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Theorem cfslb2n 8696
Description: Any small collection of small subsets of  A cannot have union  A, where "small" means smaller than the cofinality. This is a stronger version of cfslb 8694. This is a common application of cofinality: under AC,  ( aleph `  1
) is regular, so it is not a countable union of countable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfslb.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
cfslb2n  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( B  ~<  ( cf `  A )  ->  U. B  =/=  A
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem cfslb2n
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limord 5501 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
2 ordsson 6630 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
3 sstr 3478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  A  /\  A  C_  On )  ->  x  C_  On )
43expcom 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  On  ->  ( x 
C_  A  ->  x  C_  On ) )
51, 2, 43syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  ( x  C_  A  ->  x  C_  On ) )
6 onsucuni 6669 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  On  ->  x  C_  suc  U. x )
75, 6syl6 34 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  ( x  C_  A  ->  x  C_  suc  U. x ) )
87adantrd 469 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  x  C_ 
suc  U. x ) )
98ralimdv 2842 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  A. x  e.  B  x  C_  suc  U. x ) )
10 uniiun 4355 . . . . . . 7  |-  U. B  =  U_ x  e.  B  x
11 ss2iun 4318 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  x  C_ 
suc  U. x  ->  U_ x  e.  B  x  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x
)
1210, 11syl5eqss 3514 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  x  C_ 
suc  U. x  ->  U. B  C_ 
U_ x  e.  B  suc  U. x )
139, 12syl6 34 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  U. B  C_ 
U_ x  e.  B  suc  U. x ) )
1413imp 430 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  ->  U. B  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x
)
15 cfslb.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
1615cfslbn 8695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  A  /\  x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A ) )  ->  U. x  e.  A )
17163expib 1208 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  U. x  e.  A ) )
18 ordsucss 6659 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. x  e.  A  ->  suc  U. x  C_  A ) )
191, 17, 18sylsyld 58 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  suc  U. x  C_  A )
)
2019ralimdv 2842 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  A. x  e.  B  suc  U. x  C_  A ) )
21 iunss 4343 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  <->  A. x  e.  B  suc  U. x  C_  A )
2220, 21syl6ibr 230 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A ) )
2322imp 430 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A
)
24 sseq1 3491 . . . . . 6  |-  ( U. B  =  A  ->  ( U. B  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x  <->  A 
C_  U_ x  e.  B  suc  U. x ) )
25 eqss 3485 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A  <->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  /\  A  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x
) )
2625simplbi2com 631 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  U_ x  e.  B  suc  U. x  ->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A ) )
2724, 26syl6bi 231 . . . . 5  |-  ( U. B  =  A  ->  ( U. B  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x  ->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A ) ) )
2827com3l 84 . . . 4  |-  ( U. B  C_  U_ x  e.  B  suc  U. x  ->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  C_  A  ->  ( U. B  =  A  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A ) ) )
2914, 23, 28sylc 62 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( U. B  =  A  ->  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A ) )
30 limsuc 6690 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  ( U. x  e.  A  <->  suc  U. x  e.  A ) )
3117, 30sylibd 217 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  suc  U. x  e.  A ) )
3231ralimdv 2842 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) )  ->  A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A ) )
3332imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  ->  A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A
)
34 r19.29 2970 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A  /\  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x
)  ->  E. x  e.  B  ( suc  U. x  e.  A  /\  y  =  suc  U. x
) )
35 eleq1 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  suc  U. x  ->  ( y  e.  A  <->  suc  U. x  e.  A
) )
3635biimparc 489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  U. x  e.  A  /\  y  =  suc  U. x )  ->  y  e.  A
)
3736rexlimivw 2921 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  B  ( suc  U. x  e.  A  /\  y  =  suc  U. x )  ->  y  e.  A
)
3834, 37syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A  /\  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x
)  ->  y  e.  A )
3938ex 435 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  suc  U. x  e.  A  -> 
( E. x  e.  B  y  =  suc  U. x  ->  y  e.  A ) )
4033, 39syl 17 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( E. x  e.  B  y  =  suc  U. x  ->  y  e.  A ) )
4140abssdv 3541 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  ->  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  C_  A )
42 vex 3090 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
4342uniex 6601 . . . . . . . 8  |-  U. x  e.  _V
4443sucex 6652 . . . . . . 7  |-  suc  U. x  e.  _V
4544dfiun2 4336 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  B  suc  U. x  =  U. { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }
