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Theorem chebbnd1lem1 22661
Description: Lemma for chebbnd1 22664: show a lower bound on π ( x ) at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 22575. (Note that the expression  K is actually equal to  2  x.  N, but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 22566, which shows that each term in the expansion  ( (
2  x.  N )  _C  N )  = 
prod_ p  e.  Prime  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) is at most  2  x.  N, so that the sum really only has nonzero elements up to  2  x.  N, and since each term is at most  2  x.  N, after taking logs we get the inequality π ( 2  x.  N
)  x.  log (
2  x.  N )  <_  log ( ( 2  x.  N )  _C  N ), and bclbnd 22562 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem1.1  |-  K  =  if ( ( 2  x.  N )  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 10477 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
2 eluznn 10921 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  N  e.  NN )
31, 2mpan 665 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  NN )
43nnnn0d 10632 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  NN0 )
5 nnexpcl 11874 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ N
)  e.  NN )
61, 4, 5sylancr 658 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4 ^ N )  e.  NN )
76nnrpd 11022 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4 ^ N )  e.  RR+ )
83nnrpd 11022 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  RR+ )
97, 8rpdivcld 11040 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  e.  RR+ )
109relogcld 22015 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  e.  RR )
11 fzctr 11525 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
124, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
13 bccl2 12095 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  NN )
1514nnrpd 11022 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  RR+ )
1615relogcld 22015 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  RR )
17 2z 10674 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
18 eluzelz 10866 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  ZZ )
19 zmulcl 10689 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2017, 18, 19sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
2120zred 10743 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
22 ppicl 22412 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  ->  (π `  ( 2  x.  N
) )  e.  NN0 )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  (
2  x.  N ) )  e.  NN0 )
2423nn0red 10633 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
25 2nn 10475 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
26 nnmulcl 10341 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2725, 3, 26sylancr 658 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
2827nnrpd 11022 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
2928relogcld 22015 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
3024, 29remulcld 9410 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  ( 2  x.  N
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
31 bclbnd 22562 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
32 logltb 21991 . . . 4  |-  ( ( ( ( 4 ^ N )  /  N
)  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  RR+ )  ->  (
( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
2  x.  N )  _C  N )  <->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
339, 15, 32syl2anc 656 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
( 4 ^ N
)  /  N )  <  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  <->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
3431, 33mpbid 210 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )
35 chebbnd1lem1.1 . . . . . . . 8  |-  K  =  if ( ( 2  x.  N )  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
36 ifcl 3828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  N )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN )
3727, 14, 36syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  if (
( 2  x.  N
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N
) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN )
3835, 37syl5eqel 2525 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  e.  NN )
3938nnred 10333 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  e.  RR )
40 ppicl 22412 . . . . . 6  |-  ( K  e.  RR  ->  (π `  K )  e.  NN0 )
4139, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  e.  NN0 )
4241nn0red 10633 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  e.  RR )
4342, 29remulcld 9410 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
44 fzfid 11791 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1 ... K )  e. 
Fin )
45 inss1 3567 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  C_  (
1 ... K )
46 ssfi 7529 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... K
)  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) 
C_  ( 1 ... K ) )  -> 
( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  e.  Fin )
4744, 45, 46sylancl 657 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
4838nnzd 10742 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  e.  ZZ )
4914nnzd 10742 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  ZZ )
5014nnred 10333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  RR )
51 min2 11157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  N )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
5221, 50, 51syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  if (
( 2  x.  N
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N
) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
5335, 52syl5eqbr 4322 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )
54 eluz2 10863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e.  ZZ  /\  K  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
5548, 49, 53, 54syl3anbrc 1167 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
56 fzss2 11494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( 1 ... K )  C_  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1 ... K )  C_  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
58 ssrin 3572 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... K ) 
C_  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  ->  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime )  C_  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime )  C_  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime ) )
6059sselda 3353 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
61 inss1 3567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime )  C_  (
1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
62 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
6361, 62sseldi 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
64 elfznn 11474 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  ->  k  e.  NN )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  NN )
66 inss2 3568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime )  C_  Prime
6766, 62sseldi 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  Prime )
6814adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  NN )
6967, 68pccld 13913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
7065, 69nnexpcld 12025 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  NN )
7170nnrpd 11022 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR+ )
7271relogcld 22015 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  RR )
7360, 72syldan 467 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  RR )
7429adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
75 elin 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime )  <->  ( k  e.  ( 1 ... K
)  /\  k  e.  Prime ) )
7675simprbi 461 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime )  ->  k  e. 
