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Theorem chfacfisf 19877
Description: The "characteristic factor function" is a function from the nonnegative integers to polynomial matrices. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
chfacfisf.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
chfacfisf.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
chfacfisf.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
chfacfisf.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
chfacfisf.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
chfacfisf.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
chfacfisf.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
chfacfisf.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
chfacfisf  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G : NN0 --> (
Base `  Y )
)
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s
Allowed substitution hints:    A( n, s, b)    B( s, b)    P( n, s, b)    R( s, b)    T( n, s, b)    .X. ( n, s, b)    G( n, s, b)    M( s, b)    .- ( n, s, b)    N( s, b)    Y( s, b)    .0. ( n, s, b)

Proof of Theorem chfacfisf
StepHypRef Expression
1 chfacfisf.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 chfacfisf.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( N Mat  P )
31, 2pmatring 19716 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
433adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
5 ringgrp 17785 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Grp )
76adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
8 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
9 chfacfisf.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
108, 9ring0cl 17802 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  Y )
)
114, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  .0.  e.  ( Base `  Y
) )
1211adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  .0.  e.  ( Base `  Y ) )
134adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
14 chfacfisf.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
15 chfacfisf.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( N Mat  R )
16 chfacfisf.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  A
)
1714, 15, 16, 1, 2mat2pmatbas 19749 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
1817adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  M )  e.  (
Base `  Y )
)
19 3simpa 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
20 elmapi 7505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
2120adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
b : ( 0 ... s ) --> B )
22 nnnn0 10884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  NN0 )
23 nn0uz 11201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2422, 23syl6eleq 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
25 eluzfz1 11814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... s
) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  NN  ->  0  e.  ( 0 ... s
) )
2726adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
0  e.  ( 0 ... s ) )
2821, 27ffvelrnd 6039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( b `  0
)  e.  B )
2919, 28anim12i 568 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
b `  0 )  e.  B ) )
30 df-3an 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  0 )  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
b `  0 )  e.  B ) )
3129, 30sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( b `  0
)  e.  B ) )
3214, 15, 16, 1, 2mat2pmatbas 19749 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  0 )  e.  B )  ->  ( T `  ( b `  0 ) )  e.  ( Base `  Y
) )
3331, 32syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  0
) )  e.  (
Base `  Y )
)
34 chfacfisf.r . . . . . . 7  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
358, 34ringcl 17794 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  0
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) )  e.  (
Base `  Y )
)
3613, 18, 33, 35syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 0 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
37 chfacfisf.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  Y )
388, 37grpsubcl 16734 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  e.  (
Base `  Y )
)
397, 12, 36, 38syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  e.  (
Base `  Y )
)
4039ad2antrr 730 . . 3  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  =  0 )  ->  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  e.  (
Base `  Y )
)
4122adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
s  e.  NN0 )
4219, 41anim12i 568 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  s  e.  NN0 ) )
43 df-3an 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  s  e.  NN0 ) )
4442, 43sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 ) )
45 eluzfz2 11815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  s  e.  ( 0 ... s
) )
4624, 45syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ( 0 ... s
) )
4746anim1i 570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( s  e.  ( 0 ... s )  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) ) ) )
4847ancomd 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) )  /\  s  e.  ( 0 ... s ) ) )
4948adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) )  /\  s  e.  ( 0 ... s ) ) )
5015, 16, 1, 2, 14m2pmfzmap 19770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) )  /\  s  e.  ( 0 ... s ) ) )  ->  ( T `  ( b `  s
) )  e.  (
Base `  Y )
)
5144, 49, 50syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  ( b `  s
) )  e.  (
Base `  Y )
)
5251adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( T `  ( b `  s ) )  e.  ( Base `  Y
) )
5352ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  =  ( s  +  1 ) )  -> 
( T `  (
b `  s )
)  e.  ( Base `  Y ) )
5412ad4antr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  ( s  +  1 )  <  n
)  ->  .0.  e.  ( Base `  Y )
)
55 nn0re 10886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
5655adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  RR )
57 peano2nn 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  NN )
5857nnred 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
5958adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( s  +  1 )  e.  RR )
6056, 59lenltd 9789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  <_  (
s  +  1 )  <->  -.  ( s  +  1 )  <  n ) )
61 nesym 2692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  +  1 )  =/=  n  <->  -.  n  =  ( s  +  1 ) )
62 ltlen 9743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( s  +  1 )  e.  RR )  ->  ( n  < 
( s  +  1 )  <->  ( n  <_ 
( s  +  1 )  /\  ( s  +  1 )  =/=  n ) ) )
6355, 58, 62syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  <  (
s  +  1 )  <-> 
( n  <_  (
s  +  1 )  /\  ( s  +  1 )  =/=  n
) ) )
6463biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( n  <_ 
( s  +  1 )  /\  ( s  +  1 )  =/=  n )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) )
6564expcomd 439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( s  +  1 )  =/=  n  ->  ( n  <_  (
s  +  1 )  ->  n  <  (
s  +  1 ) ) ) )
6661, 65syl5bir 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( -.  n  =  ( s  +  1 )  ->  ( n  <_  ( s  +  1 )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) ) )
6766com23 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  <_  (
s  +  1 )  ->  ( -.  n  =  ( s  +  1 )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) ) )
6860, 67sylbird 238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( -.  ( s  +  1 )  < 
n  ->  ( -.  n  =  ( s  +  1 )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) ) )
6968com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( -.  n  =  ( s  +  1 )  ->  ( -.  ( s  +  1 )  <  n  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) ) )
7069impd 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( -.  n  =  ( s  +  1 )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  n  <  (
s  +  1 ) ) )
7170ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  NN  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( ( -.  n  =  ( s  +  1 )  /\  -.  (
s  +  1 )  <  n )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) ) )
7271ad2antrl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( n  e. 
NN0  ->  ( ( -.  n  =  ( s  +  1 )  /\  -.  ( s  +  1 )  <  n )  ->  n  <  (
s  +  1 ) ) ) )
7372imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -.  n  =  ( s  +  1 )  /\  -.  (
s  +  1 )  <  n )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) )
7473adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  ->  (
( -.  n  =  ( s  +  1 )  /\  -.  (
s  +  1 )  <  n )  ->  n  <  ( s  +  1 ) ) )
753, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Grp )
76753adant3 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Grp )
7776ad4antr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  Y  e.  Grp )
7819ad4antr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
7921ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  b : ( 0 ... s ) --> B )
80 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  0  ->  n  =  0 )
8180necon3bi 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  n  =  0  ->  n  =/=  0 )
8281anim2i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  -.  n  =  0
)  ->  ( n  e.  NN0  /\  n  =/=  0 ) )
83 elnnne0 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  <->  ( n  e.  NN0  /\  n  =/=  0 ) )
8482, 83sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  -.  n  =  0
)  ->  n  e.  NN )
85 nnm1nn0 10919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  -.  n  =  0
)  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
8786adantll 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8887adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8941ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  s  e.  NN0 )
9063simprbda 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  n  <_  (
s  +  1 ) )
9156adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  n  e.  RR )
92 1red 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
93 nnre 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  RR )
9493ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  s  e.  RR )
9591, 92, 94lesubaddd 10218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  ( ( n  -  1 )  <_ 
s  <->  n  <_  ( s  +  1 ) ) )
9690, 95mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  ( n  - 
1 )  <_  s
)
9796exp31 607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( n  <  ( s  +  1 )  -> 
( n  -  1 )  <_  s )
) )
9897ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( n  e. 
