Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrcomland Structured version   Unicode version

Theorem cgrcomland 29212
Description: Deduction form of cgrcoml 29209. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cgrcomlrand.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cgrcomlrand.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomlrand.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomlrand.4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomlrand.5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomlrand.6  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
Assertion
Ref Expression
cgrcomland  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. B ,  A >.Cgr <. C ,  D >. )

Proof of Theorem cgrcomland
StepHypRef Expression
1 cgrcomlrand.6 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
2 cgrcomlrand.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 cgrcomlrand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
4 cgrcomlrand.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
5 cgrcomlrand.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
6 cgrcomlrand.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
7 cgrcoml 29209 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >.  <->  <. B ,  A >.Cgr <. C ,  D >. ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7syl122anc 1232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  <. B ,  A >.Cgr <. C ,  D >. ) )
98adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  <. B ,  A >.Cgr <. C ,  D >. ) )
101, 9mpbid 210 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. B ,  A >.Cgr <. C ,  D >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762   <.cop 4026   class class class wbr 4440   ` cfv 5579   NNcn 10525   EEcee 23860  Cgrccgr 23862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-seq 12064  df-exp 12123  df-sum 13458  df-ee 23863  df-cgr 23865
This theorem is referenced by:  cgrcomlrand  29214  btwnconn1lem1  29300  btwnconn1lem3  29302  btwnconn1lem4  29303
  Copyright terms: Public domain W3C validator