Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrtr3and Structured version   Unicode version

Theorem cgrtr3and 30306
Description: Deduction form of cgrtr3 30305. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cgrtr3and.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cgrtr3and.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( EE
`  N ) )
cgrtr3and.8  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )
cgrtr3and.9  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  F >. )
Assertion
Ref Expression
cgrtr3and  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )

Proof of Theorem cgrtr3and
StepHypRef Expression
1 cgrtr3and.8 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )
2 cgrtr3and.9 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  F >. )
3 cgrtr3and.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 cgrtr3and.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
5 cgrtr3and.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
6 cgrtr3and.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
7 cgrtr3and.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
8 cgrtr3and.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( EE
`  N ) )
9 cgrtr3and.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( EE
`  N ) )
10 cgrtr3 30305 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10syl133anc 1253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
1211adantr 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
131, 2, 12mp2and 677 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842   <.cop 3977   class class class wbr 4394   ` cfv 5525   NNcn 10496   EEcee 24489  Cgrccgr 24491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-seq 12062  df-exp 12121  df-sum 13565  df-ee 24492  df-cgr 24494
This theorem is referenced by:  btwnconn1lem1  30398  btwnconn1lem3  30400  btwnconn1lem4  30401  btwnconn1lem5  30402  btwnconn1lem6  30403  btwnconn1lem9  30406  outsideofeq  30441
  Copyright terms: Public domain W3C validator