NN0  ->  ( n  < 
( s  +  1 )  ->  ( n  -  1 )  <_ 
s ) ) )
9998imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
n  <  ( s  +  1 )  -> 
( n  -  1 )  <_  s )
)
10099adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  ->  (
n  <  ( s  +  1 )  -> 
( n  -  1 )  <_  s )
)
101100imp 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  (
n  -  1 )  <_  s )
102 elfz2nn0 11893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ( 0 ... s )  <->  ( (
n  -  1 )  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  ( n  -  1 )  <_ 
s ) )
10388, 89, 101, 102syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  (
n  -  1 )  e.  ( 0 ... s ) )
10479, 103ffvelrnd 6039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  (
b `  ( n  -  1 ) )  e.  B )
105 df-3an 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  ( n  -  1 ) )  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
b `  ( n  -  1 ) )  e.  B ) )
10678, 104, 105sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( b `  ( n  -  1 ) )  e.  B
) )
10714, 15, 16, 1, 2mat2pmatbas 19749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
b `  ( n  -  1 ) )  e.  B )  -> 
( T `  (
b `  ( n  -  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
108106, 107syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  ( T `  ( b `  ( n  -  1 ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
10913ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  Y  e.  Ring )
11018ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  ( T `  M )  e.  (
Base `  Y )
)
11144ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  s  e.  NN0 ) )
112 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) ) )
113112ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) )
114 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
11522ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  s  e.  NN0 )
116 nn0z 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
117 nnz 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ZZ )
118 zleltp1 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  s  <->  n  <  ( s  +  1 ) ) )
119116, 117, 118syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( n  <_  s  <->  n  <  ( s  +  1 ) ) )
120119biimpar 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  n  <_  s
)
121 elfz2nn0 11893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 0 ... s )  <->  ( n  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  n  <_  s ) )
122114, 115, 120, 121syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  n  e.  ( 0 ... s ) )
123122exp31 607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  NN  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( n  <  ( s  +  1 )  ->  n  e.  ( 0 ... s ) ) ) )
124123ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( n  e. 
NN0  ->  ( n  < 
( s  +  1 )  ->  n  e.  ( 0 ... s
) ) ) )
125124imp31 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  n  e.  ( 0 ... s
) )
12615, 16, 1, 2, 14m2pmfzmap 19770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) )  /\  n  e.  ( 0 ... s ) ) )  ->  ( T `  ( b `  n
) )  e.  (
Base `  Y )
)
127111, 113, 125, 126syl12anc 1262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  ( T `  ( b `  n
) )  e.  (
Base `  Y )
)
1288, 34ringcl 17794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( T `  ( b `  n
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  n )
) )  e.  (
Base `  Y )
)
129109, 110, 127, 128syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  <  (
s  +  1 ) )  ->  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  n )
) )  e.  (
Base `  Y )
)
130129adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
1318, 37grpsubcl 16734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  n )
) )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( ( T `  ( b `  ( n  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  n ) ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
13277, 108, 130, 131syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  n  <  ( s  +  1 ) )  ->  (
( T `  (
b `  ( n  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
133132ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  ->  (
n  <  ( s  +  1 )  -> 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) ) )
13474, 133syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  ->  (
( -.  n  =  ( s  +  1 )  /\  -.  (
s  +  1 )  <  n )  -> 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) ) )
135134impl 624 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  /\  -.  ( s  +  1 )  < 
n )  ->  (
( T `  (
b `  ( n  -  1 ) ) )  .-  ( ( T `  M ) 
.X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
13654, 135ifclda 3943 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  /\  -.  n  =  ( s  +  1 ) )  ->  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) )  e.  ( Base `  Y ) )
13753, 136ifclda 3943 . . 3  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  -.  n  =  0 )  ->  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
13840, 137ifclda 3943 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
139 chfacfisf.g . 2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
140138, 139fmptd 6062 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G : NN0 --> (
Base `  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   ifcif 3911   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    ^m cmap 7484   Fincfn 7581   RRcr 9546   0cc0 9547   1c1 9548    + caddc 9550    < clt 9683    <_ cle 9684    - cmin 9868   NNcn 10617   NN0cn0 10877   ZZcz 10945   ZZ>=cuz 11167   ...cfz 11792   Basecbs 15121   .rcmulr 15191   0gc0g 15338   Grpcgrp 16669   -gcsg 16671   Ringcrg 17780  Poly1cpl1 18770   Mat cmat 19431   matToPolyMat cmat2pmat 19727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-ot 4007  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-ofr 6547  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-ixp 7535  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-sup 7966  df-oi 8035  df-card 8382  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-ascl 18538  df-psr 18580  df-mpl 18582  df-opsr 18584  df-psr1 18773  df-ply1 18775  df-dsmm 19294  df-frlm 19309  df-mamu 19408  df-mat 19432  df-mat2pmat 19730
This theorem is referenced by:  chfacfscmulcl  19880  chfacfscmulgsum  19883  chfacfpmmulcl  19884  chfacfpmmulgsum  19887
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