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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > chebbnd1 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The Chebyshev bound: The
function π![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Ref | Expression |
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chebbnd1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 2re 10707 |
. . . . 5
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2 | pnfxr 11441 |
. . . . 5
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3 | icossre 11744 |
. . . . 5
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4 | 1, 2, 3 | mp2an 683 |
. . . 4
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5 | 4 | a1i 11 |
. . 3
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6 | elicopnf 11759 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 1, 6 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
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8 | 7 | simplbi 466 |
. . . . . . . 8
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9 | 0red 9670 |
. . . . . . . . 9
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10 | 1re 9668 |
. . . . . . . . . 10
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11 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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12 | 0lt1 10164 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 12 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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14 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 1lt2 10805 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | 15 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 7 | simprbi 470 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 11, 14, 8, 16, 17 | ltletrd 9821 |
. . . . . . . . 9
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19 | 9, 11, 8, 13, 18 | lttrd 9822 |
. . . . . . . 8
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20 | 8, 19 | elrpd 11367 |
. . . . . . 7
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21 | 8, 18 | rplogcld 23627 |
. . . . . . 7
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22 | 20, 21 | rpdivcld 11387 |
. . . . . 6
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23 | ppinncl 24150 |
. . . . . . . 8
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24 | 7, 23 | sylbi 200 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | nnrpd 11368 |
. . . . . 6
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26 | 22, 25 | rpdivcld 11387 |
. . . . 5
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27 | 26 | rpcnd 11372 |
. . . 4
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28 | 27 | adantl 472 |
. . 3
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29 | 8re 10722 |
. . . 4
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30 | 29 | a1i 11 |
. . 3
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31 | 2rp 11336 |
. . . . . . . 8
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32 | relogcl 23574 |
. . . . . . . 8
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33 | 31, 32 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
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34 | ere 14192 |
. . . . . . . . 9
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35 | 1, 34 | remulcli 9683 |
. . . . . . . 8
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36 | 2pos 10729 |
. . . . . . . . . 10
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37 | epos 14308 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 1, 34, 36, 37 | mulgt0ii 9794 |
. . . . . . . . 9
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39 | 35, 38 | gt0ne0ii 10178 |
. . . . . . . 8
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40 | 35, 39 | rereccli 10400 |
. . . . . . 7
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41 | 33, 40 | resubcli 9962 |
. . . . . 6
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42 | 2t1e2 10787 |
. . . . . . . . . 10
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43 | egt2lt3 14307 |
. . . . . . . . . . . . 13
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44 | 43 | simpli 464 |
. . . . . . . . . . . 12
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45 | 10, 1, 34 | lttri 9786 |
. . . . . . . . . . . 12
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46 | 15, 44, 45 | mp2an 683 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | 10, 34, 1 | ltmul2i 10556 |
. . . . . . . . . . . 12
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48 | 36, 47 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 46, 48 | mpbi 213 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 42, 49 | eqbrtrri 4438 |
. . . . . . . . 9
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51 | 1, 35, 36, 38 | ltrecii 10551 |
. . . . . . . . 9
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52 | 50, 51 | mpbi 213 |
. . . . . . . 8
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53 | 43 | simpri 468 |
. . . . . . . . . . . 12
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54 | 3lt4 10808 |
. . . . . . . . . . . 12
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55 | 3re 10711 |
. . . . . . . . . . . . 13
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56 | 4re 10714 |
