MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgrancol Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cgrancol 24949
Description: Angle congruence preserves non-colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
cgracol.i  |-  I  =  (Itv `  G )
cgracol.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
cgracol.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
cgracol.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
cgracol.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
cgracol.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
cgracol.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
cgracol.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
cgracol.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
cgracol.1  |-  ( ph  ->  <" A B C "> (cgrA `  G ) <" D E F "> )
cgrancol.l  |-  L  =  (LineG `  G )
cgrancol.2  |-  ( ph  ->  -.  ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
Assertion
Ref Expression
cgrancol  |-  ( ph  ->  -.  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )

Proof of Theorem cgrancol
StepHypRef Expression
1 cgracol.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 cgracol.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
3 cgracol.m . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
4 cgracol.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )  ->  G  e. TarskiG )
6 cgracol.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
76adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )  ->  D  e.  P )
8 cgracol.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
98adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )  ->  E  e.  P )
10 cgracol.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
1110adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )  ->  F  e.  P )
12 cgracol.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1312adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )  ->  A  e.  P )
14 cgracol.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1514adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )  ->  B  e.  P )
16 cgracol.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1716adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )  ->  C  e.  P )
18 eqid 2471 . . . 4  |-  (hlG `  G )  =  (hlG
`  G )
19 cgracol.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" A B C "> (cgrA `  G ) <" D E F "> )
2019adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )  ->  <" A B C "> (cgrA `  G ) <" D E F "> )
211, 2, 5, 18, 13, 15, 17, 7, 9, 11, 20cgracom 24943 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )  ->  <" D E F "> (cgrA `  G ) <" A B C "> )
22 cgrancol.l . . 3  |-  L  =  (LineG `  G )
23 simpr 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )  -> 
( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )
241, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 22, 23cgracol 24948 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )  -> 
( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
25 cgrancol.2 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
2625adantr 472 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )  ->  -.  ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
2724, 26pm2.65da 586 1  |-  ( ph  ->  -.  ( F  e.  ( D L E )  \/  D  =  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   <"cs3 12997   Basecbs 15199   distcds 15277  TarskiGcstrkg 24557  Itvcitv 24563  LineGclng 24564  hlGchlg 24724  cgrAccgra 24928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-trkgc 24575  df-trkgb 24576  df-trkgcb 24577  df-trkg 24580  df-cgrg 24635  df-leg 24707  df-hlg 24725  df-cgra 24929
This theorem is referenced by:  acopyeu  24954  tgasa1  24968
  Copyright terms: Public domain W3C validator