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Theorem chfacfpmmulgsum2 19451
Description: Breaking up a sum of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
cayhamlem1.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
cayhamlem1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cayhamlem1.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
cayhamlem1.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
cayhamlem1.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
cayhamlem1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
cayhamlem1.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
cayhamlem1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
cayhamlem1.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
chfacfpmmulgsum.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
chfacfpmmulgsum2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )  .+  (
( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s    .0. , n    B, i   
i, G    i, M    i, N    R, i    T, i    .X. , i    .^ , i    i, s    i, b    T, n, i    i, Y    .X. , n    .- , n
Allowed substitution hints:    A( i, n, s, b)    B( s, b)    P( i, n, s, b)    .+ ( i, n, s, b)    R( s, b)    T( s, b)    .X. ( s, b)    .^ ( n, s, b)    G( n, s, b)    M( s, b)    .- ( i, s, b)    N( s, b)    Y( s, b)    .0. ( i, s, b)

Proof of Theorem chfacfpmmulgsum2
StepHypRef Expression
1 cayhamlem1.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 cayhamlem1.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 cayhamlem1.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 cayhamlem1.y . . 3  |-  Y  =  ( N Mat  P )
5 cayhamlem1.r . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
6 cayhamlem1.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  Y )
7 cayhamlem1.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
8 cayhamlem1.t . . 3  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
9 cayhamlem1.g . . 3  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
10 cayhamlem1.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
11 chfacfpmmulgsum.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11chfacfpmmulgsum 19450 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( s  +  1 ) 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
13 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
14 crngring 17322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1514anim2i 567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
163, 4pmatring 19279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  Ring )
18173adant3 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
1918ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  Y  e.  Ring )
20 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
2120ringmgp 17317 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
2218, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
2322ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
24 elfznn 11635 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  NN )
2524adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  i  e.  NN )
268, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 19312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
2714, 26syl3an2 1260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
2827ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
2920, 13mgpbas 17260 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  (mulGrp `  Y
) )
3029, 10mulgnncl 16274 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  Y )  e.  Mnd  /\  i  e.  NN  /\  ( T `
 M )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
i  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
) )
3123, 25, 28, 30syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
i  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
) )
32153adant3 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
3332ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
34 elmapi 7359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
3534adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
b : ( 0 ... s ) --> B )
3635adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
3736adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
38 1nn0 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN0
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  1  e.  NN0 )
40 nnnn0 10719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  NN0 )
4140adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  s  e.  NN0 )
42 nnge1 10478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  1  <_  s )
4342adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  1  <_  s
)
44 elfz2nn0 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ( 0 ... s )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  1  <_ 
s ) )
4539, 41, 43, 44syl3anbrc 1178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  1  e.  ( 0 ... s ) )
46 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  i  e.  ( 1 ... s ) )
47 fz0fzdiffz0 11705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  ( 0 ... s )  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  ( i  - 
1 )  e.  ( 0 ... s ) )
4845, 46, 47syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... s ) )  ->  ( i  - 
1 )  e.  ( 0 ... s ) )
4948ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  NN  ->  (
i  e.  ( 1 ... s )  -> 
( i  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
5049adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( i  e.  ( 1 ... s )  ->  ( i  - 
1 )  e.  ( 0 ... s ) ) )
5150adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... s
)  ->  ( i  -  1 )  e.  ( 0 ... s
) ) )
5251imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
i  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) )
5337, 52ffvelrnd 5934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
b `  ( i  -  1 ) )  e.  B )
54 df-3an 973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  ( i  -  1 ) )  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
b `  ( i  -  1 ) )  e.  B ) )
5533, 53, 54sylanbrc 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( b `  ( i  -  1 ) )  e.  B
) )
568, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 19312 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  ( i  -  1 ) )  e.  B )  -> 
( T `  (
b `  ( i  -  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( T `  ( b `  ( i  -  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
5832, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
5958ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  Y  e.  Ring )
60 simpl1 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  N  e.  Fin )
61143ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
6261adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6340adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
s  e.  NN0 )
6463adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  NN0 )
6560, 62, 643jca 1174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 ) )
6665adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 ) )
67 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) ) )
6867adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) ) )
69 1eluzge0 11044 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
70 fzss1 11644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... s )  C_  ( 0 ... s
) )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... s )  C_  ( 0 ... s
)
7271sseli 3413 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... s )  ->  i  e.  ( 0 ... s
) )
7368, 72anim12i 564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s ) ) )
741, 2, 3, 4, 8m2pmfzmap 19333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s ) ) )  ->  ( T `  ( b `  i
) )  e.  (
Base `  Y )
)
7566, 73, 74syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( T `  ( b `  i ) )  e.  ( Base `  Y
) )
7613, 5ringcl 17325 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  i
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  i )
) )  e.  (
Base `  Y )
)
7759, 28, 75, 76syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
7813, 5, 6, 19, 31, 57, 77ringsubdi 17358 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( ( T `  ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )  =  ( ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  i )
) ) ) ) )
7913, 5ringass 17328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  (
( i  .^  ( T `  M )
)  e.  ( Base `  Y )  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  i
) )  e.  (
Base `  Y )
) )  ->  (
( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )
8059, 31, 28, 75, 79syl13anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )
8180eqcomd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  i )
) ) )  =  ( ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) )
8227, 29syl6eleq 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y ) ) )
8382adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  M )  e.  (
Base `  (mulGrp `  Y
) ) )
84 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  (mulGrp `  Y )
)  =  ( Base `  (mulGrp `  Y )
)
85 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  (mulGrp `  Y )
)  =  ( +g  `  (mulGrp `  Y )
)
8684, 10, 85mulgnnp1 16267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  NN  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y ) ) )  ->  ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) ) ( +g  `  (mulGrp `  Y ) ) ( T `  M ) ) )
8724, 83, 86syl2anr 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) ) ( +g  `  (mulGrp `  Y ) ) ( T `  M ) ) )
8820, 5mgpplusg 17258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .X.  =  ( +g  `  (mulGrp `  Y ) )
8988eqcomi 2395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  (mulGrp `  Y )
)  =  .X.
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  ( +g  `  (mulGrp `  Y
) )  =  .X.  )
9190oveqd 6213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
) ( +g  `  (mulGrp `  Y ) ) ( T `  M ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  M ) ) )
9287, 91eqtrd 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  =  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  M ) ) )
9392eqcomd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  M ) )  =  ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M )
) )
9493oveq1d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) )  =  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) )
9581, 94eqtrd 2423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  i )
) ) )  =  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) )
9695oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  i )
) ) ) )  =  ( ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) )
9778, 96eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... s
) )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( ( T `  ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )  =  ( ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
9897mpteq2dva 4453 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e.  ( 1 ... s
)  |->  ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )
9998oveq2d 6212 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) ) ) )
10099oveq1d 6211 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( Y 
gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( ( T `  ( b `  ( i  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) ) ) ) 
.+  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s ) 
|->  ( ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 ( i  - 
1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) ) ) 
.+  ( ( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `
 s ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ) )
10112, 100eqtrd 2423 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  NN0  |->  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 1 ... s )  |->  ( ( ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( T `  ( b `  (
i  -  1 ) ) ) )  .-  ( ( ( i  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) )  .+  (
( ( ( s  +  1 )  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( T `  ( b `  s
) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    C_ wss 3389   ifcif 3857   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   Fincfn 7435   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   .rcmulr 14703   0gc0g 14847    gsumg cgsu 14848   Mndcmnd 16036   -gcsg 16172  .gcmg 16173  mulGrpcmgp 17254   Ringcrg 17311   CRingccrg 17312  Poly1cpl1 18329   Mat cmat 18994   matToPolyMat cmat2pmat 19290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-prds 14855  df-pws 14857  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-ascl 18076  df-psr 18118  df-mpl 18120  df-opsr 18122  df-psr1 18332  df-ply1 18334  df-dsmm 18854  df-frlm 18869  df-mamu 18971  df-mat 18995  df-mat2pmat 19293
This theorem is referenced by:  cayhamlem1  19452
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