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Theorem chfacfisf 19809
Description: The "characteristic factor function" is a function from the nonnegative integers to polynomial matrices. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
chfacfisf.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
chfacfisf.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
chfacfisf.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
chfacfisf.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
chfacfisf.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
chfacfisf.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
chfacfisf.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
chfacfisf.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
chfacfisf  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G : NN0 --> (
Base `  Y )
)
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s
Allowed substitution hints:    A( n, s, b)    B( s, b)    P( n, s, b)    R( s, b)    T( n, s, b)    .X. ( n, s, b)    G( n, s, b)    M( s, b)    .- ( n, s, b)    N( s, b)    Y( s, b)    .0. ( n, s, b)

Proof of Theorem chfacfisf
StepHypRef Expression
1 chfacfisf.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 chfacfisf.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( N Mat  P )
31, 2pmatring 19648 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
433adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
5 ringgrp 17720 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Grp )
76adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
8 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
9 chfacfisf.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
108, 9ring0cl 17737 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  Y )
)
114, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  .0.  e.  ( Base `  Y
) )
1211adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  .0.  e.  ( Base `  Y ) )
134adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
14 chfacfisf.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
15 chfacfisf.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( N Mat  R )
16 chfacfisf.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  A
)
1714, 15, 16, 1, 2mat2pmatbas 19681 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
1817adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  M )  e.  (
Base `  Y )
)
19 3simpa 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
20 elmapi 7501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
2120adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
b : ( 0 ... s ) --> B )
22 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  NN0 )
23 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2422, 23syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
25 eluzfz1 11804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... s
) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  NN  ->  0  e.  ( 0 ... s
) )
2726adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
0  e.  ( 0 ... s ) )
2821, 27ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( b `  0
)  e.  B )
2919, 28anim12i 568 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
b `  0 )  e.  B ) )
30 df-3an 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  0 )  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
b `  0 )  e.  B ) )
3129, 30sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( b `  0
)  e.  B ) )
3214, 15, 16, 1, 2mat2pmatbas 19681 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  0 )  e.  B )  ->  ( T `  ( b `  0 ) )  e.  ( Base `  Y
) )
3331, 32syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  0
) )  e.  (
Base `  Y )
)
34 chfacfisf.r . . . . . . 7  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
358, 34ringcl 17729 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  0
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) )  e.  (
Base `  Y )
)
3613, 18, 33, 35syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 0 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
37 chfacfisf.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  Y )
388, 37grpsubcl 16685 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  e.  (
Base `  Y )
)
397, 12, 36, 38syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  e.  (
Base `  Y )
)
4039ad2antrr 730 . . 3  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  =  0 )  ->  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  e.  (
Base `  Y )
)
4122adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
s  e.  NN0 )
4219, 41anim12i 568 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  s  e.  NN0 ) )
43 df-3an 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  s  e.  NN0 ) )
4442, 43sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 ) )
45 eluzfz2 11805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  s  e.  ( 0 ... s
) )
4624, 45syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ( 0 ... s
) )
4746anim1i 570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( s  e.  ( 0 ... s )  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) ) ) )
4847ancomd 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) )  /\  s  e.  ( 0 ... s ) ) )
4948adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) )  /\  s  e.  ( 0 ... s ) ) )
5015, 16, 1, 2, 14m2pmfzmap 19702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) )  /\  s  e.  ( 0 ... s ) ) )  ->  ( T `  ( b `  s
) )  e.  (
Base `  Y )
)
5144, 49, 50syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  s
) )  e.  (
Base `  Y )
)
5251adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( T `  ( b `  s ) )  e.  ( Base `  Y
) )
5352ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  =  ( s  +  1 ) )  -> 
( T `  (
b `  s )
)  e.  ( Base `  Y ) )
5412ad4antr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  ( s  +  1 )  <  n
)  ->  .0.  e.  ( Base `  Y )
)
55 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
5655adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  RR )
57 peano2nn 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  NN )
5857nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
5958adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( s  +  1 )  e.  RR )
6056, 59lenltd 9780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  <_  (
s  +  1 )  <->  -.  ( s  +  1 )  <  n ) )
61 nesym 2703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  +  1 )  =/=  n  <->  -.  n  =  ( s  +  1 ) )
62 ltlen 9734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( s  +  1 )  e.  RR )  ->  ( n  < 
( s  +  1 )  <->  ( n  <_ 
( s  +  1 )  /\  ( s  +  1 )  =/=  n ) ) )
6355, 58, 62syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  <  (
s  +  1 )  <-> 
( n  <_  (
s  +  1 )  /\  ( s  +  1 )  =/=  n
) ) )
6463biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( n  <_ 
( s  +  1 )  /\  ( s  +  1 )  =/=  n )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) )
6564expcomd 439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( s  +  1 )  =/=  n  ->  ( n  <_  (
s  +  1 )  ->  n  <  (
s  +  1 ) ) ) )
6661, 65syl5bir 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( -.  n  =  ( s  +  1 )  ->  ( n  <_  ( s  +  1 )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) ) )
6766com23 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  <_  (
s  +  1 )  ->  ( -.  n  =  ( s  +  1 )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) ) )
6860, 67sylbird 238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( -.  ( s  +  1 )  < 
n  ->  ( -.  n  =  ( s  +  1 )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) ) )
6968com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( -.  n  =  ( s  +  1 )  ->  ( -.  ( s  +  1 )  <  n  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) ) )
7069impd 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( -.  n  =  ( s  +  1 )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  n  <  (
s  +  1 ) ) )
7170ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  NN  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( ( -.  n  =  ( s  +  1 )  /\  -.  (
s  +  1 )  <  n )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) ) )
7271ad2antrl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( n  e. 