. . . . . . . . . . . . 13
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57 | 34, 55, 56 | lttri 9786 |
. . . . . . . . . . . 12
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58 | 53, 54, 57 | mp2an 683 |
. . . . . . . . . . 11
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59 | epr 14309 |
. . . . . . . . . . . 12
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60 | 4pos 10733 |
. . . . . . . . . . . . 13
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61 | 56, 60 | elrpii 11334 |
. . . . . . . . . . . 12
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62 | logltb 23598 |
. . . . . . . . . . . 12
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63 | 59, 61, 62 | mp2an 683 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | 58, 63 | mpbi 213 |
. . . . . . . . . 10
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65 | loge 23585 |
. . . . . . . . . 10
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66 | sq2 12403 |
. . . . . . . . . . . 12
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67 | 66 | fveq2i 5891 |
. . . . . . . . . . 11
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68 | 2z 10998 |
. . . . . . . . . . . 12
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69 | relogexp 23594 |
. . . . . . . . . . . 12
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70 | 31, 68, 69 | mp2an 683 |
. . . . . . . . . . 11
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71 | 67, 70 | eqtr3i 2486 |
. . . . . . . . . 10
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72 | 64, 65, 71 | 3brtr3i 4444 |
. . . . . . . . 9
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73 | 1, 36 | pm3.2i 461 |
. . . . . . . . . 10
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74 | ltdivmul 10508 |
. . . . . . . . . 10
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75 | 10, 33, 73, 74 | mp3an 1373 |
. . . . . . . . 9
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76 | 72, 75 | mpbir 214 |
. . . . . . . 8
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77 | halfre 10857 |
. . . . . . . . 9
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78 | 40, 77, 33 | lttri 9786 |
. . . . . . . 8
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79 | 52, 76, 78 | mp2an 683 |
. . . . . . 7
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80 | 40, 33 | posdifi 10192 |
. . . . . . 7
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81 | 79, 80 | mpbi 213 |
. . . . . 6
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82 | 41, 81 | elrpii 11334 |
. . . . 5
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83 | rerpdivcl 11359 |
. . . . 5
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84 | 1, 82, 83 | mp2an 683 |
. . . 4
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85 | 84 | a1i 11 |
. . 3
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86 | rpre 11337 |
. . . . . . . 8
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87 | rpge0 11343 |
. . . . . . . 8
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88 | 86, 87 | absidd 13533 |
. . . . . . 7
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89 | 26, 88 | syl 17 |
. . . . . 6
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90 | 89 | adantr 471 |
. . . . 5
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91 | eqid 2462 |
. . . . . . . . . 10
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92 | 91 | chebbnd1lem3 24358 |
. . . . . . . . 9
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93 | 8, 92 | sylan 478 |
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94 | 1 | recni 9681 |
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95 | 2ne0 10730 |
. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . . 10
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98 | recdiv 10341 |
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99 | 94, 95, 96, 97, 98 | mp4an 684 |
. . . . . . . . 9
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100 | 99 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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101 | 22 | rpcnd 11372 |
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103 | 22 | rpne0d 11375 |
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104 | 24 | nnne0d 10682 |
. . . . . . . . . . 11
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105 | 101, 102, 103, 104 | recdivd 10428 |
. . . . . . . . . 10
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106 | 102, 101, 103 | divrecd 10414 |
. . . . . . . . . 10
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107 | 20 | rpcnne0d 11379 |
. . . . . . . . . . . 12
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108 | 21 | rpcnne0d 11379 |
. . . . . . . . . . . 12
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109 | recdiv 10341 |
. . . . . . . . . . . 12
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110 | 107, 108, 109 | syl2anc 671 |
. . . . . . . . . . 11
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111 | 110 | oveq2d 6331 |
. . . . . . . . . 10
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112 | 105, 106, 111 | 3eqtrd 2500 |
. . . . . . . . 9
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113 | 112 | adantr 471 |
. . . . . . . 8
