MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgr3swap12 Structured version   Unicode version

Theorem cgr3swap12 24293
Description: Permutation law for three-place congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tgcgrxfr.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
tgcgrxfr.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tgcgrxfr.r  |-  .~  =  (cgrG `  G )
tgcgrxfr.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tgbtwnxfr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tgbtwnxfr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tgbtwnxfr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
tgbtwnxfr.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
tgbtwnxfr.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
tgbtwnxfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
tgbtwnxfr.2  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  .~  <" D E F "> )
Assertion
Ref Expression
cgr3swap12  |-  ( ph  ->  <" B A C ">  .~  <" E D F "> )

Proof of Theorem cgr3swap12
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.p . 2  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tgcgrxfr.m . 2  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 tgcgrxfr.r . 2  |-  .~  =  (cgrG `  G )
4 tgcgrxfr.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
5 tgbtwnxfr.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
6 tgbtwnxfr.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
7 tgbtwnxfr.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
8 tgbtwnxfr.e . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
9 tgbtwnxfr.d . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
10 tgbtwnxfr.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
11 tgcgrxfr.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
12 tgbtwnxfr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  .~  <" D E F "> )
131, 2, 11, 3, 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 12cgr3simp1 24290 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  =  ( D 
.-  E ) )
141, 2, 11, 4, 6, 5, 9, 8, 13tgcgrcomlr 24250 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  .-  A
)  =  ( E 
.-  D ) )
151, 2, 11, 3, 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 12cgr3simp3 24292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( F 
.-  D ) )
161, 2, 11, 4, 7, 6, 10, 9, 15tgcgrcomlr 24250 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F ) )
171, 2, 11, 3, 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 12cgr3simp2 24291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( E 
.-  F ) )
181, 2, 11, 4, 5, 7, 8, 10, 17tgcgrcomlr 24250 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  .-  B
)  =  ( F 
.-  E ) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18trgcgr 24286 1  |-  ( ph  ->  <" B A C ">  .~  <" E D F "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568   <"cs3 12861   Basecbs 14839   distcds 14916  TarskiGcstrkg 24204  Itvcitv 24210  cgrGccgrg 24281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-hash 12451  df-word 12589  df-concat 12591  df-s1 12592  df-s2 12867  df-s3 12868  df-trkgc 24222  df-trkgcb 24224  df-trkg 24227  df-cgrg 24282
This theorem is referenced by:  cgr3rotr  24295  cgr3rotl  24296  lnxfr  24334  tgfscgr  24336
  Copyright terms: Public domain W3C validator