MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem chebbnd1lem2 22678
Description: Lemma for chebbnd1 22680: Show that  log ( N )  /  N does not change too much between  N and  M  =  |_ ( N  /  2
). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem2
StepHypRef Expression
1 2rp 10992 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
2 4nn 10477 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
32nnzi 10666 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  ZZ
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  ZZ )
5 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( |_ `  ( N  /  2 ) )
6 rehalfcl 10547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
76adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
87flcld 11644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( |_ `  ( N  /  2 ) )  e.  ZZ )
95, 8syl5eqel 2525 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
10 4t2e8 10471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
11 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  <_  N )
1210, 11syl5eqbr 4322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  x.  2 )  <_  N )
13 4re 10394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  e.  RR )
15 simpl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR )
16 2re 10387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  RR )
18 2pos 10409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  2 )
20 lemuldiv 10207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 4  x.  2 )  <_  N 
<->  4  <_  ( N  /  2 ) ) )
2114, 15, 17, 19, 20syl112anc 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 4  x.  2 )  <_  N  <->  4  <_  ( N  / 
2 ) ) )
2212, 21mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( N  /  2 ) )
23 flge 11651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
247, 3, 23sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 4  <_  ( N  /  2 )  <->  4  <_  ( |_ `  ( N  /  2 ) ) ) )
2522, 24mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  ( |_ `  ( N  /  2
) ) )
2625, 5syl6breqr 4329 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
4  <_  M )
27 eluz2 10863 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  4
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  4  <_  M ) )
284, 9, 26, 27syl3anbrc 1167 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
29 eluznn 10921 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  M  e.  NN )
302, 28, 29sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  NN )
3130nnrpd 11022 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR+ )
32 rpmulcl 11008 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  M  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  M )  e.  RR+ )
331, 31, 32sylancr 658 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR+ )
3433relogcld 22031 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  (
2  x.  M ) )  e.  RR )
3534, 33rerpdivcld 11050 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
36 0red 9383 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  e.  RR )
37 8re 10402 . . . . . . . 8  |-  8  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
8  e.  RR )
39 8pos 10418 . . . . . . . 8  |-  0  <  8
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  8 )
4136, 38, 15, 40, 11ltletrd 9527 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
0  <  N )
4215, 41elrpd 11021 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  RR+ )
4342rphalfcld 11035 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR+ )
4443relogcld 22031 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  ( N  /  2 ) )  e.  RR )
4544, 43rerpdivcld 11050 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  e.  RR )
4642relogcld 22031 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  RR )
4746, 42rerpdivcld 11050 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )
48 remulcl 9363 . . 3  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( log `  N
)  /  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
4916, 47, 48sylancr 658 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) )  e.  RR )
509zred 10743 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  RR )
51 peano2re 9538 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
5250, 51syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  e.  RR )
53 remulcl 9363 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  RR )
5416, 50, 53sylancr 658 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  e.  RR )
55 flltp1 11646 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  < 
( ( |_ `  ( N  /  2
) )  +  1 ) )
567, 55syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( ( |_ `  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) )
575oveq1i 6100 . . . . 5  |-  ( M  +  1 )  =  ( ( |_ `  ( N  /  2
) )  +  1 )
5856, 57syl6breqr 4329 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( M  +  1 ) )
59 1red 9397 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  e.  RR )
6030nnge1d 10360 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
1  <_  M )
6159, 50, 50, 60leadd2dd 9950 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  <_  ( M  +  M ) )
6250recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  M  e.  CC )
63622timesd 10563 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( 2  x.  M
)  =  ( M  +  M ) )
6461, 63breqtrrd 4315 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( M  +  1 )  <_  ( 2  x.  M ) )
657, 52, 54, 58, 64ltletrd 9527 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  ( 2  x.  M ) )
66 ere 13370 . . . . . 6  |-  _e  e.  RR
6766a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  e.  RR )
68 egt2lt3 13484 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
6968simpri 459 . . . . . . . 8  |-  _e  <  3
70 3lt4 10487 . . . . . . . 8  |-  3  <  4
71 3re 10391 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
7266, 71, 13lttri 9496 . . . . . . . 8  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  4 )  ->  _e  <  4
)
7369, 70, 72mp2an 667 . . . . . . 7  |-  _e  <  4
7473a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  4 )
7567, 14, 7, 74, 22ltletrd 9527 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  ( N  / 
2 ) )
7667, 7, 75ltled 9518 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  ( N  / 
2 ) )
7767, 7, 54, 75, 65lttrd 9528 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <  ( 2  x.  M ) )
7867, 54, 77ltled 9518 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  _e  <_  ( 2  x.  M ) )
79 logdivlt 22029 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  / 
2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( N  /  2 ) )  /\  ( ( 2  x.  M )  e.  RR  /\  _e  <_  ( 2  x.  M ) ) )  ->  (
( N  /  2
)  <  ( 2  x.  M )  <->  ( ( log `  ( 2  x.  M ) )  / 
( 2  x.  M
) )  <  (
( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) ) ) )
807, 76, 54, 78, 79syl22anc 1214 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( N  / 
2 )  <  (
2  x.  M )  <-> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) ) )
8165, 80mpbid 210 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) )
82 rphalflt 11013 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( N  /  2 )  < 
N )
8342, 82syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( N  /  2
)  <  N )
84 logltb 22007 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( N  /  2
)  <  N  <->  ( log `  ( N  /  2
) )  <  ( log `  N ) ) )
8543, 42, 84syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( N  / 
2 )  <  N  <->  ( log `  ( N  /  2 ) )  <  ( log `  N
) ) )
8683, 85mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  ( N  /  2 ) )  <  ( log `  N
) )
8744, 46, 43, 86ltdiv1dd 11076 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  < 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) ) )
8846recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( log `  N
)  e.  CC )
8915recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  e.  CC )
9017recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  e.  CC )
9142rpne0d 11028 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  ->  N  =/=  0 )
92 2ne0 10410 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
2  =/=  0 )
9488, 89, 90, 91, 93divdiv2d 10135 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) )  =  ( ( ( log `  N )  x.  2 )  /  N ) )
9588, 90mulcomd 9403 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( log `  N
) ) )
9695oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( ( log `  N )  x.  2 )  /  N )  =  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  /  N
) )
9790, 88, 89, 91divassd 10138 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  ( log `  N
) )  /  N
)  =  ( 2  x.  ( ( log `  N )  /  N
) ) )
9894, 96, 973eqtrd 2477 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  N
)  /  ( N  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
9987, 98breqtrd 4313 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  < 
( 2  x.  (
( log `  N
)  /  N ) ) )
10035, 45, 49, 81, 99lttrd 9528 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  8  <_  N )  -> 
( ( log `  (
2  x.  M ) )  /  ( 2  x.  M ) )  <  ( 2  x.  ( ( log `  N
)  /  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   3c3 10368   4c4 10369   8c8 10373   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   |_cfl 11636   _eceu 13344   logclog 21965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  22679
  Copyright terms: Public domain W3C validator