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Theorem chfacfpmmulfsupp 19886
Description: A mapping of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is finitely supported. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
cayhamlem1.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
cayhamlem1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cayhamlem1.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
cayhamlem1.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
cayhamlem1.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
cayhamlem1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
cayhamlem1.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
cayhamlem1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
cayhamlem1.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
Assertion
Ref Expression
chfacfpmmulfsupp  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e. 
NN0  |->  ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) finSupp  .0.  )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s    .0. , n    B, i   
i, G    i, M    i, N    R, i    T, i    .X. , i    .^ , i    i, s    i, b
Allowed substitution hints:    A( i, n, s, b)    B( s, b)    P( i, n, s, b)    R( s, b)    T( n, s, b)    .X. ( n, s, b)    .^ ( n, s, b)    G( n, s, b)    M( s, b)    .- ( i, n, s, b)    N( s, b)    Y( i, s, b)    .0. ( i, s, b)

Proof of Theorem chfacfpmmulfsupp
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cayhamlem1.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
2 fvex 5892 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2503 . . 3  |-  .0.  e.  _V
43a1i 11 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  .0.  e.  _V )
5 ovex 6334 . . 3  |-  ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) )  e.  _V
65a1i 11 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( G `  i ) )  e. 
_V )
7 nnnn0 10884 . . . . 5  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  NN0 )
87ad2antrl 732 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  NN0 )
9 1nn0 10893 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  1  e.  NN0 )
118, 10nn0addcld 10937 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  NN0 )
12 vex 3083 . . . . . . 7  |-  k  e. 
_V
13 csbov12g 6342 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V  ->  [_ k  /  i ]_ (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( G `  i ) )  =  ( [_ k  / 
i ]_ ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  [_ k  / 
i ]_ ( G `  i ) ) )
14 nfcvd 2581 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  _V  ->  F/_ i
( k  .^  ( T `  M )
) )
15 oveq1 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  (
i  .^  ( T `  M ) )  =  ( k  .^  ( T `  M )
) )
1614, 15csbiegf 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  _V  ->  [_ k  /  i ]_ (
i  .^  ( T `  M ) )  =  ( k  .^  ( T `  M )
) )
17 csbfv 5919 . . . . . . . . . 10  |-  [_ k  /  i ]_ ( G `  i )  =  ( G `  k )
1817a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  _V  ->  [_ k  /  i ]_ ( G `  i )  =  ( G `  k ) )
1916, 18oveq12d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V  ->  ( [_ k  /  i ]_ ( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  [_ k  / 
i ]_ ( G `  i ) )  =  ( ( k  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  k ) ) )
2013, 19eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  _V  ->  [_ k  /  i ]_ (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( G `  i ) )  =  ( ( k  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  k ) ) )
2112, 20mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  [_ k  / 
i ]_ ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) )  =  ( ( k  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  k ) ) )
22 simplll 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
) )
23 simpllr 767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )
247adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
s  e.  NN0 )
2524ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  s  e.  NN0 )
2625nn0zd 11046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  s  e.  ZZ )
2726adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  s  e.  ZZ )
28 2z 10977 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
2928a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  2  e.  ZZ )
3027, 29zaddcld 11052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  ( s  +  2 )  e.  ZZ )
31 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  k  e.  NN0 )
3231nn0zd 11046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  k  e.  ZZ )
33 peano2nn0 10918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( s  +  1 )  e. 
