MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem chebbnd1lem2 23520
Description: Lemma for chebbnd1 23522: Show that  log ( N )  /  N does not change too much between  N and  M  =  |_ ( N  /  2
). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem2
StepHypRef Expression
1 2rp 11229 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
2 4nn 10696 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
32nnzi 10889 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  ZZ )
5 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
6 rehalfcl 10766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
76adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
87flcld 11909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
95, 8syl5eqel 2533 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
10 4t2e8 10690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
11 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  <_  N )
1210, 11syl5eqbr 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  x.  2 )  <_  N )
13 4re 10613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  RR )
15 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR )
16 2re 10606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  RR )
18 2pos 10628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  2 )
20 lemuldiv 10425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 4  x.  2 )  <_  N 
<->  4  <_  ( N  /  2 ) ) )
2114, 15, 17, 19, 20syl112anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4  x.  2 )  <_  N  <->  4  <_  ( N  / 
2 ) ) )
2212, 21mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( N  /  2 ) )
23 flge 11916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
247, 3, 23sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
2522, 24mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )
2625, 5syl6breqr 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  M )
27 eluz2 11091 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  4  <_  M ) )
284, 9, 26, 27syl3anbrc 1179 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
29 eluznn 11156 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  M  e.  NN )
302, 28, 29sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN )
3130nnrpd 11259 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR+ )
32 rpmulcl 11245 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  M  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  M )  e.  RR+ )
331, 31, 32sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR+ )
3433relogcld 22873 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
3534, 33rerpdivcld 11287 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
36 0red 9595 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  e.  RR )
37 8re 10621 . . . . . . . 8  |-  8  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  e.  RR )
39 8pos 10637 . . . . . . . 8  |-  0  <  8
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  8 )
4136, 38, 15, 40, 11ltletrd 9740 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  N )
4215, 41elrpd 11258 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR+ )
4342rphalfcld 11272 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR+ )
4443relogcld 22873 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  ( N  /  2 ) )  e.  RR )
4544, 43rerpdivcld 11287 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  e.  RR )
4642relogcld 22873 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  RR )
4746, 42rerpdivcld 11287 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
48 remulcl 9575 . . 3  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
4916, 47, 48sylancr 663 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
509zred 10969 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR )
51 peano2re 9751 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
5250, 51syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  e.  RR )
53 remulcl 9575 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  RR )
5416, 50, 53sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR )
55 flltp1 11911 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  < 
( ( |_ `  ( N  /  2
) )  +  1 ) )
567, 55syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) )
575oveq1i 6287 . . . . 5  |-  ( M  +  1 )  =  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  +  1 )
5856, 57syl6breqr 4473 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( M  +  1 ) )
59 1red 9609 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  e.  RR )
6030nnge1d 10579 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <_  M )
6159, 50, 50, 60leadd2dd 10168 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  <_  ( M  +  M ) )
6250recnd 9620 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  CC )
63622timesd 10782 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  =  ( M  +  M ) )
6461, 63breqtrrd 4459 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  <_  ( 2  x.  M ) )
657, 52, 54, 58, 64ltletrd 9740 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( 2  x.  M ) )
66 ere 13697 . . . . . 6  |-  _e  e.  RR
6766a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  RR )
68 egt2lt3 13811 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
6968simpri 462 . . . . . . . 8  |-  _e  <  3
70 3lt4 10706 . . . . . . . 8  |-  3  <  4
71 3re 10610 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
7266, 71, 13lttri 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  4 )  ->  _e  <  4
)
7369, 70, 72mp2an 672 . . . . . . 7  |-  _e  <  4
7473a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  4 )
7567, 14, 7, 74, 22ltletrd 9740 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  ( N  / 
2 ) )
7667, 7, 75ltled 9731 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  ( N  / 
2 ) )
7767, 7, 54, 75, 65lttrd 9741 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  ( 2  x.  M ) )
7867, 54, 77ltled 9731 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  ( 2  x.  M ) )
79 logdivlt 22871 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  / 
2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( N  /  2 ) )  /\  ( ( 2  x.  M )  e.  RR  /\  _e  <_  ( 2  x.  M ) ) )  ->  (
( N  /  2
)  <  ( 2  x.  M )  <->  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  / 
( 2  x.  M
) )  <  (
( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) ) ) )
807, 76, 54, 78, 79syl22anc 1228 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( N  / 
2 )  <  (
2  x.  M )  <-> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) ) )
8165, 80mpbid 210 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) )
82 rphalflt 11250 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( N  /  2 )  < 
N )
8342, 82syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  N )
84 logltb 22849 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( N  /  2
)  <  N  <->  ( log `  ( N  /  2
) )  <  ( log `  N ) ) )
8543, 42, 84syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( N  / 
2 )  <  N  <->  ( log `  ( N  /  2 ) )  <  ( log `  N
) ) )
8683, 85mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  ( N  /  2 ) )  <  ( log `  N
) )
8744, 46, 43, 86ltdiv1dd 11313 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  < 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) ) )
8846recnd 9620 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  CC )
8915recnd 9620 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  CC )
9017recnd 9620 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  CC )
9142rpne0d 11265 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  =/=  0 )
92 2ne0 10629 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  =/=  0 )
9488, 89, 90, 91, 93divdiv2d 10353 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) )  =  ( ( ( log `  N )  x.  2 )  /  N ) )
9588, 90mulcomd 9615 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( log `  N
) ) )
9695oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  N )  x.  2 )  /  N )  =  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  /  N
) )
9790, 88, 89, 91divassd 10356 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  ( log `  N
) )  /  N
)  =  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) ) )
9894, 96, 973eqtrd 2486 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
9987, 98breqtrd 4457 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  < 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )
10035, 45, 49, 81, 99lttrd 9741 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627    / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   3c3 10587   4c4 10588   8c8 10592   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085   RR+crp 11224   |_cfl 11901   _eceu 13671   logclog 22807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-e 13677  df-sin 13678  df-cos 13679  df-pi 13681  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22809
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  23521
  Copyright terms: Public domain W3C validator