Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd2 Structured version   Unicode version

Theorem chebbnd2 24041
 Description: The Chebyshev bound, part 2: The function π is eventually upper bounded by a positive constant times . Alternatively stated, the function π is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chebbnd2 π

Proof of Theorem chebbnd2
StepHypRef Expression
1 ovex 6305 . . . . . 6
21a1i 11 . . . . 5
3 ovex 6305 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
5 ovex 6305 . . . . . 6 π
65a1i 11 . . . . 5 π
7 eqidd 2403 . . . . 5
8 simpr 459 . . . . . . . . . 10
9 2re 10645 . . . . . . . . . . 11
10 elicopnf 11672 . . . . . . . . . . 11
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
128, 11sylib 196 . . . . . . . . 9
13 chtrpcl 23828 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8
1514rpcnne0d 11312 . . . . . . 7
16 ppinncl 23827 . . . . . . . . . . 11 π
1712, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 π
1817nnrpd 11301 . . . . . . . . 9 π
1912simpld 457 . . . . . . . . . 10
20 1red 9640 . . . . . . . . . . 11
219a1i 11 . . . . . . . . . . 11
22 1lt2 10742 . . . . . . . . . . . 12
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11
2412simprd 461 . . . . . . . . . . 11
2520, 21, 19, 23, 24ltletrd 9775 . . . . . . . . . 10
2619, 25rplogcld 23306 . . . . . . . . 9
2718, 26rpmulcld 11319 . . . . . . . 8 π
2827rpcnne0d 11312 . . . . . . 7 π π
29 recdiv 10290 . . . . . . 7 π π π π
3015, 28, 29syl2anc 659 . . . . . 6 π π
3130mpteq2dva 4480 . . . . 5 π π
322, 4, 6, 7, 31offval2 6537 . . . 4 π π
33 0red 9626 . . . . . . . . . 10
34 2pos 10667 . . . . . . . . . . 11
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10
3633, 21, 19, 35, 24ltletrd 9775 . . . . . . . . 9
3719, 36elrpd 11300 . . . . . . . 8
3837rpcnne0d 11312 . . . . . . 7
3927rpcnd 11305 . . . . . . 7 π
40 dmdcan 10294 . . . . . . 7 π π π
4115, 38, 39, 40syl3anc 1230 . . . . . 6 π π
4218rpcnd 11305 . . . . . . 7 π
4326rpcnne0d 11312 . . . . . . 7
44 divdiv2 10296 . . . . . . 7 π π π
4542, 38, 43, 44syl3anc 1230 . . . . . 6 π π
4641, 45eqtr4d 2446 . . . . 5 π π
4746mpteq2dva 4480 . . . 4 π π
4832, 47eqtrd 2443 . . 3 π π
4937ex 432 . . . . . 6
5049ssrdv 3447 . . . . 5
51 chto1ub 24040 . . . . . 6
5251a1i 11 . . . . 5
5350, 52o1res2 13533 . . . 4
54 ax-1cn 9579 . . . . . . 7
5554a1i 11 . . . . . 6
5614, 27rpdivcld 11320 . . . . . . 7 π
5756rpcnd 11305 . . . . . 6 π
58 pnfxr 11373 . . . . . . . . 9
59 icossre 11657 . . . . . . . . 9
609, 58, 59mp2an 670 . . . . . . . 8
61 rlimconst 13514 . . . . . . . 8
6260, 54, 61mp2an 670 . . . . . . 7
6362a1i 11 . . . . . 6
64 chtppilim 24039 . . . . . . 7 π
6564a1i 11 . . . . . 6 π
66 ax-1ne0 9590 . . . . . . 7
6766a1i 11 . . . . . 6
6856rpne0d 11308 . . . . . 6 π
6955, 57, 63, 65, 67, 68rlimdiv 13615 . . . . 5 π
70 rlimo1 13586 . . . . 5 π π
7169, 70syl 17 . . . 4 π
72 o1mul 13584 . . . 4 π π
7353, 71, 72syl2anc 659 . . 3 π
7448, 73eqeltrrd 2491 . 2 π
7574trud 1414 1 π
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 367   wceq 1405   wtru 1406   wcel 1842   wne 2598  cvv 3058   wss 3413   class class class wbr 4394   cmpt 4452  cfv 5568  (class class class)co 6277   cof 6518  cc 9519  cr 9520  cc0 9521  c1 9522   cmul 9526   cpnf 9654  cxr 9656   clt 9657   cle 9658   cdiv 10246  cn 10575  c2 10625  crp 11264  cico 11583   crli 13455  co1 13456  clog 23232  ccht 23743  πcppi 23746 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-shft 13047  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-o1 13460  df-lo1 13461  df-sum 13656  df-ef 14010  df-e 14011  df-sin 14012  df-cos 14013  df-pi 14015  df-dvds 14194  df-gcd 14352  df-prm 14425  df-pc 14568  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561  df-log 23234  df-cxp 23235  df-cht 23749  df-ppi 23752 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator