HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chcv2 Structured version   Unicode version

Theorem chcv2 25779
Description: The Hilbert lattice has the covering property. (Contributed by NM, 11-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chcv2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( A  C.  ( A  vH  B )  <->  A  <oH  ( A  vH  B ) ) )

Proof of Theorem chcv2
StepHypRef Expression
1 atelch 25767 . . 3  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
2 chnle 24936 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( -.  B  C_  A 
<->  A  C.  ( A  vH  B ) ) )
31, 2sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( -.  B  C_  A  <->  A 
C.  ( A  vH  B ) ) )
4 chcv1 25778 . 2  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( -.  B  C_  A  <->  A 
<oH  ( A  vH  B
) ) )
53, 4bitr3d 255 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( A  C.  ( A  vH  B )  <->  A  <oH  ( A  vH  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756    C_ wss 3347    C. wpss 3348   class class class wbr 4311  (class class class)co 6110   CHcch 24350    vH chj 24354    <oH ccv 24385  HAtomscat 24386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cc 8623  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380  ax-mulf 9381  ax-hilex 24420  ax-hfvadd 24421  ax-hvcom 24422  ax-hvass 24423  ax-hv0cl 24424  ax-hvaddid 24425  ax-hfvmul 24426  ax-hvmulid 24427  ax-hvmulass 24428  ax-hvdistr1 24429  ax-hvdistr2 24430  ax-hvmul0 24431  ax-hfi 24500  ax-his1 24503  ax-his2 24504  ax-his3 24505  ax-his4 24506  ax-hcompl 24623
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-omul 6944  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-acn 8131  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-clim 12985  df-rlim 12986  df-sum 13183  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-hom 14281  df-cco 14282  df-rest 14380  df-topn 14381  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-topgen 14401  df-pt 14402  df-prds 14405  df-xrs 14459  df-qtop 14464  df-imas 14465  df-xps 14467  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-mulg 15567  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-fbas 17833  df-fg 17834  df-cnfld 17838  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-topsp 18526  df-cld 18642  df-ntr 18643  df-cls 18644  df-nei 18721  df-cn 18850  df-cnp 18851  df-lm 18852  df-haus 18938  df-tx 19154  df-hmeo 19347  df-fil 19438  df-fm 19530  df-flim 19531  df-flf 19532  df-xms 19914  df-ms 19915  df-tms 19916  df-cfil 20785  df-cau 20786  df-cmet 20787  df-grpo 23697  df-gid 23698  df-ginv 23699  df-gdiv 23700  df-ablo 23788  df-subgo 23808  df-vc 23943  df-nv 23989  df-va 23992  df-ba 23993  df-sm 23994  df-0v 23995  df-vs 23996  df-nmcv 23997  df-ims 23998  df-dip 24115  df-ssp 24139  df-ph 24232  df-cbn 24283  df-hnorm 24389  df-hba 24390  df-hvsub 24392  df-hlim 24393  df-hcau 24394  df-sh 24628  df-ch 24643  df-oc 24674  df-ch0 24675  df-shs 24730  df-span 24731  df-chj 24732  df-pjh 24817  df-cv 25702  df-at 25761
This theorem is referenced by:  cvbr4i  25790  atexch  25804
  Copyright terms: Public domain W3C validator