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Theorem chfacffsupp 19117
Description: The "characteristic factor function" is finitely supported. (Contributed by AV, 20-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
chfacfisf.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
chfacfisf.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
chfacfisf.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
chfacfisf.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
chfacfisf.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
chfacfisf.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
chfacfisf.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
chfacfisf.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
chfacffsupp  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  Y ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s
Allowed substitution hints:    A( n, s, b)    B( s, b)    P( n, s, b)    R( s, b)    T( n, s, b)    .X. ( n, s, b)    G( n, s, b)    M( s, b)    .- ( n, s, b)    N( s, b)    Y( s, b)    .0. ( n, s, b)

Proof of Theorem chfacffsupp
Dummy variables  k 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chfacfisf.g . 2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
2 fvex 5867 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  e. 
_V
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 0g `  Y )  e.  _V )
4 ovex 6300 . . . . 5  |-  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  e.  _V
5 fvex 5867 . . . . . 6  |-  ( T `
 ( b `  s ) )  e. 
_V
6 chfacfisf.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
76, 2eqeltri 2544 . . . . . . 7  |-  .0.  e.  _V
8 ovex 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) )  e.  _V
97, 8ifex 4001 . . . . . 6  |-  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) )  e. 
_V
105, 9ifex 4001 . . . . 5  |-  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  (
b `  s )
) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) )  e.  _V
114, 10ifex 4001 . . . 4  |-  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  e. 
_V
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  e. 
_V )
13 nnnn0 10791 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  NN0 )
14 peano2nn0 10825 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( s  +  1 )  e. 
NN0 )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  NN0 )
1615ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  NN0 )
17 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  k  e.  NN0 )
18 0red 9586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  0  e.  RR )
19 nnre 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  RR )
20 peano2re 9741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( s  +  1 )  e.  RR )
2322ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  ( s  +  1 )  e.  RR )
24 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
2524ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  k  e.  RR )
2613adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
s  e.  NN0 )
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  s  e.  NN0 )
28 nn0p1gt0 10814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  NN0  ->  0  < 
( s  +  1 ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( s  +  1 ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  0  <  ( s  +  1 ) )
31 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  ( s  +  1 )  < 
k )
3218, 23, 25, 30, 31lttrd 9731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  0  <  k )
3332gt0ne0d 10106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  k  =/=  0 )
3433neneqd 2662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  -.  k  =  0 )
3534adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  -.  k  =  0 )
36 eqeq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
n  =  0  <->  k  =  0 ) )
3736notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( -.  n  =  0  <->  -.  k  =  0 ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  ( -.  n  =  0  <->  -.  k  =  0 ) )
3935, 38mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  -.  n  =  0 )
4039iffalsed 3943 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `
 ( b `  s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  < 
n ,  .0.  , 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )
4122ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
42 ltne 9670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  +  1 )  e.  RR  /\  ( s  +  1 )  <  k )  ->  k  =/=  (
s  +  1 ) )
4341, 42sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  k  =/=  ( s  +  1 ) )
4443neneqd 2662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  -.  k  =  ( s  +  1 ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  -.  k  =  ( s  +  1 ) )
46 eqeq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
n  =  ( s  +  1 )  <->  k  =  ( s  +  1 ) ) )
4746notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( -.  n  =  (
s  +  1 )  <->  -.  k  =  (
s  +  1 ) ) )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  ( -.  n  =  (
s  +  1 )  <->  -.  k  =  (
s  +  1 ) ) )
4945, 48mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  -.  n  =  ( s  +  1 ) )
5049iffalsed 3943 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) )  =  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) )
51 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  (
s  +  1 )  <  k )
52 breq2 4444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( s  +  1 )  <  n  <->  ( s  +  1 )  < 
k ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  (
( s  +  1 )  <  n  <->  ( s  +  1 )  < 
k ) )
5451, 53mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  (
s  +  1 )  <  n )
5554iftrued 3940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) )  =  .0.  )
5655, 6syl6eq 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) )  =  ( 0g `  Y
) )
5740, 50, 563eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g `  Y
) )
5817, 57csbied 3455 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `
 ( b `  s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  < 
n ,  .0.  , 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g `  Y
) )
5958ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) ) )
6059ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) ) )
61 breq1 4443 . . . . . . 7  |-  ( l  =  ( s  +  1 )  ->  (
l  <  k  <->  ( s  +  1 )  < 
k ) )
6261imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( l  =  ( s  +  1 )  ->  (
( l  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) )  <-> 
( ( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6362ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( l  =  ( s  +  1 )  ->  ( A. k  e.  NN0  ( l  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( ( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6463rspcev 3207 . . . 4  |-  ( ( ( s  +  1 )  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  (
( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) ) )  ->  E. l  e.  NN0  A. k  e. 
NN0  ( l  < 
k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `
 ( b `  s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  < 
n ,  .0.  , 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g `  Y
) ) )
6516, 60, 64syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  E. l  e.  NN0  A. k  e.  NN0  (
l  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) ) )
663, 12, 65mptnn0fsupp 12059 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `
 ( b `  s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  < 
n ,  .0.  , 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  Y
) )
671, 66syl5eqbr 4473 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   [_csb 3428   ifcif 3932   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ^m cmap 7410   Fincfn 7506   finSupp cfsupp 7818   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    - cmin 9794   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ...cfz 11661   Basecbs 14479   .rcmulr 14545   0gc0g 14684   -gcsg 15719   CRingccrg 16980  Poly1cpl1 17980   Mat cmat 18669   matToPolyMat cmat2pmat 18965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662
This theorem is referenced by:  cpmadumatpolylem2  19143  cayhamlem4  19149
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