 
i ) ) )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  (
i  =/=  ( s  +  1 )  <->  ( i  <  ( s  +  1 )  \/  ( s  +  1 )  < 
i ) ) )
148147adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  s ) )  ->  ( i  =/=  ( s  +  1 )  <->  ( i  < 
( s  +  1 )  \/  ( s  +  1 )  < 
i ) ) )
149139, 148mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  i  /\  i  <_  s ) )  ->  i  =/=  ( s  +  1 ) )
150132, 149sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  =/=  ( s  +  1 ) )
151150ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  i  =/=  ( s  +  1 ) )
152 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  i  ->  (
n  =/=  ( s  +  1 )  <->  i  =/=  ( s  +  1 ) ) )
153152adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  (
n  =/=  ( s  +  1 )  <->  i  =/=  ( s  +  1 ) ) )
154151, 153mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  n  =/=  ( s  +  1 ) )
155154adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  ->  n  =/=  (
s  +  1 ) )
156155neneqd 2659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  ->  -.  n  =  ( s  +  1 ) )
157156pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  ->  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  ( T `  ( b `  s
) )  =  ( ( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )
158157imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  =  ( s  +  1 ) )  ->  ( T `  ( b `  s
) )  =  ( ( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
159107nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  RR )
160 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  i  ->  (
n  e.  RR  <->  i  e.  RR ) )
161159, 160syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  (
n  =  i  ->  n  e.  RR )
)
162161adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
n  =  i  ->  n  e.  RR )
)
163162imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  n  e.  RR )
16475nn0red 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  RR )
165164ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  s  e.  RR )
166 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  1  e.  RR )
167165, 166readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
168132, 138sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  <  ( s  +  1 ) )
169168ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  i  <  ( s  +  1 ) )
170 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  i  ->  (
n  <  ( s  +  1 )  <->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
171170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  (
n  <  ( s  +  1 )  <->  i  <  ( s  +  1 ) ) )
172169, 171mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  n  <  ( s  +  1 ) )
173163, 167, 172ltnsymd 9751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  -.  ( s  +  1 )  <  n )
174173pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  (
( s  +  1 )  <  n  ->  .0.  =  ( ( T `
 ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) ) )
175174ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  ->  (
( s  +  1 )  <  n  ->  .0.  =  ( ( T `
 ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) ) )
176175imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  ( s  +  1 )  <  n )  ->  .0.  =  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
177 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  n  =  i )
178177oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( n  - 
1 )  =  ( i  -  1 ) )
179178fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( b `  ( n  -  1
) )  =  ( b `  ( i  -  1 ) ) )
180179fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  =  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )
181177fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( b `  n )  =  ( b `  i ) )
182181fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( T `  ( b `  n
) )  =  ( T `  ( b `
 i ) ) )
183182oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) )  =  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) )
184180, 183oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  ( ( T `
 ( b `  ( n  -  1
) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  n ) ) ) )  =  ( ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) )
185176, 184ifeqda 3977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  ->  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) )  =  ( ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
186158, 185ifeqda 3977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  /\  -.  n  =  0 )  ->  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) )  =  ( ( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
187131, 186ifeqda 3977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  /\  n  =  i )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
188 ovex 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) )  e.  _V
189188a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) )  e.  _V )
190115, 187, 109, 189fvmptd 5961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( G `  i )  =  ( ( T `
 ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )
191190oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( G `  i ) )  =  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )
192191mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... s
)  |->  ( ( i 
.^  X )  .x.  ( G `  i ) ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  X
)  .x.  ( ( T `  ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) ) ) )
193192oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) ) )
19425a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) ) ) )
195 nn0p1gt0 10846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  NN0  ->  0  < 
( s  +  1 ) )
196 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN0  ->  0  e.  RR )
197 ltne 9698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( s  +  1 ) )  -> 
( s  +  1 )  =/=  0 )
198196, 197sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  0  <  ( s  +  1 ) )  -> 
( s  +  1 )  =/=  0 )
199 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  (
n  =/=  0  <->  (
s  +  1 )  =/=  0 ) )
200198, 199syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  0  <  ( s  +  1 ) )  -> 
( n  =  ( s  +  1 )  ->  n  =/=  0
) )
201195, 200mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  n  =/=  0 ) )
20234, 201syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  NN  ->  (
n  =  ( s  +  1 )  ->  n  =/=  0 ) )
203202ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  n  =/=  0 ) )
204203imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  =  ( s  +  1 ) )  ->  n  =/=  0 )
205 eqneqall 2664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  (
n  =/=  0  -> 
(  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) )  =  ( T `  ( b `  s
) ) ) )
206204, 205mpan9 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  n  =  0 )  ->  (  .0.  .-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 0 ) ) ) )  =  ( T `  ( b `
 s ) ) )
207 iftrue 3950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( s  +  1 )  ->  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) )  =  ( T `  ( b `  s
) ) )
208207ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  n  =  0 )  ->  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) )  =  ( T `  ( b `  s
) ) )
209206, 208ifeqda 3977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  =  ( s  +  1 ) )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( T `
 ( b `  s ) ) )
21075, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  NN0 )
211 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( T `
 ( b `  s ) )  e. 
_V
212211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  s
) )  e.  _V )
213194, 209, 210, 212fvmptd 5961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( G `  ( s  +  1 ) )  =  ( T `  ( b `
 s ) ) )
214213oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) )  =  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( T `  (
b `  s )
) ) )
21543ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
216 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
21726, 7, 216vr1cl 18385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
218215, 217syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
219 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
220219, 216mgpbas 17274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
221 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
222219, 221ringidval 17282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 0g `  (mulGrp `  P ) )
223220, 222, 28mulg0 16274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( Base `  P
)  ->  ( 0 
.^  X )  =  ( 1r `  P
) )
224218, 223syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
0  .^  X )  =  ( 1r `  P ) )
2257ply1crng 18364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  CRing
)
226225anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing ) )
2272263adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing ) )
2288matsca2 19049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing )  ->  P  =  (Scalar `  Y
) )
229227, 228syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  P  =  (Scalar `  Y )
)
230229fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( 1r `  P )  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )
231224, 230eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
0  .^  X )  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )
232231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 0  .^  X )  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )
233232oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) )  =  ( ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  .x.  ( G `  0 ) ) )
2347, 8pmatlmod 19322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  LMod )
2354, 234sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  LMod )
2362353adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  LMod )
237236adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  LMod )
23820, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25chfacfisf 19482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G : NN0 --> (
Base `  Y )
)
2394, 238syl3anl2 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G : NN0 --> (
Base `  Y )
)
240239, 81ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( G ` 
0 )  e.  (
Base `  Y )
)
241 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
242 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)
2431, 241, 27, 242lmodvs1 17667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( G `  0 )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  Y ) )  .x.  ( G `  0 ) )  =  ( G `
 0 ) )
244237, 240, 243syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  .x.  ( G `  0 ) )  =  ( G ` 
0 ) )
245 iftrue 3950 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )
246245adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  =  0 )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) )
247 ovex 6324 . . . . . . . . . 10  |-  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  e.  _V
248247a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  e.  _V )
249194, 246, 81, 248fvmptd 5961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( G ` 
0 )  =  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) ) ) )
250233, 244, 2493eqtrd 2502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) )  =  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) )
251214, 250oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  (
s  +  1 ) ) )  .+  (
( 0  .^  X
)  .x.  ( G `  0 ) ) )  =  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( T `  ( b `  s
) ) )  .+  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) ) ) ) )
2521, 3cmncom 16941 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e. CMnd  /\  (
( 0  .^  X
)  .x.  ( G `  0 ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( (
( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  (
s  +  1 ) ) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
( 0  .^  X
)  .x.  ( G `  0 ) ) 
.+  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0
) ) ) )
25313, 83, 97, 252syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0
) )  .+  (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  (
s  +  1 ) ) )  .+  (
( 0  .^  X
)  .x.  ( G `  0 ) ) ) )
254 ringgrp 17330 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
25510, 254syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Grp )
256255adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
257214, 97eqeltrrd 2546 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
25810adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
25924, 20, 21, 7, 8mat2pmatbas 19354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
2604, 259syl3an2 1262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
261260adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  M )  e.  (
Base `  Y )
)
262 simpl1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  N  e.  Fin )
263215adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
264 elmapi 7459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
265264adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
b : ( 0 ... s ) --> B )
266265adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
267 0elfz 11799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... s
) )
26834, 267syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  NN  ->  0  e.  ( 0 ... s
) )
269268ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... s ) )
270266, 269ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( b ` 
0 )  e.  B
)
27124, 20, 21, 7, 8mat2pmatbas 19354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  0 )  e.  B )  ->  ( T `  ( b `  0 ) )  e.  ( Base `  Y
) )
272262, 263, 270, 271syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  0
) )  e.  (
Base `  Y )
)
2731, 22ringcl 17339 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  0
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) )  e.  (
Base `  Y )
)
274258, 261, 272, 273syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 0 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
2751, 2, 23, 3grpsubadd0sub 16252 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( T `  ( b `  s ) ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( T `  ( b `  s
) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  =  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( T `  ( b `  s ) ) ) 
.+  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ) )
276256, 257, 274, 275syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( T `  (
b `  s )
) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) )  =  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( T `  (
b `  s )
) )  .+  (  .0.  .-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 0 ) ) ) ) ) )
277251, 253, 2763eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0
) )  .+  (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( T `  (
b `  s )
) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )
278193, 277oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( ( 0 
.^  X )  .x.  ( G `  0 ) )  .+  ( ( ( s  +  1 )  .^  X )  .x.  ( G `  (
s  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
279114, 278eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i )
) ) )  .+  ( ( 0  .^  X )  .x.  ( G `  0 )
) )  .+  (
( ( s  +  1 )  .^  X
)  .x.  ( G `  ( s  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
28076, 103, 2793eqtrd 2502 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... ( s  +  1 ) )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
28140, 74, 2803eqtrd 2502 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( G `  i
) ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( s  +  1 ) 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470   (/)c0 3793   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046   Grpcgrp 16180   -gcsg 16182  .gcmg 16183  CMndccmn 16925  mulGrpcmgp 17268   1rcur 17280   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326   LModclmod 17639  var1cv1 18342  Poly1cpl1 18343   Mat cmat 19036   matToPolyMat cmat2pmat 19332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536