Theorem ch0 10731

Description: The zero vector belongs to any closed subspace of a Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
ch0	|- (H e. CH -> 0h e. H)

Proof of Theorem ch0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 10729	. 2 |- (H e. CH -> H e. SH)
2		sh0 10717	. 2 |- (H e. SH -> 0h e. H)
3	1, 2	syl 12	1 |- (H e. CH -> 0h e. H)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  0hc0v 10423  SHcsh 10429  CHcch 10430

This theorem is referenced by:  projlem8 10826  projlem16 10834  projlem20 10838  pjthlem14 10865  pjthi 10866  omlsii 10878  nonbooli 11231  strlem1 11822

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-sh 10709  df-ch 10725

Copyright terms: Public domain