Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfpmmulfsupp Structured version   Unicode version

Theorem chfacfpmmulfsupp 19886
 Description: A mapping of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is finitely supported. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a Mat
cayhamlem1.b
cayhamlem1.p Poly1
cayhamlem1.y Mat
cayhamlem1.r
cayhamlem1.s
cayhamlem1.0
cayhamlem1.t matToPolyMat
cayhamlem1.g
cayhamlem1.e .gmulGrp
Assertion
Ref Expression
chfacfpmmulfsupp finSupp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,)   (,,,)   (,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,)   (,,,)   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem chfacfpmmulfsupp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cayhamlem1.0 . . . 4
2 fvex 5892 . . . 4
31, 2eqeltri 2503 . . 3
43a1i 11 . 2
5 ovex 6334 . . 3
65a1i 11 . 2
7 nnnn0 10884 . . . . 5
87ad2antrl 732 . . . 4
9 1nn0 10893 . . . . 5
109a1i 11 . . . 4
118, 10nn0addcld 10937 . . 3
12 vex 3083 . . . . . . 7
13 csbov12g 6342 . . . . . . . 8
14 nfcvd 2581 . . . . . . . . . 10
15 oveq1 6313 . . . . . . . . . 10
1614, 15csbiegf 3419 . . . . . . . . 9
17 csbfv 5919 . . . . . . . . . 10
1817a1i 11 . . . . . . . . 9
1916, 18oveq12d 6324 . . . . . . . 8
2013, 19eqtrd 2463 . . . . . . 7
2112, 20mp1i 13 . . . . . 6
22 simplll 766 . . . . . . 7
23 simpllr 767 . . . . . . 7
247adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
2524ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11
2625nn0zd 11046 . . . . . . . . . 10
2726adantr 466 . . . . . . . . 9
28 2z 10977 . . . . . . . . . 10
2928a1i 11 . . . . . . . . 9
3027, 29zaddcld 11052 . . . . . . . 8
31 simplr 760 . . . . . . . . 9
3231nn0zd 11046 . . . . . . . 8
33 peano2nn0 10918 . . . . . . . . . . . . . 14
347, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
3534ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12
3635nn0zd 11046 . . . . . . . . . . 11
37 nn0z 10968 . . . . . . . . . . 11
38 zltp1le 10994 . . . . . . . . . . 11
3936, 37, 38syl2an 479 . . . . . . . . . 10
4039biimpa 486 . . . . . . . . 9
41 nncn 10625 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 add1p1 10870 . . . . . . . . . . . . . . 15
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
4443breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . 13
4544bicomd 204 . . . . . . . . . . . 12
4645adantr 466 . . . . . . . . . . 11
4746ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10
4847adantr 466 . . . . . . . . 9
4940, 48mpbird 235 . . . . . . . 8
50 eluz2 11173 . . . . . . . 8
5130, 32, 49, 50syl3anbrc 1189 . . . . . . 7
52 cayhamlem1.a . . . . . . . 8 Mat
53 cayhamlem1.b . . . . . . . 8
54 cayhamlem1.p . . . . . . . 8 Poly1
55 cayhamlem1.y . . . . . . . 8 Mat
56 cayhamlem1.r . . . . . . . 8
57 cayhamlem1.s . . . . . . . 8
58 cayhamlem1.t . . . . . . . 8 matToPolyMat
59 cayhamlem1.g . . . . . . . 8
60 cayhamlem1.e . . . . . . . 8 .gmulGrp
6152, 53, 54, 55, 56, 57, 1, 58, 59, 60chfacfpmmul0 19885 . . . . . . 7
6222, 23, 51, 61syl3anc 1264 . . . . . 6
6321, 62eqtrd 2463 . . . . 5
6463ex 435 . . . 4
6564ralrimiva 2836 . . 3
66 breq1 4426 . . . . . 6
6766imbi1d 318 . . . . 5
6867ralbidv 2861 . . . 4
6968rspcev 3182 . . 3
7011, 65, 69syl2anc 665 . 2
714, 6, 70mptnn0fsupp 12216 1 finSupp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  wral 2771  wrex 2772  cvv 3080  csb 3395  cif 3911   class class class wbr 4423   cmpt 4482  cfv 5601  (class class class)co 6306   cmap 7484  cfn 7581   finSupp cfsupp 7893  cc 9545  cc0 9547  c1 9548   caddc 9550   clt 9683   cle 9684   cmin 9868  cn 10617  c2 10667  cn0 10877  cz 10945  cuz 11167  cfz 11792  cbs 15121  cmulr 15191  c0g 15338  csg 16671  .gcmg 16672  mulGrpcmgp 17723  ccrg 17781  Poly1cpl1 18770   Mat cmat 19431   matToPolyMat cmat2pmat 19727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-ot 4007  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-ofr 6547  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-ixp 7535  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-sup 7966  df-oi 8035  df-card 8382  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-rp 11311  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-ascl 18538  df-psr 18580  df-mpl 18582  df-opsr 18584  df-psr1 18773  df-ply1 18775  df-dsmm 19294  df-frlm 19309  df-mamu 19408  df-mat 19432  df-mat2pmat 19730 This theorem is referenced by:  chfacfpmmulgsum  19887
 Copyright terms: Public domain W3C validator