MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfpmmulcl Structured version   Unicode version

Theorem chfacfpmmulcl 19809
Description: Closure of the value of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
cayhamlem1.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
cayhamlem1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cayhamlem1.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
cayhamlem1.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
cayhamlem1.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
cayhamlem1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
cayhamlem1.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
cayhamlem1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
cayhamlem1.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
Assertion
Ref Expression
chfacfpmmulcl  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( K  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  K ) )  e.  ( Base `  Y
) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s
Allowed substitution hints:    A( n, s, b)    B( s, b)    P( n, s, b)    R( s, b)    T( n, s, b)    .X. ( n, s, b)    .^ ( n, s, b)    G( n, s, b)    K( n, s, b)    M( s, b)    .- ( n, s, b)    N( s, b)    Y( s, b)    .0. ( n, s, b)

Proof of Theorem chfacfpmmulcl
StepHypRef Expression
1 crngring 17719 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 cayhamlem1.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 cayhamlem1.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( N Mat  P )
42, 3pmatring 19641 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
51, 4sylan2 476 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  Ring )
653adant3 1025 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
763ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  Y  e.  Ring )
8 eqid 2420 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
98ringmgp 17714 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
106, 9syl 17 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
11103ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
(mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
12 simp3 1007 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  NN0 )
13 cayhamlem1.t . . . . . 6  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
14 cayhamlem1.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
15 cayhamlem1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
1613, 14, 15, 2, 3mat2pmatbas 19674 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
171, 16syl3an2 1298 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
18173ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( T `  M
)  e.  ( Base `  Y ) )
19 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
208, 19mgpbas 17657 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  (mulGrp `  Y
) )
21 cayhamlem1.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
2220, 21mulgnn0cl 16718 . . 3  |-  ( ( (mulGrp `  Y )  e.  Mnd  /\  K  e. 
NN0  /\  ( T `  M )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( K  .^  ( T `  M
) )  e.  (
Base `  Y )
)
2311, 12, 18, 22syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( K  .^  ( T `  M )
)  e.  ( Base `  Y ) )
24 cayhamlem1.r . . . . . 6  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
25 cayhamlem1.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  Y )
26 cayhamlem1.0 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
27 cayhamlem1.g . . . . . 6  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
2814, 15, 2, 3, 24, 25, 26, 13, 27chfacfisf 19802 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G : NN0 --> (
Base `  Y )
)
291, 28syl3anl2 1313 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G : NN0 --> (
Base `  Y )
)
30293adant3 1025 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  G : NN0 --> ( Base `  Y ) )
3130, 12ffvelrnd 6029 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( G `  K
)  e.  ( Base `  Y ) )
3219, 24ringcl 17722 . 2  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( K  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( G `  K )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( K  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  K ) )  e.  ( Base `  Y ) )
337, 23, 31, 32syl3anc 1264 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( K  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  K ) )  e.  ( Base `  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   ifcif 3906   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    ^m cmap 7471   Fincfn 7568   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531    < clt 9664    - cmin 9849   NNcn 10598   NN0cn0 10858   ...cfz 11771   Basecbs 15073   .rcmulr 15143   0gc0g 15290   Mndcmnd 16479   -gcsg 16615  .gcmg 16616  mulGrpcmgp 17651   Ringcrg 17708   CRingccrg 17709  Poly1cpl1 18698   Mat cmat 19356   matToPolyMat cmat2pmat 19652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-ot 4002  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-hom 15166  df-cco 15167  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-prds 15298  df-pws 15300  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-mhm 16526  df-submnd 16527  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-sbg 16619  df-mulg 16620  df-subg 16758  df-ghm 16825  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-abl 17361  df-mgp 17652  df-ur 17664  df-ring 17710  df-cring 17711  df-subrg 17934  df-lmod 18021  df-lss 18084  df-sra 18323  df-rgmod 18324  df-ascl 18466  df-psr 18508  df-mpl 18510  df-opsr 18512  df-psr1 18701  df-ply1 18703  df-dsmm 19219  df-frlm 19234  df-mamu 19333  df-mat 19357  df-mat2pmat 19655
This theorem is referenced by:  chfacfpmmulgsum  19812
  Copyright terms: Public domain W3C validator