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Theorem chfacfpmmul0 19232
Description: The value of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is zero almost always. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
cayhamlem1.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
cayhamlem1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cayhamlem1.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
cayhamlem1.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
cayhamlem1.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
cayhamlem1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
cayhamlem1.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
cayhamlem1.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
cayhamlem1.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
Assertion
Ref Expression
chfacfpmmul0  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) ) )  -> 
( ( K  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  K ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s    n, K    .0. , n
Allowed substitution hints:    A( n, s, b)    B( s, b)    P( n, s, b)    R( s, b)    T( n, s, b)    .X. ( n, s, b)    .^ ( n, s, b)    G( n, s, b)    K( s, b)    M( s, b)    .- ( n, s, b)    N( s, b)    Y( s, b)    .0. ( s, b)

Proof of Theorem chfacfpmmul0
StepHypRef Expression
1 eluz2 11100 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  (
s  +  2 ) )  <->  ( ( s  +  2 )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  ( s  +  2 )  <_  K ) )
2 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  /\  ( s  +  2 )  <_  K
)  ->  K  e.  ZZ )
3 nngt0 10577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  NN  ->  0  <  s )
4 nnre 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  RR )
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  s  e.  RR )
6 2rp 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  RR+
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  2  e.  RR+ )
85, 7ltaddrpd 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  s  <  ( s  +  2 ) )
9 0red 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
10 2re 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  RR
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
125, 11readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( s  +  2 )  e.  RR )
13 lttr 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  (
s  +  2 )  e.  RR )  -> 
( ( 0  < 
s  /\  s  <  ( s  +  2 ) )  ->  0  <  ( s  +  2 ) ) )
149, 5, 12, 13syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( 0  < 
s  /\  s  <  ( s  +  2 ) )  ->  0  <  ( s  +  2 ) ) )
158, 14mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( 0  <  s  ->  0  <  ( s  +  2 ) ) )
1615ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
s  e.  NN  ->  ( 0  <  s  -> 
0  <  ( s  +  2 ) ) ) )
1716com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <  s  ->  (
s  e.  NN  ->  ( K  e.  ZZ  ->  0  <  ( s  +  2 ) ) ) )
183, 17mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  NN  ->  ( K  e.  ZZ  ->  0  <  ( s  +  2 ) ) )
1918impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  0  <  ( s  +  2 ) )
20 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
22 ltleletr 9689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( s  +  2 )  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
( s  +  2 )  /\  ( s  +  2 )  <_  K )  ->  0  <_  K ) )
239, 12, 21, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( 0  < 
( s  +  2 )  /\  ( s  +  2 )  <_  K )  ->  0  <_  K ) )
2419, 23mpand 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( s  +  2 )  <_  K  ->  0  <_  K )
)
2524imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  /\  ( s  +  2 )  <_  K
)  ->  0  <_  K )
26 elnn0z 10889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
272, 25, 26sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  /\  ( s  +  2 )  <_  K
)  ->  K  e.  NN0 )
28 nncn 10556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  CC )
29 add1p1 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( s  +  1 )  +  1 )  =  ( s  +  2 ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  NN  ->  (
( s  +  1 )  +  1 )  =  ( s  +  2 ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( s  +  1 )  +  1 )  =  ( s  +  2 ) )
3231eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( s  +  2 )  =  ( ( s  +  1 )  +  1 ) )
3332breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( s  +  2 )  <_  K  <->  ( ( s  +  1 )  +  1 )  <_  K ) )
34 nnz 10898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ZZ )
3534peano2zd 10981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  ZZ )
3635anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( s  +  1 )  e.  ZZ ) )
3736ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( s  +  1 )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )
38 zltp1le 10924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  +  1 )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( s  +  1 )  <  K  <->  ( ( s  +  1 )  +  1 )  <_  K ) )
3938bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  +  1 )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( s  +  1 )  +  1 )  <_  K  <->  ( s  +  1 )  <  K ) )
4037, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( ( s  +  1 )  +  1 )  <_  K  <->  ( s  +  1 )  <  K ) )
4133, 40bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( s  +  2 )  <_  K  <->  ( s  +  1 )  <  K ) )
4241biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  /\  ( s  +  2 )  <_  K
)  ->  ( s  +  1 )  < 
K )
4327, 42jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  /\  ( s  +  2 )  <_  K
)  ->  ( K  e.  NN0  /\  ( s  +  1 )  < 
K ) )
4443ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( s  +  2 )  <_  K  ->  ( K  e.  NN0  /\  ( s  +  1 )  <  K ) ) )
4544impancom 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( s  +  2 )  <_  K )  ->  ( s  e.  NN  ->  ( K  e.  NN0  /\  ( s  +  1 )  <  K ) ) )
46453adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  +  2 )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  (
s  +  2 )  <_  K )  -> 
( s  e.  NN  ->  ( K  e.  NN0  /\  ( s  +  1 )  <  K ) ) )
4746com12 31 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN  ->  (
( ( s  +  2 )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  ( s  +  2 )  <_  K )  ->  ( K  e.  NN0  /\  ( s  +  1 )  <  K ) ) )
481, 47syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( s  e.  NN  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) )  ->  ( K  e.  NN0  /\  (
s  +  1 )  <  K ) ) )
4948adantr 465 . . . 4  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( K  e.  (
ZZ>= `  ( s  +  2 ) )  -> 
( K  e.  NN0  /\  ( s  +  1 )  <  K ) ) )
5049adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) )  ->  ( K  e. 
NN0  /\  ( s  +  1 )  < 
K ) ) )
51 cayhamlem1.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) ) )
53 0red 9609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  0  e.  RR )
54 peano2re 9764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
554, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( s  +  1 )  e.  RR )
5756adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  RR )
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  ( s  +  1 )  e.  RR )
59 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
6059ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  K  e.  RR )
61 nnnn0 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  NN0 )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
s  e.  NN0 )
6362ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  s  e.  NN0 )
64 nn0p1gt0 10837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  NN0  ->  0  < 
( s  +  1 ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  0  <  ( s  +  1 ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  0  <  ( s  +  1 ) )
67 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  ( s  +  1 )  < 
K )
6853, 58, 60, 66, 67lttrd 9754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  0  <  K )
6968gt0ne0d 10129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  K  =/=  0 )
7069neneqd 2669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  -.  K  =  0 )
7170adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  -.  K  =  0 )
72 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  K  ->  (
n  =  0  <->  K  =  0 ) )
7372notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  K  ->  ( -.  n  =  0  <->  -.  K  =  0 ) )
7473adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  ( -.  n  =  0  <->  -.  K  =  0 ) )
7571, 74mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  -.  n  =  0 )
76 iffalse 3954 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  =  0  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  (
b `  s )
) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `
 ( b `  s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  < 
n ,  .0.  , 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )
7856ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
79 ltne 9693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  +  1 )  e.  RR  /\  ( s  +  1 )  <  K )  ->  K  =/=  (
s  +  1 ) )
8078, 79sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  K  =/=  ( s  +  1 ) )
8180neneqd 2669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  -.  K  =  ( s  +  1 ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  -.  K  =  ( s  +  1 ) )
83 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  K  ->  (
n  =  ( s  +  1 )  <->  K  =  ( s  +  1 ) ) )
8483notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  K  ->  ( -.  n  =  (
s  +  1 )  <->  -.  K  =  (
s  +  1 ) ) )
8584adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  ( -.  n  =  (
s  +  1 )  <->  -.  K  =  (
s  +  1 ) ) )
8682, 85mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  -.  n  =  ( s  +  1 ) )
87 iffalse 3954 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  =  ( s  +  1 )  ->  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) )  =  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) )
8886, 87syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) )  =  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) )
89 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  (
s  +  1 )  <  K )
90 breq2 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  K  ->  (
( s  +  1 )  <  n  <->  ( s  +  1 )  < 
K ) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  (
( s  +  1 )  <  n  <->  ( s  +  1 )  < 
K ) )
9289, 91mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  (
s  +  1 )  <  n )
93 iftrue 3951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  +  1 )  <  n  ->  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) )  =  .0.  )
9492, 93syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) )  =  .0.  )
9577, 88, 943eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  /\  n  =  K )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  .0.  )
96 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  K  e.  NN0 )
97 cayhamlem1.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
98 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  Y )  e. 
_V
9997, 98eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  .0.  e.  _V
10099a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  .0.  e.  _V )
10152, 95, 96, 100fvmptd 5962 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  ( G `  K )  =  .0.  )
102101oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  ( ( K  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  K ) )  =  ( ( K  .^  ( T `  M ) )  .X.  .0.  ) )
103 crngring 17081 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
104 cayhamlem1.p . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  (Poly1 `  R )
105 cayhamlem1.y . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  ( N Mat  P )
106104, 105pmatring 19063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
107103, 106sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  Ring )
1081073adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
109108adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
110109ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  Y  e.  Ring )
111 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
112111ringmgp 17076 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
113108, 112syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
114113ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
115 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  NN0 )
116 cayhamlem1.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
117 cayhamlem1.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( N Mat  R )
118 cayhamlem1.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  A
)
119116, 117, 118, 104, 105mat2pmatbas 19096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
120103, 119syl3an2 1262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
121120ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
122 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
123111, 122mgpbas 17019 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  (mulGrp `  Y
) )
124 cayhamlem1.e . . . . . . . . 9  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Y )
)
125123, 124mulgnn0cl 16030 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  Y )  e.  Mnd  /\  K  e. 
NN0  /\  ( T `  M )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( K  .^  ( T `  M
) )  e.  (
Base `  Y )
)
126114, 115, 121, 125syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( K  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
) )
127126adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  ( K  .^  ( T `  M
) )  e.  (
Base `  Y )
)
128 cayhamlem1.r . . . . . . 7  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
129122, 128, 97ringrz 17108 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( K  .^  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( K  .^  ( T `  M )
)  .X.  .0.  )  =  .0.  )
130110, 127, 129syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  ( ( K  .^  ( T `  M ) )  .X.  .0.  )  =  .0.  )
131102, 130eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  K
)  ->  ( ( K  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  K ) )  =  .0.  )
132131expl 618 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  (
s  +  1 )  <  K )  -> 
( ( K  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  K ) )  =  .0.  ) )
13350, 132syld 44 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( K  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) )  ->  ( ( K 
.^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  K ) )  =  .0.  )
)
1341333impia 1193 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( s  +  2 ) ) )  -> 
( ( K  .^  ( T `  M ) )  .X.  ( G `  K ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3118   ifcif 3945   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   RR+crp 11232   ...cfz 11684   Basecbs 14507   .rcmulr 14573   0gc0g 14712   Mndcmnd 15793   -gcsg 15927  .gcmg 15928  mulGrpcmgp 17013   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071  Poly1cpl1 18086   Mat cmat 18778   matToPolyMat cmat2pmat 19074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-ascl 17833  df-psr 17875  df-mpl 17877  df-opsr 17879  df-psr1 18089  df-ply1 18091  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mamu 18755  df-mat 18779  df-mat2pmat 19077
This theorem is referenced by:  chfacfpmmulfsupp  19233  chfacfpmmulgsum  19234
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