MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfpmmulgsum2 Structured version   Unicode version

Theorem chfacfpmmulgsum2 19133
Description: Breaking up a sum of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
cayhamlem1.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
cayhamlem1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cayhamlem1.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
cayhamlem1.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
cayhamlem1.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
cayhamlem1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
cayhamlem1.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
cayhamlem1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
cayhamlem1.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
chfacfpmmulgsum.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
chfacfpmmulgsum2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )  .+  (
( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s    .0. , n    B, i   
i, G    i, M    i, N    R, i    T, i    .X. , i    .^ , i    i, s    i, b    T, n, i    i, Y    .X. , n    .- , n
Allowed substitution hints:    A( i, n, s, b)    B( s, b)    P( i, n, s, b)    .+ ( i, n, s, b)    R( s, b)    T( s, b)    .X. ( s, b)    .^ ( n, s, b)    G( n, s, b)    M( s, b)    .- ( i, s, b)    N( s, b)    Y( s, b)    .0. ( i, s, b)

Proof of Theorem chfacfpmmulgsum2
StepHypRef Expression
1 cayhamlem1.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 cayhamlem1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 cayhamlem1.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 cayhamlem1.y . . 3  |-  Y  =  ( N Mat  P )
5 cayhamlem1.r . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
6 cayhamlem1.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  Y )
7 cayhamlem1.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
8 cayhamlem1.t . . 3  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
9 cayhamlem1.g . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
10 cayhamlem1.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
11 chfacfpmmulgsum.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11chfacfpmmulgsum 19132 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( s  +  1 ) 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
13 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
14 crngrng 16996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1514anim2i 569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
163, 4pmatrng 18961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  Ring )
18173adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  Y  e.  Ring )
20 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
2120rngmgp 16992 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
2218, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
24 elfznn 11710 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  NN )
2524adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  i  e.  NN )
268, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 18994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
2714, 26syl3an2 1262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
2920, 13mgpbas 16937 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  (mulGrp `  Y
) )
3029, 10mulgnncl 15957 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  Y )  e.  Mnd  /\  i  e.  NN  /\  ( T `
 M )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
i  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
) )
3123, 25, 28, 30syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
i  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
) )
32153adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
34 elmapi 7437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
b : ( 0 ... s ) --> B )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
3736adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
38 1nn0 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN0
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  1  e.  NN0 )
40 nnnn0 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  NN0 )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  s  e.  NN0 )
42 nnge1 10558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  1  <_  s )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  1  <_  s
)
44 elfz2nn0 11764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ( 0 ... s )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  1  <_ 
s ) )
4539, 41, 43, 44syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  1  e.  ( 0 ... s ) )
46 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  i  e.  ( 1 ... s ) )
47 fz0fzdiffz0 11777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  ( 0 ... s )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  ( i  - 
1 )  e.  ( 0 ... s ) )
4845, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  ( i  - 
1 )  e.  ( 0 ... s ) )
4948ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  NN  ->  (
i  e.  ( 1 ... s )  -> 
( i  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( i  e.  ( 1 ... s )  ->  ( i  - 
1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... s
)  ->  ( i  -  1 )  e.  ( 0 ... s
) ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
i  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) )
5337, 52ffvelrnd 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
b `  ( i  -  1 ) )  e.  B )
54 df-3an 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  ( i  -  1 ) )  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
b `  ( i  -  1 ) )  e.  B ) )
5533, 53, 54sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( b `  ( i  -  1 ) )  e.  B
) )
568, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 18994 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  ( i  -  1 ) )  e.  B )  -> 
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( T `  ( b `  ( i  -  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
5832, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  Y  e.  Ring )
60 simpl1 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  N  e.  Fin )
61143ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6340adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
s  e.  NN0 )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  NN0 )
6560, 62, 643jca 1176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 ) )
67 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) ) )
6867adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) ) )
69 1eluzge0 11121 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
70 fzss1 11718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... s )  C_  ( 0 ... s
) )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... s )  C_  ( 0 ... s
)
7271sseli 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  ( 0 ... s
) )
7368, 72anim12i 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s ) ) )
741, 2, 3, 4, 8m2pmfzmap 19015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s ) ) )  ->  ( T `  ( b `  i
) )  e.  (
Base `  Y )
)
7566, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( T `  ( b `  i ) )  e.  ( Base `  Y
) )
7613, 5rngcl 16999 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  i
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  i )
) )  e.  (
Base `  Y )
)
7759, 28, 75, 76syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
7813, 5, 6, 19, 31, 57, 77rngsubdi 17031 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( ( T `  ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )  =  ( ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  i )
) ) ) ) )
7913, 5rngass 17002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  (
( i  .^  ( T `  M )
)  e.  ( Base `  Y )  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  i
) )  e.  (
Base `  Y )
) )  ->  (
( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )
8059, 31, 28, 75, 79syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )
8180eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  i )
) ) )  =  ( ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) )
8227, 29syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y ) ) )
8382adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  M )  e.  (
Base `  (mulGrp `  Y
) ) )
84 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  (mulGrp `  Y )
)  =  ( Base `  (mulGrp `  Y )
)
85 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  (mulGrp `  Y )
)  =  ( +g  `  (mulGrp `  Y )
)
8684, 10, 85mulgnnp1 15950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  NN  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y ) ) )  ->  ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) ) ( +g  `  (mulGrp `  Y ) ) ( T `  M ) ) )
8724, 83, 86syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) ) ( +g  `  (mulGrp `  Y ) ) ( T `  M ) ) )
8820, 5mgpplusg 16935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .X.  =  ( +g  `  (mulGrp `  Y ) )
8988eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  (mulGrp `  Y )
)  =  .X.
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( +g  `  (mulGrp `  Y
) )  =  .X.  )
9190oveqd 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
) ( +g  `  (mulGrp `  Y ) ) ( T `  M ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  M ) ) )
9287, 91eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  M ) ) )
9392eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  M ) )  =  ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M )
) )
9493oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) )  =  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) )
9581, 94eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  i )
) ) )  =  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) )
9695oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  i )
) ) ) )  =  ( ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) )
9778, 96eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( ( T `  ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )  =  ( ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
9897mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... s
)  |->  ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )
9998oveq2d 6298 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) ) ) )
10099oveq1d 6297 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) ) ) ) 
.+  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) ) ) 
.+  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
10112, 100eqtrd 2508 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )  .+  (
( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   .rcmulr 14552   0gc0g 14691    gsumg cgsu 14692   Mndcmnd 15722   -gcsg 15726  .gcmg 15727  mulGrpcmgp 16931   Ringcrg 16986   CRingccrg 16987  Poly1cpl1 17987   Mat cmat 18676   matToPolyMat cmat2pmat 18972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-prds 14699  df-pws 14701  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-ascl 17734  df-psr 17776  df-mpl 17778  df-opsr 17780  df-psr1 17990  df-ply1 17992  df-dsmm 18530  df-frlm 18545  df-mamu 18653  df-mat 18677  df-mat2pmat 18975
This theorem is referenced by:  cayhamlem1  19134
  Copyright terms: Public domain W3C validator