MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgr3swap23 Structured version   Unicode version

Theorem cgr3swap23 23636
Description: Permutation law for three-place congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tgcgrxfr.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
tgcgrxfr.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tgcgrxfr.r  |-  .~  =  (cgrG `  G )
tgcgrxfr.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tgbtwnxfr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tgbtwnxfr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tgbtwnxfr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
tgbtwnxfr.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
tgbtwnxfr.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
tgbtwnxfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
tgbtwnxfr.2  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  .~  <" D E F "> )
Assertion
Ref Expression
cgr3swap23  |-  ( ph  ->  <" A C B ">  .~  <" D F E "> )

Proof of Theorem cgr3swap23
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.p . 2  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tgcgrxfr.m . 2  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 tgcgrxfr.r . 2  |-  .~  =  (cgrG `  G )
4 tgcgrxfr.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
5 tgbtwnxfr.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
6 tgbtwnxfr.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
7 tgbtwnxfr.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
8 tgbtwnxfr.d . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
9 tgbtwnxfr.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
10 tgbtwnxfr.e . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
11 tgcgrxfr.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
12 tgbtwnxfr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  .~  <" D E F "> )
131, 2, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 12cgr3simp3 23634 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( F 
.-  D ) )
141, 2, 11, 4, 6, 5, 9, 8, 13tgcgrcomlr 23592 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F ) )
151, 2, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 12cgr3simp2 23633 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F ) )
161, 2, 11, 4, 7, 6, 10, 9, 15tgcgrcomlr 23592 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  .-  B
)  =  ( F 
.-  E ) )
171, 2, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 12cgr3simp1 23632 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  =  ( D 
.-  E ) )
181, 2, 11, 4, 5, 7, 8, 10, 17tgcgrcomlr 23592 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  .-  A
)  =  ( E 
.-  D ) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18trgcgr 23628 1  |-  ( ph  ->  <" A C B ">  .~  <" D F E "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579   <"cs3 12757   Basecbs 14479   distcds 14553  TarskiGcstrkg 23546  Itvcitv 23553  cgrGccgrg 23623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-s1 12498  df-s2 12763  df-s3 12764  df-trkgc 23565  df-trkgcb 23567  df-trkg 23571  df-cgrg 23624
This theorem is referenced by:  lnxfr  23673  lnext  23674  tgfscgr  23675  legov  23692  legov2  23693  legtrd  23696  symquadlem  23767
  Copyright terms: Public domain W3C validator