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114 | 93, 100, 113 | 3brtr4d 4447 |
. . . . . . 7
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115 | 26 | adantr 471 |
. . . . . . . 8
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116 | elrp 11333 |
. . . . . . . . 9
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117 | 1, 41, 36, 81 | divgt0ii 10552 |
. . . . . . . . . 10
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118 | ltrec 10516 |
. . . . . . . . . 10
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119 | 84, 117, 118 | mpanr12 696 |
. . . . . . . . 9
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120 | 116, 119 | sylbi 200 |
. . . . . . . 8
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121 | 115, 120 | syl 17 |
. . . . . . 7
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122 | 114, 121 | mpbird 240 |
. . . . . 6
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123 | 115 | rpred 11370 |
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124 | ltle 9748 |
. . . . . . 7
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125 | 123, 84, 124 | sylancl 673 |
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126 | 122, 125 | mpd 15 |
. . . . 5
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127 | 90, 126 | eqbrtrd 4437 |
. . . 4
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128 | 127 | adantl 472 |
. . 3
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129 | 5, 28, 30, 85, 128 | elo1d 13649 |
. 2
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130 | 129 | trud 1464 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1680 ax-4 1693 ax-5 1769 ax-6 1816 ax-7 1862 ax-8 1900 ax-9 1907 ax-10 1926 ax-11 1931 ax-12 1944 ax-13 2102 ax-ext 2442 ax-rep 4529 ax-sep 4539 ax-nul 4548 ax-pow 4595 ax-pr 4653 ax-un 6610 ax-inf2 8172 ax-cnex 9621 ax-resscn 9622 ax-1cn 9623 ax-icn 9624 ax-addcl 9625 ax-addrcl 9626 ax-mulcl 9627 ax-mulrcl 9628 ax-mulcom 9629 ax-addass 9630 ax-mulass 9631 ax-distr 9632 ax-i2m1 9633 ax-1ne0 9634 ax-1rid 9635 ax-rnegex 9636 ax-rrecex 9637 ax-cnre 9638 ax-pre-lttri 9639 ax-pre-lttrn 9640 ax-pre-ltadd 9641 ax-pre-mulgt0 9642 ax-pre-sup 9643 ax-addf 9644 ax-mulf 9645 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1458 df-fal 1461 df-ex 1675 df-nf 1679 df-sb 1809 df-eu 2314 df-mo 2315 df-clab 2449 df-cleq 2455 df-clel 2458 df-nfc 2592 df-ne 2635 df-nel 2636 df-ral 2754 df-rex 2755 df-reu 2756 df-rmo 2757 df-rab 2758 df-v 3059 df-sbc 3280 df-csb 3376 df-dif 3419 df-un 3421 df-in 3423 df-ss 3430 df-pss 3432 df-nul 3744 df-if 3894 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-tp 3985 df-op 3987 df-uni 4213 df-int 4249 df-iun 4294 df-iin 4295 df-br 4417 df-opab 4476 df-mpt 4477 df-tr 4512 df-eprel 4764 df-id 4768 df-po 4774 df-so 4775 df-fr 4812 df-se 4813 df-we 4814 df-xp 4859 df-rel 4860 df-cnv 4861 df-co 4862 df-dm 4863 df-rn 4864 df-res 4865 df-ima 4866 df-pred 5399 df-ord 5445 df-on 5446 df-lim 5447 df-suc 5448 df-iota 5565 df-fun 5603 df-fn 5604 df-f 5605 df-f1 5606 df-fo 5607 df-f1o 5608 df-fv 5609 df-isom 5610 df-riota 6277 df-ov 6318 df-oprab 6319 df-mpt2 6320 df-of 6558 df-om 6720 df-1st 6820 df-2nd 6821 df-supp 6942 df-wrecs 7054 df-recs 7116 df-rdg 7154 df-1o 7208 df-2o 7209 df-oadd 7212 df-er 7389 df-map 7500 df-pm 7501 df-ixp 7549 df-en 7596 df-dom 7597 df-sdom 7598 df-fin 7599 df-fsupp 7910 df-fi 7951 df-sup 7982 df-inf 7983 df-oi 8051 df-card 8399 df-cda 8624 df-pnf 9703 df-mnf 9704 df-xr 9705 df-ltxr 9706 df-le 9707 df-sub 9888 df-neg 9889 df-div 10298 df-nn 10638 df-2 10696 df-3 10697 df-4 10698 df-5 10699 df-6 10700 df-7 10701 df-8 10702 df-9 10703 df-10 10704 df-n0 10899 df-z 10967 df-dec 11081 df-uz 11189 df-q 11294 df-rp 11332 df-xneg 11438 df-xadd 11439 df-xmul 11440 df-ioo 11668 df-ioc 11669 df-ico 11670 df-icc 11671 df-fz 11814 df-fzo 11947 df-fl 12060 df-mod 12129 df-seq 12246 df-exp 12305 df-fac 12492 df-bc 12520 df-hash 12548 df-shft 13179 df-cj 13211 df-re 13212 df-im 13213 df-sqrt 13347 df-abs 13348 df-limsup 13575 df-clim 13601 df-rlim 13602 df-o1 13603 df-lo1 13604 df-sum 13802 df-ef 14170 df-e 14171 df-sin 14172 df-cos 14173 df-pi 14175 df-dvds 14355 df-gcd 14518 df-prm 14672 df-pc 14836 df-struct 15172 df-ndx 15173 df-slot 15174 df-base 15175 df-sets 15176 df-ress 15177 df-plusg 15252 df-mulr 15253 df-starv 15254 df-sca 15255 df-vsca 15256 df-ip 15257 df-tset 15258 df-ple 15259 df-ds 15261 df-unif 15262 df-hom 15263 df-cco 15264 df-rest 15370 df-topn 15371 df-0g 15389 df-gsum 15390 df-topgen 15391 df-pt 15392 df-prds 15395 df-xrs 15449 df-qtop 15455 df-imas 15456 df-xps 15459 df-mre 15541 df-mrc 15542 df-acs 15544 df-mgm 16537 df-sgrp 16576 df-mnd 16586 df-submnd 16632 df-mulg 16725 df-cntz 17020 df-cmn 17481 df-psmet 19011 df-xmet 19012 df-met 19013 df-bl 19014 df-mopn 19015 df-fbas 19016 df-fg 19017 df-cnfld 19020 df-top 19970 df-bases 19971 df-topon 19972 df-topsp 19973 df-cld 20083 df-ntr 20084 df-cls 20085 df-nei 20163 df-lp 20201 df-perf 20202 df-cn 20292 df-cnp 20293 df-haus 20380 df-tx 20626 df-hmeo 20819 df-fil 20910 df-fm 21002 df-flim 21003 df-flf 21004 df-xms 21384 df-ms 21385 df-tms 21386 df-cncf 21959 df-limc 22870 df-dv 22871 df-log 23555 df-ppi 24075 |
This theorem is referenced by: chtppilimlem2 24361 chto1lb 24365 |
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