Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem chebbnd1lem1 24300
 Description: Lemma for chebbnd1 24303: show a lower bound on π at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 24214. (Note that the expression is actually equal to , but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 24205, which shows that each term in the expansion is at most , so that the sum really only has nonzero elements up to , and since each term is at most , after taking logs we get the inequality π , and bclbnd 24201 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem1.1
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem1 π

Proof of Theorem chebbnd1lem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 10766 . . . . . 6
2 eluznn 11226 . . . . . . . 8
31, 2mpan 675 . . . . . . 7
43nnnn0d 10922 . . . . . 6
5 nnexpcl 12282 . . . . . 6
61, 4, 5sylancr 668 . . . . 5
76nnrpd 11336 . . . 4
83nnrpd 11336 . . . 4
97, 8rpdivcld 11355 . . 3
109relogcld 23565 . 2
11 fzctr 11900 . . . . . 6
124, 11syl 17 . . . . 5
13 bccl2 12505 . . . . 5
1412, 13syl 17 . . . 4
1514nnrpd 11336 . . 3
1615relogcld 23565 . 2
17 2z 10966 . . . . . . 7
18 eluzelz 11165 . . . . . . 7
19 zmulcl 10982 . . . . . . 7
2017, 18, 19sylancr 668 . . . . . 6
2120zred 11037 . . . . 5
22 ppicl 24051 . . . . 5 π
2321, 22syl 17 . . . 4 π
2423nn0red 10923 . . 3 π
25 2nn 10764 . . . . . 6
26 nnmulcl 10629 . . . . . 6
2725, 3, 26sylancr 668 . . . . 5
2827nnrpd 11336 . . . 4
2928relogcld 23565 . . 3
3024, 29remulcld 9668 . 2 π
31 bclbnd 24201 . . 3
32 logltb 23542 . . . 4
339, 15, 32syl2anc 666 . . 3
3431, 33mpbid 214 . 2
35 chebbnd1lem1.1 . . . . . . . 8
3627, 14ifcld 3923 . . . . . . . 8
3735, 36syl5eqel 2532 . . . . . . 7
3837nnred 10621 . . . . . 6
39 ppicl 24051 . . . . . 6 π
4038, 39syl 17 . . . . 5 π
4140nn0red 10923 . . . 4 π
4241, 29remulcld 9668 . . 3 π
43 fzfid 12183 . . . . . 6
44 inss1 3651 . . . . . 6
45 ssfi 7789 . . . . . 6
4643, 44, 45sylancl 667 . . . . 5
4737nnzd 11036 . . . . . . . . . 10
4814nnzd 11036 . . . . . . . . . 10
4914nnred 10621 . . . . . . . . . . . 12
50 min2 11481 . . . . . . . . . . . 12
5121, 49, 50syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11
5235, 51syl5eqbr 4435 . . . . . . . . . 10
53 eluz2 11162 . . . . . . . . . 10
5447, 48, 52, 53syl3anbrc 1191 . . . . . . . . 9
55 fzss2 11835 . . . . . . . . 9
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8
57 ssrin 3656 . . . . . . . 8
5856, 57syl 17 . . . . . . 7
5958sselda 3431 . . . . . 6
60 inss1 3651 . . . . . . . . . . 11
61 simpr 463 . . . . . . . . . . 11
6260, 61sseldi 3429 . . . . . . . . . 10
63 elfznn 11825 . . . . . . . . . 10
6462, 63syl 17 . . . . . . . . 9
65 inss2 3652 . . . . . . . . . . 11
6665, 61sseldi 3429 . . . . . . . . . 10
6714adantr 467 . . . . . . . . . 10
6866, 67pccld 14793 . . . . . . . . 9
6964, 68nnexpcld 12434 . . . . . . . 8
7069nnrpd 11336 . . . . . . 7
7170relogcld 23565 . . . . . 6
7259, 71syldan 473 . . . . 5
7329adantr 467 . . . . 5
74 elin 3616 . . . . . . . . 9
7574simprbi 466 . . . . . . . 8
76 bposlem1 24205 . . . . . . . 8
773, 75, 76syl2an 480 . . . . . . 7
7859, 70syldan 473 . . . . . . . 8
7978reeflogd 23566 . . . . . . 7
8028adantr 467 . . . . . . . 8
8180reeflogd 23566 . . . . . . 7
8277, 79, 813brtr4d 4432 . . . . . 6
83 efle 14165 . . . . . . 7
8472, 73, 83syl2anc 666 . . . . . 6
8582, 84mpbird 236 . . . . 5
8646, 72, 73, 85fsumle 13852 . . . 4
8771recnd 9666 . . . . . . 7
8859, 87syldan 473 . . . . . 6
89 eldifn 3555 . . . . . . . . . . . . 13
9089adantl 468 . . . . . . . . . . . 12
91 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291eldifad 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9360, 92sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9493, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9594adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695nnred 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9792, 69syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9897nnred 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9998adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10021adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10195nncnd 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102101exp1d 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10395nnge1d 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105 nnuz 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106104, 105syl6eleq 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10796, 103, 106leexp2ad 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108102, 107eqbrtrrd 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1093adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11065, 92sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
