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Theorem chebbnd1lem1 23410
Description: Lemma for chebbnd1 23413: show a lower bound on π ( x ) at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 23324. (Note that the expression  K is actually equal to  2  x.  N, but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 23315, which shows that each term in the expansion  ( (
2  x.  N )  _C  N )  = 
prod_ p  e.  Prime  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) is at most  2  x.  N, so that the sum really only has nonzero elements up to  2  x.  N, and since each term is at most  2  x.  N, after taking logs we get the inequality π ( 2  x.  N
)  x.  log (
2  x.  N )  <_  log ( ( 2  x.  N )  _C  N ), and bclbnd 23311 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem1.1  |-  K  =  if ( ( 2  x.  N )  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 10695 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
2 eluznn 11152 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  N  e.  NN )
31, 2mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  NN )
43nnnn0d 10852 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  NN0 )
5 nnexpcl 12147 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ N
)  e.  NN )
61, 4, 5sylancr 663 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4 ^ N )  e.  NN )
76nnrpd 11255 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4 ^ N )  e.  RR+ )
83nnrpd 11255 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  RR+ )
97, 8rpdivcld 11273 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  e.  RR+ )
109relogcld 22764 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  e.  RR )
11 fzctr 11784 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
124, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
13 bccl2 12369 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  NN )
1514nnrpd 11255 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  RR+ )
1615relogcld 22764 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  RR )
17 2z 10896 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
18 eluzelz 11091 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  ZZ )
19 zmulcl 10911 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2017, 18, 19sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
2120zred 10966 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
22 ppicl 23161 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  ->  (π `  ( 2  x.  N
) )  e.  NN0 )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  (
2  x.  N ) )  e.  NN0 )
2423nn0red 10853 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
25 2nn 10693 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
26 nnmulcl 10559 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2725, 3, 26sylancr 663 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
2827nnrpd 11255 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
2928relogcld 22764 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
3024, 29remulcld 9624 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  ( 2  x.  N
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
31 bclbnd 23311 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
32 logltb 22740 . . . 4  |-  ( ( ( ( 4 ^ N )  /  N
)  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  RR+ )  ->  (
( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
2  x.  N )  _C  N )  <->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
339, 15, 32syl2anc 661 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
( 4 ^ N
)  /  N )  <  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  <->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
3431, 33mpbid 210 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )
35 chebbnd1lem1.1 . . . . . . . 8  |-  K  =  if ( ( 2  x.  N )  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
36 ifcl 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  N )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN )
3727, 14, 36syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  if (
( 2  x.  N
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N
) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN )
3835, 37syl5eqel 2559 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  e.  NN )
3938nnred 10551 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  e.  RR )
40 ppicl 23161 . . . . . 6  |-  ( K  e.  RR  ->  (π `  K )  e.  NN0 )
4139, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  e.  NN0 )
4241nn0red 10853 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  e.  RR )
4342, 29remulcld 9624 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
44 fzfid 12051 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1 ... K )  e. 
Fin )
45 inss1 3718 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  C_  (
1 ... K )
46 ssfi 7740 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... K
)  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) 
C_  ( 1 ... K ) )  -> 
( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  e.  Fin )
4744, 45, 46sylancl 662 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
4838nnzd 10965 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  e.  ZZ )
4914nnzd 10965 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  ZZ )
5014nnred 10551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  RR )
51 min2 11390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  N )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
5221, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  if (
( 2  x.  N
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N
) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
5335, 52syl5eqbr 4480 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )
54 eluz2 11088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e.  ZZ  /\  K  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
5548, 49, 53, 54syl3anbrc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
56 fzss2 11723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( 1 ... K )  C_  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1 ... K )  C_  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
58 ssrin 3723 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... K ) 
C_  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  ->  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime )  C_  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime )  C_  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime ) )
6059sselda 3504 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
61 inss1 3718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime )  C_  (
1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
62 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
6361, 62sseldi 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
64 elfznn 11714 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  ->  k  e.  NN )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  NN )
66 inss2 3719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime )  C_  Prime
6766, 62sseldi 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  Prime )
6814adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  NN )
6967, 68pccld 14233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
7065, 69nnexpcld 12299 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  NN )
7170nnrpd 11255 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR+ )
7271relogcld 22764 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  RR )
7360, 72syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  RR )
7429adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
75 elin 3687 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime )  <->  ( k  e.  ( 1 ... K
)  /\  k  e.  Prime ) )
7675simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime )  ->  k  e. 
