MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfscmulcl Structured version   Unicode version

Theorem chfacfscmulcl 19812
Description: Closure of a scaled value of the "characteristic factor function". (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
chfacfisf.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
chfacfisf.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
chfacfisf.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
chfacfisf.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
chfacfisf.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
chfacfisf.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
chfacfisf.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
chfacfisf.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
chfacfscmulcl.x  |-  X  =  (var1 `  R )
chfacfscmulcl.m  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
chfacfscmulcl.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
Assertion
Ref Expression
chfacfscmulcl  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( K  .^  X )  .x.  ( G `  K )
)  e.  ( Base `  Y ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s
Allowed substitution hints:    A( n, s, b)    B( s, b)    P( n, s, b)    R( s, b)    T( n, s, b)    .x. ( n, s, b)    .X. ( n, s, b)    .^ ( n, s, b)    G( n, s, b)    K( n, s, b)    M( s, b)    .- ( n, s, b)    N( s, b)    X( n, s, b)    Y( s, b)    .0. ( n, s, b)

Proof of Theorem chfacfscmulcl
StepHypRef Expression
1 crngring 17726 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 chfacfisf.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 chfacfisf.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( N Mat  P )
42, 3pmatlmod 19649 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  LMod )
51, 4sylan2 476 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  LMod )
653adant3 1025 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  LMod )
763ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  Y  e.  LMod )
82ply1ring 18776 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
91, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  Ring )
1093ad2ant2 1027 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  P  e.  Ring )
11 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
1211ringmgp 17721 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
1310, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
14133ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
(mulGrp `  P )  e.  Mnd )
15 simp3 1007 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  NN0 )
1613ad2ant2 1027 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
17 chfacfscmulcl.x . . . . . . 7  |-  X  =  (var1 `  R )
18 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1917, 2, 18vr1cl 18745 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
2016, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
21203ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  P ) )
2211, 18mgpbas 17664 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
23 chfacfscmulcl.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
2422, 23mulgnn0cl 16725 . . . 4  |-  ( ( (mulGrp `  P )  e.  Mnd  /\  K  e. 
NN0  /\  X  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( K  .^  X )  e.  (
Base `  P )
)
2514, 15, 21, 24syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  .^  X
)  e.  ( Base `  P ) )
262ply1crng 18726 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  CRing
)
2726anim2i 571 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing ) )
28273adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing ) )
293matsca2 19376 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing )  ->  P  =  (Scalar `  Y
) )
3028, 29syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  P  =  (Scalar `  Y )
)
3130eqcomd 2437 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (Scalar `  Y )  =  P )
3231fveq2d 5885 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( Base `  (Scalar `  Y
) )  =  (
Base `  P )
)
33323ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( Base `  (Scalar `  Y
) )  =  (
Base `  P )
)
3425, 33eleqtrrd 2520 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  .^  X
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
35 chfacfisf.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
36 chfacfisf.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
37 chfacfisf.r . . . . . 6  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
38 chfacfisf.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  Y )
39 chfacfisf.0 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
40 chfacfisf.t . . . . . 6  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
41 chfacfisf.g . . . . . 6  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
4235, 36, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 41chfacfisf 19809 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G : NN0 --> (
Base `  Y )
)
431, 42syl3anl2 1313 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G : NN0 --> (
Base `  Y )
)
44433adant3 1025 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  G : NN0 --> ( Base `  Y ) )
4544, 15ffvelrnd 6038 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( G `  K
)  e.  ( Base `  Y ) )
46 eqid 2429 . . 3  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
47 eqid 2429 . . 3  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
48 chfacfscmulcl.m . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
49 eqid 2429 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
5046, 47, 48, 49lmodvscl 18043 . 2  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( K  .^  X )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  ( G `  K )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( K  .^  X
)  .x.  ( G `  K ) )  e.  ( Base `  Y
) )
517, 34, 45, 50syl3anc 1264 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( K  .^  X )  .x.  ( G `  K )
)  e.  ( Base `  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    < clt 9674    - cmin 9859   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ...cfz 11782   Basecbs 15084   .rcmulr 15153  Scalarcsca 15155   .scvsca 15156   0gc0g 15297   Mndcmnd 16486   -gcsg 16622  .gcmg 16623  mulGrpcmgp 17658   Ringcrg 17715   CRingccrg 17716   LModclmod 18026  var1cv1 18704  Poly1cpl1 18705   Mat cmat 19363   matToPolyMat cmat2pmat 19659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-ascl 18473  df-psr 18515  df-mvr 18516  df-mpl 18517  df-opsr 18519  df-psr1 18708  df-vr1 18709  df-ply1 18710  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-mamu 19340  df-mat 19364  df-mat2pmat 19662
This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  19815
  Copyright terms: Public domain W3C validator