111110adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112109, 111, 76syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11396, 99, 100, 108, 112letrd 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114 elfzle2 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11593, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116115adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11749adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118 lemin 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11996, 100, 117, 118syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120113, 116, 119mpbir2and 932 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120, 35syl6breqr 4442 . . . . . . . . . . . . . . 15
12237adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123122nnzd 11036 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124 fznn 11860 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
12695, 121, 125mpbir2and 932 . . . . . . . . . . . . . 14
127126, 111elind 3617 . . . . . . . . . . . . 13
128127expr 619 . . . . . . . . . . . 12
12990, 128mtod 181 . . . . . . . . . . 11
13092, 68syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13
131 elnn0 10868 . . . . . . . . . . . . 13
132130, 131sylib 200 . . . . . . . . . . . 12
133132ord 379 . . . . . . . . . . 11
134129, 133mpd 15 . . . . . . . . . 10
135134oveq2d 6304 . . . . . . . . 9
13694nncnd 10622 . . . . . . . . . 10
137136exp0d 12407 . . . . . . . . 9
138135, 137eqtrd 2484 . . . . . . . 8
139138fveq2d 5867 . . . . . . 7
140 log1 23528 . . . . . . 7
141139, 140syl6eq 2500 . . . . . 6
142 fzfid 12183 . . . . . . 7
143 ssfi 7789 . . . . . . 7
144142, 60, 143sylancl 667 . . . . . 6
14558, 88, 141, 144fsumss 13784 . . . . 5
14664nnrpd 11336 . . . . . . 7
14768nn0zd 11035 . . . . . . 7
148 relogexp 23538 . . . . . . 7
149146, 147, 148syl2anc 666 . . . . . 6
150149sumeq2dv 13762 . . . . 5
151 pclogsum 24136 . . . . . 6
15214, 151syl 17 . . . . 5
153145, 150, 1523eqtrd 2488 . . . 4
15429recnd 9666 . . . . . 6
155 fsumconst 13844 . . . . . 6
15646, 154, 155syl2anc 666 . . . . 5
157 2eluzge1 11202 . . . . . . 7
158 ppival2g 24049 . . . . . . 7 π
15947, 157, 158sylancl 667 . . . . . 6 π
160159oveq1d 6303 . . . . 5 π
161156, 160eqtr4d 2487 . . . 4 π
16286, 153, 1613brtr3d 4431 . . 3 π
163 min1 11480 . . . . . . 7
16421, 49, 163syl2anc 666 . . . . . 6
16535, 164syl5eqbr 4435 . . . . 5
166 ppiwordi 24082 . . . . 5 π π
16738, 21, 165, 166syl3anc 1267 . . . 4 π π
168 1red 9655 . . . . . . 7
169 2re 10676 . . . . . . . 8
170169a1i 11 . . . . . . 7
171 1lt2 10773 . . . . . . . 8
172171a1i 11 . . . . . . 7
173 2t1e2 10755 . . . . . . . 8
1743nnge1d 10649 . . . . . . . . 9
175 eluzelre 11166 . . . . . . . . . 10
176 2pos 10698 . . . . . . . . . . . 12
177169, 176pm3.2i 457 . . . . . . . . . . 11
178177a1i 11 . . . . . . . . . 10
179 lemul2 10455 . . . . . . . . . 10
180168, 175, 178, 179syl3anc 1267 . . . . . . . . 9
181174, 180mpbid 214 . . . . . . . 8
182173, 181syl5eqbrr 4436 . . . . . . 7
183168, 170, 21, 172, 182ltletrd 9792 . . . . . 6
18421, 183rplogcld 23571 . . . . 5
18541, 24, 184lemul1d 11378 . . . 4 π π π π
186167, 185mpbid 214 . . 3 π π
18716, 42, 30, 162, 186letrd 9789 . 2 π
18810, 16, 30, 34, 187ltletrd 9792 1 π
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   wceq 1443   wcel 1886   cdif 3400   cin 3402   wss 3403  cif 3880   class class class wbr 4401  cfv 5581  (class class class)co 6288  cfn 7566  cc 9534  cr 9535  cc0 9536  c1 9537   cmul 9541   clt 9672   cle 9673   cdiv 10266  cn 10606  c2 10656  c4 10658  cn0 10866  cz 10934  cuz 11156  crp 11299  cfz 11781  cexp 12269   cbc 12484  chash 12512  csu 13745  ce 14107  cprime 14615   cpc 14779  clog 23497  πcppi 24013 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-pc 14780  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-ppi 24019 This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  24302
 Copyright terms: Public domain W3C validator