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Theorem cfslb2n 8458
Description: Any small collection of small subsets of  A cannot have union  A, where "small" means smaller than the cofinality. This is a stronger version of cfslb 8456. This is a common application of cofinality: under AC,  ( aleph `  1
) is regular, so it is not a countable union of countable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfslb.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
cfslb2n  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( B  ~<  ( cf `  A )  ->  U. B  =/=  A
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem cfslb2n
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limord 4799 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
2 ordsson 6422 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
3 sstr 3385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  A  /\  A  C_  On )  ->  x  C_  On )
43expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  On  ->  ( x 
C_  A  ->  x  C_  On ) )
51, 2, 43syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  ( x  C_  A  ->  x  C_  On ) )
6 onsucuni 6460 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  On  ->  x  C_  suc  U. x )
75, 6syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  ( x  C_  A  ->  x  C_  suc  U. x ) )
87adantrd 468 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  x  C_ 
suc  U. x ) )
98ralimdv 2816 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  A. x  e.  B  x  C_  suc  U. x ) )
10 uniiun 4244 . . . . . . 7  |-  U. B  =  U_ x  e.  B  x
11 ss2iun 4207 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  x  C_ 
suc  U. x  ->  U_ x  e.  B  x  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x
)
1210, 11syl5eqss 3421 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  x  C_ 
suc  U. x  ->  U. B  C_ 
U_ x  e.  B  suc  U. x )
139, 12syl6 33 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  U. B  C_ 
U_ x  e.  B  suc  U. x ) )
1413imp 429 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  ->  U. B  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x
)
15 cfslb.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
1615cfslbn 8457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  A  /\  x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A ) )  ->  U. x  e.  A )
17163expib 1190 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  U. x  e.  A ) )
18 ordsucss 6450 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. x  e.  A  ->  suc  U. x  C_  A ) )
191, 17, 18sylsyld 56 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  suc  U. x  C_  A )
)
2019ralimdv 2816 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  A. x  e.  B  suc  U. x  C_  A ) )
21 iunss 4232 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  <->  A. x  e.  B  suc  U. x  C_  A )
2220, 21syl6ibr 227 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A ) )
2322imp 429 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A
)
24 sseq1 3398 . . . . . 6  |-  ( U. B  =  A  ->  ( U. B  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x  <->  A 
C_  U_ x  e.  B  suc  U. x ) )
25 eqss 3392 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A  <->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  /\  A  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x
) )
2625simplbi2com 627 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  U_ x  e.  B  suc  U. x  ->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A ) )
2724, 26syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( U. B  =  A  ->  ( U. B  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x  ->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A ) ) )
2827com3l 81 . . . 4  |-  ( U. B  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x  ->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  ->  ( U. B  =  A  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A ) ) )
2914, 23, 28sylc 60 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( U. B  =  A  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A ) )
30 limsuc 6481 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  ( U. x  e.  A  <->  suc  U. x  e.  A ) )
3117, 30sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  suc  U. x  e.  A ) )
3231ralimdv 2816 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A ) )
3332imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  ->  A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A
)
34 r19.29 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A  /\  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x
)  ->  E. x  e.  B  ( suc  U. x  e.  A  /\  y  =  suc  U. x
) )
35 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  suc  U. x  ->  ( y  e.  A  <->  suc  U. x  e.  A
) )
3635biimparc 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  U. x  e.  A  /\  y  =  suc  U. x )  ->  y  e.  A
)
3736rexlimivw 2858 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  B  ( suc  U. x  e.  A  /\  y  =  suc  U. x )  ->  y  e.  A
)
3834, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A  /\  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x
)  ->  y  e.  A )
3938ex 434 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A  -> 
( E. x  e.  B  y  =  suc  U. x  ->  y  e.  A ) )
4033, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( E. x  e.  B  y  =  suc  U. x  ->  y  e.  A ) )
4140abssdv 3447 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  ->  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  C_  A )
42 vex 2996 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
4342uniex 6397 . . . . . . . 8  |-  U. x  e.  _V
4443sucex 6443 . . . . . . 7  |-  suc  U. x  e.  _V