NN0  ->  ( ( -.  n  =  ( s  +  1 )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  n  <  (
s  +  1 ) ) ) )
7372imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -.  n  =  ( s  +  1 )  /\  -.  (
s  +  1 )  <  n )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) )
7473adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  ->  (
( -.  n  =  ( s  +  1 )  /\  -.  (
s  +  1 )  <  n )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) )
753, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Grp )
76753adant3 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Grp )
7776ad4antr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  Y  e.  Grp )
7819ad4antr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
7921ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
80 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  0  ->  n  =  0 )
8180necon3bi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  n  =  0  ->  n  =/=  0 )
8281anim2i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  -.  n  =  0
)  ->  ( n  e.  NN0  /\  n  =/=  0 ) )
83 elnnne0 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  <->  ( n  e.  NN0  /\  n  =/=  0 ) )
8482, 83sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  -.  n  =  0
)  ->  n  e.  NN )
85 nnm1nn0 10911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  -.  n  =  0
)  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
8786adantll 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8887adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8941ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  s  e.  NN0 )
9063simprbda 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  n  <_  (
s  +  1 ) )
9156adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  n  e.  RR )
92 1red 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
93 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  RR )
9493ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  s  e.  RR )
9591, 92, 94lesubaddd 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  ( ( n  -  1 )  <_ 
s  <->  n  <_  ( s  +  1 ) ) )
9690, 95mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  ( n  - 
1 )  <_  s
)
9796exp31 607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( n  <  ( s  +  1 )  -> 
( n  -  1 )  <_  s )
) )
9897ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( n  e. 
NN0  ->  ( n  < 
( s  +  1 )  ->  ( n  -  1 )  <_ 
s ) ) )
9998imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
n  <  ( s  +  1 )  -> 
( n  -  1 )  <_  s )
)
10099adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  ->  (
n  <  ( s  +  1 )  -> 
( n  -  1 )  <_  s )
)
101100imp 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  (
n  -  1 )  <_  s )
102 elfz2nn0 11883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ( 0 ... s )  <->  ( (
n  -  1 )  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  ( n  -  1 )  <_ 
s ) )
10388, 89, 101, 102syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  (
n  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) )
10479, 103ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  (
b `  ( n  -  1 ) )  e.  B )
105 df-3an 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  ( n  -  1 ) )  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
b `  ( n  -  1 ) )  e.  B ) )
10678, 104, 105sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( b `  ( n  -  1 ) )  e.  B
) )
10714, 15, 16, 1, 2mat2pmatbas 19681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  ( n  -  1 ) )  e.  B )  -> 
( T `  (
b `  ( n  -  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
108106, 107syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  ( T `  ( b `  ( n  -  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
10913ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  Y  e.  Ring )
11018ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  ( T `  M )  e.  (
Base `  Y )
)
11144ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  s  e.  NN0 ) )
112 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) ) )
113112ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) )
114 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
11522ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  s  e.  NN0 )
116 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
117 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ZZ )
118 zleltp1 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  s  <->  n  <  ( s  +  1 ) ) )
119116, 117, 118syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  <_  s  <->  n  <  ( s  +  1 ) ) )
120119biimpar 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  n  <_  s
)
121 elfz2nn0 11883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 0 ... s )  <->  ( n  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  n  <_  s ) )
122114, 115, 120, 121syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  n  e.  ( 0 ... s ) )
123122exp31 607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  NN  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( n  <  ( s  +  1 )  ->  n  e.  ( 0 ... s ) ) ) )
124123ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( n  e. 
NN0  ->  ( n  < 
( s  +  1 )  ->  n  e.  ( 0 ... s
) ) ) )
125124imp31 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  n  e.  ( 0 ... s
) )
12615, 16, 1, 2, 14m2pmfzmap 19702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) )  /\  n  e.  ( 0 ... s ) ) )  ->  ( T `  ( b `  n
) )  e.  (
Base `  Y )
)
127111, 113, 125, 126syl12anc 1262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  ( T `  ( b `  n
) )  e.  (
Base `  Y )
)
1288, 34ringcl 17729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  n
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  n )
) )  e.  (
Base `  Y )
)
129109, 110, 127, 128syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  n )
) )  e.  (
Base `  Y )
)
130129adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
1318, 37grpsubcl 16685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  n )
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( T `  ( b `  ( n  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  n ) ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
13277, 108, 130, 131syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  (
( T `  (
b `  ( n  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
133132ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  ->  (
n  <  ( s  +  1 )  -> 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) ) )
13474, 133syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  ->  (
( -.  n  =  ( s  +  1 )  /\  -.  (
s  +  1 )  <  n )  -> 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) ) )
135134impl 624 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  < 
n )  ->  (
( T `  (
b `  ( n  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
13654, 135ifclda 3947 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  ->  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
13753, 136ifclda 3947 . . 3  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  ->  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
13840, 137ifclda 3947 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
139 chfacfisf.g . 2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
140138, 139fmptd 6061 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G : NN0 --> (
Base `  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   Basecbs 15084   .rcmulr 15153   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620   -gcsg 16622   Ringcrg 17715  Poly1cpl1 18705   Mat cmat 19363   matToPolyMat cmat2pmat 19659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-ascl 18473  df-psr 18515  df-mpl 18517  df-opsr 18519  df-psr1 18708  df-ply1 18710  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-mamu 19340  df-mat 19364  df-mat2pmat 19662
This theorem is referenced by:  chfacfscmulcl  19812  chfacfscmulgsum  19815  chfacfpmmulcl  19816  chfacfpmmulgsum  19819
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