Prime )
77 bposlem1 22566 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  Prime )  -> 
( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
783, 76, 77syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
7960, 71syldan 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR+ )
8079reeflogd 22016 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )  =  ( k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
8128adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
8281reeflogd 22016 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( 2  x.  N ) )
8378, 80, 823brtr4d 4319 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
84 efle 13398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  RR  /\  ( log `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  <_  ( log `  ( 2  x.  N
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) ) )
8573, 74, 84syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( ( log `  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )  <_ 
( log `  (
2  x.  N ) )  <->  ( exp `  ( log `  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
8683, 85mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  <_  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )
8747, 73, 74, 86fsumle 13258 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) ) )
8872recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  CC )
8960, 88syldan 467 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  CC )
90 eldifn 3476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) )  ->  -.  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )
9190adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  -.  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )
92 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )
9392eldifad 3337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
9461, 93sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
9594, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  NN )
9695adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  NN )
9796nnred 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  RR )
9893, 70syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  NN )
9998nnred 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
10099adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
10121adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
10296nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  CC )
103102exp1d 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
1 )  =  k )
10496nnge1d 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  1  <_  k
)
105 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN )
106 nnuz 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
107105, 106syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
10897, 104, 107leexp2ad 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
1 )  <_  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
109103, 108eqbrtrrd 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
1103adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
11166, 93sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  Prime )
112111adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  Prime )
113110, 112, 77syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
11497, 100, 101, 109, 113letrd 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  (
2  x.  N ) )
115 elfzle2 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
11694, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )
117116adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
11850adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e.  RR )
119 lemin 11159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )  ->  ( k  <_  if ( ( 2  x.  N )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <->  ( k  <_ 
( 2  x.  N
)  /\  k  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
12097, 101, 118, 119syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  <_  if ( ( 2  x.  N )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <->  ( k  <_ 
( 2  x.  N
)  /\  k  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
121114, 117, 120mpbir2and 908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  if ( ( 2  x.  N )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
122121, 35syl6breqr 4329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  K
)
12338adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  K  e.  NN )
124123nnzd 10742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
125 fznn 11522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( 1 ... K )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  <_  K ) ) )
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... K
)  <->  ( k  e.  NN  /\  k  <_  K ) ) )
12796, 122, 126mpbir2and 908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  ( 1 ... K ) )
128127, 112elind 3537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... K
)  i^i  Prime ) )
129128expr 612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN  ->  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ) )
13091, 129mtod 177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  -.  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN )
13193, 69syldan 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
132 elnn0 10577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0  <->  ( ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN  \/  ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
133131, 132sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN  \/  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
134133ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( -.  ( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN  ->  ( k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
135130, 134mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  =  0 )
136135oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  =  ( k ^ 0 ) )
13795nncnd 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  CC )
138137exp0d 11998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ 0 )  =  1 )
139136, 138eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  =  1 )
140139fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( log `  1 ) )
141 log1 21977 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
142140, 141syl6eq 2489 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  0 )
143 fzfid 11791 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e. 
Fin )
144 ssfi 7529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) 
C_  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )  -> 
( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime )  e.  Fin )
145143, 61, 144sylancl 657 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
14659, 89, 142, 145fsumss 13198 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )
14765nnrpd 11022 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  RR+ )
14869nn0zd 10741 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  ZZ )
149 relogexp 21987 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  ZZ )  -> 
( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  x.  ( log `  k
) ) )
150147, 148, 149syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) ) )
151150sumeq2dv 13176 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) ) )
152 pclogsum 22497 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) )  =  ( log `  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
15314, 152syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) )  =  ( log `  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
154146, 151, 1533eqtrd 2477 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
15529recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  CC )
156 fsumconst 13253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  e.  Fin  /\  ( log `  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )
15747, 155, 156syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )
15825, 106eleqtri 2513 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
159 ppival2g 22410 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  2  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
(π `  K )  =  ( # `  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )
16048, 158, 159sylancl 657 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  =  ( # `  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ) )
161160oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) )
162157, 161eqtr4d 2476 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )
16387, 154, 1623brtr3d 4318 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  (
(π `  K )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
164 min1 11156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  N )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_ 
( 2  x.  N
) )
16521, 50, 164syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  if (
( 2  x.  N
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N
) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
16635, 165syl5eqbr 4322 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  <_  ( 2  x.  N ) )
167 ppiwordi 22443 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  K  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
(π `  K )  <_ 
(π `  ( 2  x.  N ) ) )
16839, 21, 166, 167syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  <_  (π `  (
2  x.  N ) ) )
169 1red 9397 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  e.  RR )
170 2re 10387 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
171170a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  2  e.  RR )
172 1lt2 10484 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
173172a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  <  2 )
174 2t1e2 10466 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1753nnge1d 10360 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  <_  N )
176 eluzelre 10867 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  RR )
177 2pos 10409 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
178170, 177pm3.2i 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
179178a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
180 lemul2 10178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  N 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
181169, 176, 179, 180syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
182175, 181mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) )
183174, 182syl5eqbrr 4323 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  2  <_  ( 2  x.  N ) )
184169, 171, 21, 173, 183ltletrd 9527 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
18521, 184rplogcld 22021 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR+ )
18642, 24, 185lemul1d 11062 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  <_  (π `  ( 2  x.  N
) )  <->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( (π `  (
2  x.  N ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
187168, 186mpbid 210 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( (π `  (
2  x.  N ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) )
18816, 43, 30, 163, 187letrd 9524 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  (
(π `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
18910, 16, 30, 34, 188ltletrd 9527 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ifcif 3788   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   4c4 10369   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   ...cfz 11433   ^cexp 11861    _C cbc 12074   #chash 12099   sum_csu 13159   expce 13343   Primecprime 13759    pCnt cpc 13899   logclog 21949  πcppi 22374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242  df-log 21951  df-ppi 22380
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