4645eqeq1i 2436 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A  <->  U. { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  =  A )
4715cfslb 8694 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  A  /\  {
y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  C_  A  /\  U. { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  =  A )  ->  ( cf `  A )  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x } )
48473expia 1207 . . . . 5  |-  ( ( Lim  A  /\  {
y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  C_  A )  ->  ( U. { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  =  A  ->  ( cf `  A )  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x } ) )
4946, 48syl5bi 220 . . . 4  |-  ( ( Lim  A  /\  {
y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  C_  A )  ->  ( U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A  ->  ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x } ) )
5041, 49syldan 472 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( U_ x  e.  B  suc  U. x  =  A  ->  ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x } ) )
51 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  =  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )
5251rnmpt 5100 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  B  |->  suc  U. x )  =  {
y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }
5344, 51fnmpti 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  Fn  B
54 dffn4 5816 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  Fn  B  <->  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) )
5553, 54mpbi 211 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )
56 relsdom 7584 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~<
5756brrelexi 4895 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
~<  ( cf `  A
)  ->  B  e.  _V )
58 breq1 4429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  (
y  ~<  ( cf `  A
)  <->  B  ~<  ( cf `  A ) ) )
59 foeq2 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : y -onto-> ran  (
x  e.  B  |->  suc  U. x )  <->  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) ) )
60 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  ( ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y  <->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x
)  ~<_  B ) )
6159, 60imbi12d 321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( x  e.  B  |->  suc  U. x
) : y -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y )  <-> 
( ( x  e.  B  |->  suc  U. x
) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B ) ) )
6258, 61imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  ~<  ( cf `  A )  -> 
( ( x  e.  B  |->  suc  U. x
) : y -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y ) )  <->  ( B  ~<  ( cf `  A )  ->  ( ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B ) ) ) )
63 cfon 8683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( cf `  A )  e.  On
64 sdomdom 7604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
~<  ( cf `  A
)  ->  y  ~<_  ( cf `  A ) )
65 ondomen 8466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cf `  A
)  e.  On  /\  y  ~<_  ( cf `  A
) )  ->  y  e.  dom  card )
6663, 64, 65sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
~<  ( cf `  A
)  ->  y  e.  dom  card )
67 fodomnum 8486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  B  |->  suc  U. x ) : y -onto-> ran  (
x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y ) )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
~<  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  suc  U. x ) : y
-onto->
ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x
)  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  y ) )
6962, 68vtoclg 3145 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  ~<  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B ) ) )
7057, 69mpcom 37 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
~<  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  suc  U. x ) : B -onto-> ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B ) )
7155, 70mpi 21 . . . . . . . 8  |-  ( B 
~<  ( cf `  A
)  ->  ran  ( x  e.  B  |->  suc  U. x )  ~<_  B )
7252, 71syl5eqbrr 4460 . . . . . . 7  |-  ( B 
~<  ( cf `  A
)  ->  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ~<_  B )
73 domtr 7629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  /\  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ~<_  B )  -> 
( cf `  A
)  ~<_  B )
7472, 73sylan2 476 . . . . . 6  |-  ( ( ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  /\  B  ~<  ( cf `  A ) )  ->  ( cf `  A
)  ~<_  B )
75 domnsym 7704 . . . . . 6  |-  ( ( cf `  A )  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A
) )
7674, 75syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  /\  B  ~<  ( cf `  A ) )  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A ) )
7776pm2.01da 443 . . . 4  |-  ( ( cf `  A )  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A ) )
7877a1i 11 . . 3  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( ( cf `  A
)  ~<_  { y  |  E. x  e.  B  y  =  suc  U. x }  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A ) ) )
7929, 50, 783syld 57 . 2  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( U. B  =  A  ->  -.  B  ~<  ( cf `  A
) ) )
8079necon2ad 2644 1  |-  ( ( Lim  A  /\  A. x  e.  B  (
x  C_  A  /\  x  ~<  ( cf `  A
) ) )  -> 
( B  ~<  ( cf `  A )  ->  U. B  =/=  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cab 2414    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   U.cuni 4222   U_ciun 4302   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ran crn 4855   Ord word 5441   Oncon0 5442   Lim wlim 5443   suc csuc 5444    Fn wfn 5596   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601    ~<_ cdom 7575    ~< csdm 7576   cardccrd 8368   cfccf 8370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-card 8372  df-cf 8374  df-acn 8375
This theorem is referenced by:  tskuni  9207
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