NN0 )
347, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  NN0 )
3534ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  NN0 )
3635nn0zd 11046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  ZZ )
37 nn0z 10968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
38 zltp1le 10994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( s  +  1 )  <  k  <->  ( ( s  +  1 )  +  1 )  <_  k ) )
3936, 37, 38syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( s  +  1 )  <  k  <->  ( (
s  +  1 )  +  1 )  <_ 
k ) )
4039biimpa 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  ( (
s  +  1 )  +  1 )  <_ 
k )
41 nncn 10625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  CC )
42 add1p1 10870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( s  +  1 )  +  1 )  =  ( s  +  2 ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  NN  ->  (
( s  +  1 )  +  1 )  =  ( s  +  2 ) )
4443breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  NN  ->  (
( ( s  +  1 )  +  1 )  <_  k  <->  ( s  +  2 )  <_ 
k ) )
4544bicomd 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  NN  ->  (
( s  +  2 )  <_  k  <->  ( (
s  +  1 )  +  1 )  <_ 
k ) )
4645adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( ( s  +  2 )  <_  k  <->  ( ( s  +  1 )  +  1 )  <_  k ) )
4746ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( s  +  2 )  <_  k  <->  ( (
s  +  1 )  +  1 )  <_ 
k ) )
4847adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  ( (
s  +  2 )  <_  k  <->  ( (
s  +  1 )  +  1 )  <_ 
k ) )
4940, 48mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  ( s  +  2 )  <_ 
k )
50 eluz2 11173 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
s  +  2 ) )  <->  ( ( s  +  2 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  ( s  +  2 )  <_ 
k ) )
5130, 32, 49, 50syl3anbrc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) ) )
52 cayhamlem1.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( N Mat  R )
53 cayhamlem1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  A
)
54 cayhamlem1.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
55 cayhamlem1.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( N Mat  P )
56 cayhamlem1.r . . . . . . . 8  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
57 cayhamlem1.s . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  Y )
58 cayhamlem1.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
59 cayhamlem1.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
60 cayhamlem1.e . . . . . . . 8  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
6152, 53, 54, 55, 56, 57, 1, 58, 59, 60chfacfpmmul0 19885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) ) )  -> 
( ( k  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  k ) )  =  .0.  )
6222, 23, 51, 61syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  ( (
k  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  k ) )  =  .0.  )
6321, 62eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  [_ k  / 
i ]_ ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) )  =  .0.  )
6463ex 435 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  i ]_ ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) )  =  .0.  ) )
6564ralrimiva 2836 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  i ]_ ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) )  =  .0.  ) )
66 breq1 4426 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( s  +  1 )  ->  (
x  <  k  <->  ( s  +  1 )  < 
k ) )
6766imbi1d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  ( s  +  1 )  ->  (
( x  <  k  ->  [_ k  /  i ]_ ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) )  =  .0.  )  <->  ( (
s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  i ]_ (
( i  .^  ( T `  M )
)  .X.  ( G `  i ) )  =  .0.  ) ) )
6867ralbidv 2861 . . . 4  |-  ( x  =  ( s  +  1 )  ->  ( A. k  e.  NN0  ( x  <  k  ->  [_ k  /  i ]_ ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) )  =  .0.  )  <->  A. k  e.  NN0  ( ( s  +  1 )  < 
k  ->  [_ k  / 
i ]_ ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) )  =  .0.  )
) )
6968rspcev 3182 . . 3  |-  ( ( ( s  +  1 )  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  (
( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  i ]_ ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) )  =  .0.  ) )  ->  E. x  e.  NN0  A. k  e.  NN0  (
x  <  k  ->  [_ k  /  i ]_ ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) )  =  .0.  ) )
7011, 65, 69syl2anc 665 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  E. x  e.  NN0  A. k  e.  NN0  (
x  <  k  ->  [_ k  /  i ]_ ( ( i  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) )  =  .0.  ) )
714, 6, 70mptnn0fsupp 12216 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e. 
NN0  |->  ( ( i 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  i ) ) ) finSupp  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   [_csb 3395   ifcif 3911   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    ^m cmap 7484   Fincfn 7581   finSupp cfsupp 7893   CCcc 9545   0cc0 9547   1c1 9548    + caddc 9550    < clt 9683    <_ cle 9684    - cmin 9868   NNcn 10617   2c2 10667   NN0cn0 10877   ZZcz 10945   ZZ>=cuz 11167   ...cfz 11792   Basecbs 15121   .rcmulr 15191   0gc0g 15338   -gcsg 16671  .gcmg 16672  mulGrpcmgp 17723   CRingccrg 17781  Poly1cpl1 18770   Mat cmat 19431   matToPolyMat cmat2pmat 19727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-ot 4007  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-ofr 6547  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-ixp 7535  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-sup 7966  df-oi 8035  df-card 8382  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-rp 11311  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-ascl 18538  df-psr 18580  df-mpl 18582  df-opsr 18584  df-psr1 18773  df-ply1 18775  df-dsmm 19294  df-frlm 19309  df-mamu 19408  df-mat 19432  df-mat2pmat 19730
This theorem is referenced by:  chfacfpmmulgsum  19887
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