HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chcompl Structured version   Unicode version

Theorem chcompl 24643
Description: Completeness of a closed subspace of Hilbert space. (Contributed by NM, 4-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chcompl  |-  ( ( H  e.  CH  /\  F  e.  Cauchy  /\  F : NN --> H )  ->  E. x  e.  H  F  ~~>v  x )
Distinct variable groups:    x, H    x, F

Proof of Theorem chcompl
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isch3 24642 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  <->  ( H  e.  SH  /\  A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> H  ->  E. x  e.  H  f  ~~>v  x ) ) )
21simprbi 464 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> H  ->  E. x  e.  H  f  ~~>v  x ) )
3 feq1 5540 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f : NN --> H  <->  F : NN
--> H ) )
4 breq1 4293 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  ~~>v  x  <->  F  ~~>v  x ) )
54rexbidv 2734 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( E. x  e.  H  f  ~~>v  x  <->  E. x  e.  H  F  ~~>v  x ) )
63, 5imbi12d 320 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : NN --> H  ->  E. x  e.  H  f  ~~>v  x )  <->  ( F : NN --> H  ->  E. x  e.  H  F  ~~>v  x ) ) )
76rspccv 3068 . . 3  |-  ( A. f  e.  Cauchy  ( f : NN --> H  ->  E. x  e.  H  f  ~~>v  x )  -> 
( F  e.  Cauchy  -> 
( F : NN --> H  ->  E. x  e.  H  F  ~~>v  x ) ) )
82, 7syl 16 . 2  |-  ( H  e.  CH  ->  ( F  e.  Cauchy  ->  ( F : NN --> H  ->  E. x  e.  H  F  ~~>v  x ) ) )
983imp 1181 1  |-  ( ( H  e.  CH  /\  F  e.  Cauchy  /\  F : NN --> H )  ->  E. x  e.  H  F  ~~>v  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   class class class wbr 4290   -->wf 5412   NNcn 10320   Cauchyccau 24326    ~~>v chli 24327   SHcsh 24328   CHcch 24329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360  ax-hilex 24399  ax-hfvadd 24400  ax-hvcom 24401  ax-hvass 24402  ax-hv0cl 24403  ax-hvaddid 24404  ax-hfvmul 24405  ax-hvmulid 24406  ax-hvmulass 24407  ax-hvdistr1 24408  ax-hvdistr2 24409  ax-hvmul0 24410  ax-hfi 24479  ax-his1 24482  ax-his2 24483  ax-his3 24484  ax-his4 24485  ax-hcompl 24602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-icc 11305  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-topgen 14380  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-lm 18831  df-haus 18917  df-cau 20765  df-grpo 23676  df-gid 23677  df-ginv 23678  df-gdiv 23679  df-ablo 23767  df-vc 23922  df-nv 23968  df-va 23971  df-ba 23972  df-sm 23973  df-0v 23974  df-vs 23975  df-nmcv 23976  df-ims 23977  df-hnorm 24368  df-hvsub 24371  df-hlim 24372  df-hcau 24373  df-ch 24622
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator