Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cgrcomand Structured version   Unicode version

Theorem cgrcomand 29616
Description: Deduction form of cgrcom 29615. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cgrcomand.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
cgrcomand.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomand.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomand.4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomand.5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
cgrcomand.6  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
Assertion
Ref Expression
cgrcomand  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. )

Proof of Theorem cgrcomand
StepHypRef Expression
1 cgrcomand.6 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
2 cgrcomand.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 cgrcomand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
4 cgrcomand.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( EE
`  N ) )
5 cgrcomand.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( EE
`  N ) )
6 cgrcomand.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( EE
`  N ) )
7 cgrcom 29615 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7syl122anc 1238 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. ) )
98adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. ) )
101, 9mpbid 210 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  B >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   <.cop 4020   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   NNcn 10542   EEcee 24063  Cgrccgr 24065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-seq 12087  df-exp 12146  df-sum 13488  df-ee 24066  df-cgr 24068
This theorem is referenced by:  cgrtr  29617  cgrtr3  29619  cgrxfr  29680  btwnconn1lem1  29712  btwnconn1lem6  29717  btwnconn1lem10  29721  btwnconn1lem11  29722  btwnconn1lem12  29723  midofsegid  29729  brsegle2  29734  outsideofeq  29755
  Copyright terms: Public domain W3C validator