Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrcomand Structured version   Unicode version

Theorem cgrcomand 29234
Description: Deduction form of cgrcom 29233. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cgrcomand.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cgrcomand.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomand.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomand.4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomand.5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomand.6  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
Assertion
Ref Expression
cgrcomand  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. )

Proof of Theorem cgrcomand
StepHypRef Expression
1 cgrcomand.6 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
2 cgrcomand.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 cgrcomand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
4 cgrcomand.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
5 cgrcomand.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
6 cgrcomand.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
7 cgrcom 29233 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7syl122anc 1237 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. ) )
98adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. ) )
101, 9mpbid 210 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ` cfv 5587   NNcn 10535   EEcee 23883  Cgrccgr 23885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-seq 12075  df-exp 12134  df-sum 13471  df-ee 23886  df-cgr 23888
This theorem is referenced by:  cgrtr  29235  cgrtr3  29237  cgrxfr  29298  btwnconn1lem1  29330  btwnconn1lem6  29335  btwnconn1lem10  29339  btwnconn1lem11  29340  btwnconn1lem12  29341  midofsegid  29347  brsegle2  29352  outsideofeq  29373
  Copyright terms: Public domain W3C validator