MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem chebbnd1lem2 23480
Description: Lemma for chebbnd1 23482: Show that  log ( N )  /  N does not change too much between  N and  M  =  |_ ( N  /  2
). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem2
StepHypRef Expression
1 2rp 11226 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
2 4nn 10696 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
32nnzi 10889 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  ZZ )
5 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
6 rehalfcl 10766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
76adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
87flcld 11904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
95, 8syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
10 4t2e8 10690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
11 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  <_  N )
1210, 11syl5eqbr 4480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  x.  2 )  <_  N )
13 4re 10613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  RR )
15 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR )
16 2re 10606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  RR )
18 2pos 10628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  2 )
20 lemuldiv 10425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 4  x.  2 )  <_  N 
<->  4  <_  ( N  /  2 ) ) )
2114, 15, 17, 19, 20syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4  x.  2 )  <_  N  <->  4  <_  ( N  / 
2 ) ) )
2212, 21mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( N  /  2 ) )
23 flge 11911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
247, 3, 23sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
2522, 24mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )
2625, 5syl6breqr 4487 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  M )
27 eluz2 11089 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  4  <_  M ) )
284, 9, 26, 27syl3anbrc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
29 eluznn 11153 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  M  e.  NN )
302, 28, 29sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN )
3130nnrpd 11256 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR+ )
32 rpmulcl 11242 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  M  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  M )  e.  RR+ )
331, 31, 32sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR+ )
3433relogcld 22833 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
3534, 33rerpdivcld 11284 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
36 0red 9598 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  e.  RR )
37 8re 10621 . . . . . . . 8  |-  8  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  e.  RR )
39 8pos 10637 . . . . . . . 8  |-  0  <  8
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  8 )
4136, 38, 15, 40, 11ltletrd 9742 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  N )
4215, 41elrpd 11255 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR+ )
4342rphalfcld 11269 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR+ )
4443relogcld 22833 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  ( N  /  2 ) )  e.  RR )
4544, 43rerpdivcld 11284 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  e.  RR )
4642relogcld 22833 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  RR )
4746, 42rerpdivcld 11284 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
48 remulcl 9578 . . 3  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
4916, 47, 48sylancr 663 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
509zred 10967 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR )
51 peano2re 9753 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
5250, 51syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  e.  RR )
53 remulcl 9578 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  RR )
5416, 50, 53sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR )
55 flltp1 11906 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  < 
( ( |_ `  ( N  /  2
) )  +  1 ) )
567, 55syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) )
575oveq1i 6295 . . . . 5  |-  ( M  +  1 )  =  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  +  1 )
5856, 57syl6breqr 4487 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( M  +  1 ) )
59 1red 9612 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  e.  RR )
6030nnge1d 10579 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <_  M )
6159, 50, 50, 60leadd2dd 10168 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  <_  ( M  +  M ) )
6250recnd 9623 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  CC )
63622timesd 10782 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  =  ( M  +  M ) )
6461, 63breqtrrd 4473 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  <_  ( 2  x.  M ) )
657, 52, 54, 58, 64ltletrd 9742 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( 2  x.  M ) )
66 ere 13689 . . . . . 6  |-  _e  e.  RR
6766a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  RR )
68 egt2lt3 13803 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
6968simpri 462 . . . . . . . 8  |-  _e  <  3
70 3lt4 10706 . . . . . . . 8  |-  3  <  4
71 3re 10610 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
7266, 71, 13lttri 9711 . . . . . . . 8  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  4 )  ->  _e  <  4
)
7369, 70, 72mp2an 672 . . . . . . 7  |-  _e  <  4
7473a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  4 )
7567, 14, 7, 74, 22ltletrd 9742 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  ( N  / 
2 ) )
7667, 7, 75ltled 9733 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  ( N  / 
2 ) )
7767, 7, 54, 75, 65lttrd 9743 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  ( 2  x.  M ) )
7867, 54, 77ltled 9733 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  ( 2  x.  M ) )
79 logdivlt 22831 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  / 
2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( N  /  2 ) )  /\  ( ( 2  x.  M )  e.  RR  /\  _e  <_  ( 2  x.  M ) ) )  ->  (
( N  /  2
)  <  ( 2  x.  M )  <->  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  / 
( 2  x.  M
) )  <  (
( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) ) ) )
807, 76, 54, 78, 79syl22anc 1229 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( N  / 
2 )  <  (
2  x.  M )  <-> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) ) )
8165, 80mpbid 210 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) )
82 rphalflt 11247 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( N  /  2 )  < 
N )
8342, 82syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  N )
84 logltb 22809 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( N  /  2
)  <  N  <->  ( log `  ( N  /  2
) )  <  ( log `  N ) ) )
8543, 42, 84syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( N  / 
2 )  <  N  <->  ( log `  ( N  /  2 ) )  <  ( log `  N
) ) )
8683, 85mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  ( N  /  2 ) )  <  ( log `  N
) )
8744, 46, 43, 86ltdiv1dd 11310 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  < 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) ) )
8846recnd 9623 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  CC )
8915recnd 9623 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  CC )
9017recnd 9623 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  CC )
9142rpne0d 11262 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  =/=  0 )
92 2ne0 10629 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  =/=  0 )
9488, 89, 90, 91, 93divdiv2d 10353 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) )  =  ( ( ( log `  N )  x.  2 )  /  N ) )
9588, 90mulcomd 9618 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( log `  N
) ) )
9695oveq1d 6300 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  N )  x.  2 )  /  N )  =  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  /  N
) )
9790, 88, 89, 91divassd 10356 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  ( log `  N
) )  /  N
)  =  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) ) )
9894, 96, 973eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
9987, 98breqtrd 4471 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  < 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )
10035, 45, 49, 81, 99lttrd 9743 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630    / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   3c3 10587   4c4 10588   8c8 10592   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   RR+crp 11221   |_cfl 11896   _eceu 13663   logclog 22767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ioc 11535  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-shft 12866  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-limsup 13260  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-ef 13668  df-e 13669  df-sin 13670  df-cos 13671  df-pi 13673  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lp 19443  df-perf 19444  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-haus 19622  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cncf 21209  df-limc 22097  df-dv 22098  df-log 22769
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  23481
  Copyright terms: Public domain W3C validator