Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrcomand Structured version   Unicode version

Theorem cgrcomand 28020
Description: Deduction form of cgrcom 28019. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cgrcomand.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cgrcomand.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomand.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomand.4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomand.5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomand.6  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
Assertion
Ref Expression
cgrcomand  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. )

Proof of Theorem cgrcomand
StepHypRef Expression
1 cgrcomand.6 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
2 cgrcomand.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 cgrcomand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
4 cgrcomand.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
5 cgrcomand.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
6 cgrcomand.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
7 cgrcom 28019 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7syl122anc 1227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. ) )
98adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. ) )
101, 9mpbid 210 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   <.cop 3881   class class class wbr 4290   ` cfv 5416   NNcn 10320   EEcee 23132  Cgrccgr 23134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-seq 11805  df-exp 11864  df-sum 13162  df-ee 23135  df-cgr 23137
This theorem is referenced by:  cgrtr  28021  cgrtr3  28023  cgrxfr  28084  btwnconn1lem1  28116  btwnconn1lem6  28121  btwnconn1lem10  28125  btwnconn1lem11  28126  btwnconn1lem12  28127  midofsegid  28133  brsegle2  28138  outsideofeq  28159
  Copyright terms: Public domain W3C validator