Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrtr3and Structured version   Unicode version

Theorem cgrtr3and 28026
Description: Deduction form of cgrtr3 28025. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cgrtr3and.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cgrtr3and.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.8  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )
cgrtr3and.9  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  F >. )
Assertion
Ref Expression
cgrtr3and  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )

Proof of Theorem cgrtr3and
StepHypRef Expression
1 cgrtr3and.8 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )
2 cgrtr3and.9 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  F >. )
3 cgrtr3and.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 cgrtr3and.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
5 cgrtr3and.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
6 cgrtr3and.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
7 cgrtr3and.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
8 cgrtr3and.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( EE
`  N ) )
9 cgrtr3and.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( EE
`  N ) )
10 cgrtr3 28025 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10syl133anc 1241 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
1211adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
131, 2, 12mp2and 679 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   <.cop 3883   class class class wbr 4292   ` cfv 5418   NNcn 10322   EEcee 23134  Cgrccgr 23136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-sum 13164  df-ee 23137  df-cgr 23139
This theorem is referenced by:  btwnconn1lem1  28118  btwnconn1lem3  28120  btwnconn1lem4  28121  btwnconn1lem5  28122  btwnconn1lem6  28123  btwnconn1lem9  28126  outsideofeq  28161
  Copyright terms: Public domain W3C validator