Prime )
77 bposlem1 23315 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  Prime )  -> 
( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
783, 76, 77syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
7960, 71syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR+ )
8079reeflogd 22765 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )  =  ( k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
8128adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
8281reeflogd 22765 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( 2  x.  N ) )
8378, 80, 823brtr4d 4477 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
84 efle 13714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  RR  /\  ( log `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  <_  ( log `  ( 2  x.  N
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) ) )
8573, 74, 84syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( ( log `  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )  <_ 
( log `  (
2  x.  N ) )  <->  ( exp `  ( log `  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
8683, 85mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  <_  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )
8747, 73, 74, 86fsumle 13576 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) ) )
8872recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  CC )
8960, 88syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  CC )
90 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) )  ->  -.  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  -.  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )
92 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )
9392eldifad 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
9461, 93sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
9594, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  NN )
9695adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  NN )
9796nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  RR )
9893, 70syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  NN )
9998nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
10099adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
10121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
10296nncnd 10552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  CC )
103102exp1d 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
1 )  =  k )
10496nnge1d 10578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  1  <_  k
)
105 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN )
106 nnuz 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
107105, 106syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
10897, 104, 107leexp2ad 12310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
1 )  <_  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
109103, 108eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
1103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
11166, 93sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  Prime )
112111adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  Prime )
113110, 112, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
11497, 100, 101, 109, 113letrd 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  (
2  x.  N ) )
115 elfzle2 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
11694, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )
117116adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
11850adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e.  RR )
119 lemin 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )  ->  ( k  <_  if ( ( 2  x.  N )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <->  ( k  <_ 
( 2  x.  N
)  /\  k  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
12097, 101, 118, 119syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  <_  if ( ( 2  x.  N )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <->  ( k  <_ 
( 2  x.  N
)  /\  k  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
121114, 117, 120mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  if ( ( 2  x.  N )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
122121, 35syl6breqr 4487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  K
)
12338adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  K  e.  NN )
124123nnzd 10965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
125 fznn 11747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( 1 ... K )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  <_  K ) ) )
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... K
)  <->  ( k  e.  NN  /\  k  <_  K ) ) )
12796, 122, 126mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  ( 1 ... K ) )
128127, 112elind 3688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... K
)  i^i  Prime ) )
129128expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN  ->  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ) )
13091, 129mtod 177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  -.  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN )
13193, 69syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
132 elnn0 10797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0  <->  ( ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN  \/  ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
133131, 132sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN  \/  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
134133ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( -.  ( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN  ->  ( k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
135130, 134mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  =  0 )
136135oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  =  ( k ^ 0 ) )
13795nncnd 10552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  CC )
138137exp0d 12272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ 0 )  =  1 )
139136, 138eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  =  1 )
140139fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( log `  1 ) )
141 log1 22726 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
142140, 141syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  0 )
143 fzfid 12051 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e. 
Fin )
144 ssfi 7740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) 
C_  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )  -> 
( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime )  e.  Fin )
145143, 61, 144sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
14659, 89, 142, 145fsumss 13510 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )
14765nnrpd 11255 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  RR+ )
14869nn0zd 10964 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  ZZ )
149 relogexp 22736 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  ZZ )  -> 
( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  x.  ( log `  k
) ) )
150147, 148, 149syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) ) )
151150sumeq2dv 13488 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) ) )
152 pclogsum 23246 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) )  =  ( log `  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
15314, 152syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) )  =  ( log `  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
154146, 151, 1533eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
15529recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  CC )
156 fsumconst 13568 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  e.  Fin  /\  ( log `  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )
15747, 155, 156syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )
15825, 106eleqtri 2553 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
159 ppival2g 23159 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  2  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
(π `  K )  =  ( # `  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )
16048, 158, 159sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  =  ( # `  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ) )
161160oveq1d 6299 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) )
162157, 161eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )
16387, 154, 1623brtr3d 4476 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  (
(π `  K )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
164 min1 11389 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  N )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_ 
( 2  x.  N
) )
16521, 50, 164syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  if (
( 2  x.  N
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N
) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
16635, 165syl5eqbr 4480 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  <_  ( 2  x.  N ) )
167 ppiwordi 23192 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  K  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
(π `  K )  <_ 
(π `  ( 2  x.  N ) ) )
16839, 21, 166, 167syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  <_  (π `  (
2  x.  N ) ) )
169 1red 9611 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  e.  RR )
170 2re 10605 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
171170a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  2  e.  RR )
172 1lt2 10702 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
173172a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  <  2 )
174 2t1e2 10684 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1753nnge1d 10578 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  <_  N )
176 eluzelre 11092 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  RR )
177 2pos 10627 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
178170, 177pm3.2i 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
179178a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
180 lemul2 10395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  N 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
181169, 176, 179, 180syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
182175, 181mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) )
183174, 182syl5eqbrr 4481 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  2  <_  ( 2  x.  N ) )
184169, 171, 21, 173, 183ltletrd 9741 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
18521, 184rplogcld 22770 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR+ )
18642, 24, 185lemul1d 11295 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  <_  (π `  ( 2  x.  N
) )  <->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( (π `  (
2  x.  N ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
187168, 186mpbid 210 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( (π `  (
2  x.  N ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) )
18816, 43, 30, 163, 187letrd 9738 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  (
(π `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
18910, 16, 30, 34, 188ltletrd 9741 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   4c4 10587   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220   ...cfz 11672   ^cexp 12134    _C cbc 12348   #chash 12373   sum_csu 13471   expce 13659   Primecprime 14076    pCnt cpc 14219   logclog 22698  πcppi 23123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-ppi 23129
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  23412
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