4544dfiun2 4225 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  U. { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }
4645eqeq1i 2450 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A  <->  U. { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  =  A )
4715cfslb 8456 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  A  /\  {
y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  C_  A  /\  U. { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  =  A )  ->  ( cf `  A )  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x } )
48473expia 1189 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  {
y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  C_  A )  ->  ( U. { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  =  A  ->  ( cf `  A )  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x } ) )
4946, 48syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  {
y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  C_  A )  ->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A  ->  ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x } ) )
5041, 49syldan 470 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A  ->  ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x } ) )
51 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  =  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )
5251rnmpt 5106 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  B  |->  suc  U. x )  =  {
y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }
5344, 51fnmpti 5560 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  Fn  B
54 dffn4 5647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  Fn  B  <->  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) )
5553, 54mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )
56 relsdom 7338 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~<
5756brrelexi 4900 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
~<  ( cf `  A
)  ->  B  e.  _V )
58 breq1 4316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  (
y  ~<  ( cf `  A
)  <->  B  ~<  ( cf `  A ) ) )
59 foeq2 5638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : y -onto-> ran  (
x  e.  B  |->  suc  U. x )  <->  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) ) )
60 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  ( ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y  <->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x
)  ~<_  B ) )
6159, 60imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( x  e.  B  |->  suc  U. x
) : y -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y )  <-> 
( ( x  e.  B  |->  suc  U. x
) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B ) ) )
6258, 61imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  ~<  ( cf `  A )  -> 
( ( x  e.  B  |->  suc  U. x
) : y -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y ) )  <->  ( B  ~<  ( cf `  A )  ->  ( ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B ) ) ) )
63 cfon 8445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( cf `  A )  e.  On
64 sdomdom 7358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
~<  ( cf `  A
)  ->  y  ~<_  ( cf `  A ) )
65 ondomen 8228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cf `  A
)  e.  On  /\  y  ~<_  ( cf `  A
) )  ->  y  e.  dom  card )
6663, 64, 65sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
~<  ( cf `  A
)  ->  y  e.  dom  card )
67 fodomnum 8248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : y -onto-> ran  (
x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
~<  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  suc  U. x ) : y
-onto->
ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x
)  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y ) )
6962, 68vtoclg 3051 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  ~<  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B ) ) )
7057, 69mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
~<  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B ) )
7155, 70mpi 17 . . . . . . . 8  |-  ( B 
~<  ( cf `  A
)  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B )
7252, 71syl5eqbrr 4347 . . . . . . 7  |-  ( B 
~<  ( cf `  A
)  ->  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ~<_  B )
73 domtr 7383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  /\  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ~<_  B )  -> 
( cf `  A
)  ~<_  B )
7472, 73sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  /\  B  ~<  ( cf `  A ) )  ->  ( cf `  A
)  ~<_  B )
75 domnsym 7458 . . . . . 6  |-  ( ( cf `  A )  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A
) )
7674, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  /\  B  ~<  ( cf `  A ) )  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A ) )
7776pm2.01da 442 . . . 4  |-  ( ( cf `  A )  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A ) )
7877a1i 11 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A ) ) )
7929, 50, 783syld 55 . 2  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( U. B  =  A  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A
) ) )
8079necon2ad 2683 1  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( B  ~<  ( cf `  A )  ->  U. B  =/=  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993    C_ wss 3349   U.cuni 4112   U_ciun 4192   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   Ord word 4739   Oncon0 4740   Lim wlim 4741   suc csuc 4742   dom cdm 4861   ran crn 4862    Fn wfn 5434   -onto->wfo 5437   ` cfv 5439    ~<_ cdom 7329    ~< csdm 7330   cardccrd 8126   cfccf 8128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-card 8130  df-cf 8132  df-acn 8133
This theorem is referenced by:  tskuni  8971
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