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Theorem chfacffsupp 19651
Description: The "characteristic factor function" is finitely supported. (Contributed by AV, 20-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
chfacfisf.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
chfacfisf.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
chfacfisf.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
chfacfisf.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
chfacfisf.s  |-  .-  =  ( -g `  Y )
chfacfisf.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
chfacfisf.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
chfacfisf.g  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
chfacffsupp  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  Y ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    R, n    n, Y    n, b    n, s
Allowed substitution hints:    A( n, s, b)    B( s, b)    P( n, s, b)    R( s, b)    T( n, s, b)    .X. ( n, s, b)    G( n, s, b)    M( s, b)    .- ( n, s, b)    N( s, b)    Y( s, b)    .0. ( n, s, b)

Proof of Theorem chfacffsupp
Dummy variables  k 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chfacfisf.g . 2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) ) )
2 fvex 5861 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  e. 
_V
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 0g `  Y )  e.  _V )
4 ovex 6308 . . . . 5  |-  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) )  e.  _V
5 fvex 5861 . . . . . 6  |-  ( T `
 ( b `  s ) )  e. 
_V
6 chfacfisf.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
76, 2eqeltri 2488 . . . . . . 7  |-  .0.  e.  _V
8 ovex 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) )  e.  _V
97, 8ifex 3955 . . . . . 6  |-  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) )  e. 
_V
105, 9ifex 3955 . . . . 5  |-  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  (
b `  s )
) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) )  e.  _V
114, 10ifex 3955 . . . 4  |-  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  e. 
_V
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  e. 
_V )
13 nnnn0 10845 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  NN0 )
14 peano2nn0 10879 . . . . . 6  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( s  +  1 )  e. 
NN0 )
1513, 14syl 17 . . . . 5  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  NN0 )
1615ad2antrl 728 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( s  +  1 )  e.  NN0 )
17 simplr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  k  e.  NN0 )
18 0red 9629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  0  e.  RR )
19 nnre 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  RR )
20 peano2re 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  NN  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
( s  +  1 )  e.  RR )
2322ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  ( s  +  1 )  e.  RR )
24 nn0re 10847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
2524ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  k  e.  RR )
2613adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) )  -> 
s  e.  NN0 )
2726ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  s  e.  NN0 )
28 nn0p1gt0 10868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  NN0  ->  0  < 
( s  +  1 ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( s  +  1 ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  0  <  ( s  +  1 ) )
31 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  ( s  +  1 )  < 
k )
3218, 23, 25, 30, 31lttrd 9779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  0  <  k )
3332gt0ne0d 10159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  k  =/=  0 )
3433neneqd 2607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  -.  k  =  0 )
3534adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  -.  k  =  0 )
36 eqeq1 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
n  =  0  <->  k  =  0 ) )
3736notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( -.  n  =  0  <->  -.  k  =  0 ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  ( -.  n  =  0  <->  -.  k  =  0 ) )
3935, 38mpbird 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  -.  n  =  0 )
4039iffalsed 3898 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `
 ( b `  s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  < 
n ,  .0.  , 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )
4122ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
s  +  1 )  e.  RR )
42 ltne 9714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  +  1 )  e.  RR  /\  ( s  +  1 )  <  k )  ->  k  =/=  (
s  +  1 ) )
4341, 42sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  k  =/=  ( s  +  1 ) )
4443neneqd 2607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  -.  k  =  ( s  +  1 ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  -.  k  =  ( s  +  1 ) )
46 eqeq1 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
n  =  ( s  +  1 )  <->  k  =  ( s  +  1 ) ) )
4746notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( -.  n  =  (
s  +  1 )  <->  -.  k  =  (
s  +  1 ) ) )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  ( -.  n  =  (
s  +  1 )  <->  -.  k  =  (
s  +  1 ) ) )
4945, 48mpbird 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  -.  n  =  ( s  +  1 ) )
5049iffalsed 3898 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) )  =  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) )
51 simplr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  (
s  +  1 )  <  k )
52 breq2 4401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( s  +  1 )  <  n  <->  ( s  +  1 )  < 
k ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  (
( s  +  1 )  <  n  <->  ( s  +  1 )  < 
k ) )
5451, 53mpbird 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  (
s  +  1 )  <  n )
5554iftrued 3895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) )  =  .0.  )
5655, 6syl6eq 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) )  =  ( 0g `  Y
) )
5740, 50, 563eqtrd 2449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  /\  n  =  k )  ->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  0
) ) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `
 s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g `  Y
) )
5817, 57csbied 3402 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( s  +  1 )  <  k
)  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `
 ( b `  s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  < 
n ,  .0.  , 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g `  Y
) )
5958ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) ) )
6059ralrimiva 2820 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) ) )
61 breq1 4400 . . . . . . 7  |-  ( l  =  ( s  +  1 )  ->  (
l  <  k  <->  ( s  +  1 )  < 
k ) )
6261imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( l  =  ( s  +  1 )  ->  (
( l  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) )  <-> 
( ( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6362ralbidv 2845 . . . . 5  |-  ( l  =  ( s  +  1 )  ->  ( A. k  e.  NN0  ( l  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( ( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6463rspcev 3162 . . . 4  |-  ( ( ( s  +  1 )  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  (
( s  +  1 )  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) ) )  ->  E. l  e.  NN0  A. k  e. 
NN0  ( l  < 
k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `
 ( b `  s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  < 
n ,  .0.  , 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g `  Y
) ) )
6516, 60, 64syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  E. l  e.  NN0  A. k  e.  NN0  (
l  <  k  ->  [_ k  /  n ]_ if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  0 ) ) ) ) ,  if ( n  =  (
s  +  1 ) ,  ( T `  ( b `  s
) ) ,  if ( ( s  +  1 )  <  n ,  .0.  ,  ( ( T `  ( b `
 ( n  - 
1 ) ) ) 
.-  ( ( T `
 M )  .X.  ( T `  ( b `
 n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  Y ) ) )
663, 12, 65mptnn0fsupp 12149 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (  .0.  .-  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  0 )
) ) ) ,  if ( n  =  ( s  +  1 ) ,  ( T `
 ( b `  s ) ) ,  if ( ( s  +  1 )  < 
n ,  .0.  , 
( ( T `  ( b `  (
n  -  1 ) ) )  .-  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  n
) ) ) ) ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  Y
) )
671, 66syl5eqbr 4430 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061   [_csb 3375   ifcif 3887   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    ^m cmap 7459   Fincfn 7556   finSupp cfsupp 7865   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527    < clt 9660    - cmin 9843   NNcn 10578   NN0cn0 10838   ...cfz 11728   Basecbs 14843   .rcmulr 14912   0gc0g 15056   -gcsg 16381   CRingccrg 17521  Poly1cpl1 18538   Mat cmat 19203   matToPolyMat cmat2pmat 19499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729
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