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Theorem cfpwsdom 8415
Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 8400. Theorem 11.29 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfpwsdom.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
cfpwsdom  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )

Proof of Theorem cfpwsdom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  e.  _V
21cardid 8378 . . . . . . . 8  |-  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ~~  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )
32ensymi 7116 . . . . . . 7  |-  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~~  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )
4 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( aleph `  A )  e.  _V
54canth2 7219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( aleph `  A )  ~<  ~P ( aleph `  A )
64pw2en 7174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P ( aleph `  A )  ~~  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )
7 sdomentr 7200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~<  ~P ( aleph `  A
)  /\  ~P ( aleph `  A )  ~~  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) ) )
85, 6, 7mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) )
9 mapdom1 7231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( 2o  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )
10 sdomdomtr 7199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )  /\  ( 2o  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )
118, 9, 10sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )
12 ficard 8396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  e. 
_V  ->  ( ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  e.  Fin  <->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om ) )
131, 12ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  e. 
Fin 
<->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om )
14 isfinite 7563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  e. 
Fin 
<->  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  om )
15 sdomdom 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<  om  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  om )
1614, 15sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  e. 
Fin  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  om )
1713, 16sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  om )
18 alephgeom 7919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
19 alephon 7906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( aleph `  A )  e.  On
20 ssdomg 7112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
aleph `  A )  e.  On  ->  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  om  ~<_  ( aleph `  A
) ) )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  om  ~<_  ( aleph `  A
) )
2218, 21sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  om  ~<_  ( aleph `  A ) )
23 domtr 7119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  om  /\  om  ~<_  ( aleph `  A ) )  -> 
( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  ( aleph `  A )
)
2417, 22, 23syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om  /\  A  e.  On )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<_  ( aleph `  A ) )
25 domnsym 7192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  (
aleph `  A )  ->  -.  ( aleph `  A )  ~<  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om  /\  A  e.  On )  ->  -.  ( aleph `  A )  ~< 
( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )
2726expcom 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  ->  -.  ( aleph `  A
)  ~<  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )
2827con2d 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  (
( aleph `  A )  ~<  ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ->  -.  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  e.  om )
)
29 cardidm 7802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( card `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )
30 iscard3 7930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  =  (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  <->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  e.  ( om  u.  ran  aleph ) )
31 elun 3448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  ( om  u.  ran  aleph )  <->  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  \/  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
ran  aleph ) )
32 df-or 360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om  \/  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  e.  ran  aleph )  <->  ( -.  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
ran  aleph ) )
3330, 31, 323bitri 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
card `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  =  (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  <->  ( -.  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
ran  aleph ) )
3429, 33mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
ran  aleph )
3511, 28, 34syl56 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o 
~<_  B  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  e.  ran  aleph ) )
36 alephfnon 7902 . . . . . . . . . . 11  |-  aleph  Fn  On
37 fvelrnb 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( aleph  Fn  On  ->  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  ran  aleph  <->  E. x  e.  On  ( aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  ran  aleph  <->  E. x  e.  On  ( aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )
3935, 38syl6ib 218 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o 
~<_  B  ->  E. x  e.  On  ( aleph `  x
)  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )
40 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  x ) ) 
|->  (har `  ( z `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  x ) ) 
|->  (har `  ( z `  y ) ) )
4140pwcfsdom 8414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( aleph `  x )  ~<  (
( aleph `  x )  ^m  ( cf `  ( aleph `  x ) ) )
42 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )
43 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( cf `  ( aleph `  x ) )  =  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )
4442, 43oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( ( aleph `  x
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  x )
) )  =  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) ) )
4542, 44breq12d 4185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( ( aleph `  x
)  ~<  ( ( aleph `  x )  ^m  ( cf `  ( aleph `  x
) ) )  <->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ~<  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
4641, 45mpbii 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
4746rexlimivw 2786 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
4839, 47syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o 
~<_  B  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ~<  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
4948imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
50 ensdomtr 7202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~~  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  /\  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
513, 49, 50sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
52 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  e.  _V
5352enref 7099 . . . . . . . 8  |-  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) 
~~  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )
54 mapen 7230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ~~  ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  /\  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~~  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  -> 
( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  ~~  ( ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
552, 53, 54mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~~  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )
56 cfpwsdom.1 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
57 mapxpen 7232 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( aleph `  A )  e.  On  /\  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  e.  _V )  -> 
( ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~~  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
5856, 19, 52, 57mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  ~~  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )
5955, 58entri 7120 . . . . . 6  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~~  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
60 sdomentr 7200 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  /\  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  ~~  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) ) )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
6151, 59, 60sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
624xpdom2 7162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )  ->  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )  ~<_  ( ( aleph `  A
)  X.  ( aleph `  A ) ) )
6318biimpi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  om  C_  ( aleph `  A ) )
64 infxpen 7852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( aleph `  A )  e.  On  /\  om  C_  ( aleph `  A ) )  ->  ( ( aleph `  A )  X.  ( aleph `  A ) ) 
~~  ( aleph `  A
) )
6519, 63, 64sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
( aleph `  A )  X.  ( aleph `  A )
)  ~~  ( aleph `  A ) )
66 domentr 7125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~<_  ( ( aleph `  A )  X.  ( aleph `  A ) )  /\  ( ( aleph `  A )  X.  ( aleph `  A ) ) 
~~  ( aleph `  A
) )  ->  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )
)
6762, 65, 66syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A
) )
68 nsuceq0 4621 . . . . . . . . . . 11  |-  suc  1o  =/=  (/)
69 dom0 7194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc 
1o  ~<_  (/)  <->  suc  1o  =  (/) )
7068, 69nemtbir 2655 . . . . . . . . . 10  |-  -.  suc  1o  ~<_  (/)
71 df-2o 6684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  suc  1o
7271breq1i 4179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
73 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =  (/)  ->  ( suc 
1o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  (/) ) )
7472, 73syl5bb 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  (/)  ->  ( 2o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  (/) ) )
7574biimpcd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( B  =  (/)  ->  suc  1o  ~<_  (/) ) )
7675adantld 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( (
( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  suc  1o  ~<_  (/) ) )
7770, 76mtoi 171 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  -.  (
( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  =  (/)  /\  B  =  (/) ) )
78 mapdom2 7237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A
)  /\  -.  (
( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  =  (/)  /\  B  =  (/) ) )  -> 
( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )
7967, 77, 78syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A )  /\  A  e.  On )  /\  2o  ~<_  B )  -> 
( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )
80 domnsym 7192 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  ^m  ( (
aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ->  -.  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A )  /\  A  e.  On )  /\  2o  ~<_  B )  ->  -.  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) ) )
8281expl 602 . . . . . 6  |-  ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )  ->  (
( A  e.  On  /\  2o  ~<_  B )  ->  -.  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) ) ) )
8382com12 29 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  (
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A )  ->  -.  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) ) ) )
8461, 83mt2d 111 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  -.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A ) )
85 domtri 8387 . . . . . 6  |-  ( ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  e. 
_V  /\  ( aleph `  A )  e.  _V )  ->  ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )  <->  -.  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )
8652, 4, 85mp2an 654 . . . . 5  |-  ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )  <->  -.  ( aleph `  A )  ~< 
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )
8786biimpri 198 . . . 4  |-  ( -.  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  -> 
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A ) )
8884, 87nsyl2 121 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )
8988ex 424 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o 
~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
90 fndm 5503 . . . . . 6  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
9136, 90ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  aleph  =  On
9291eleq2i 2468 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  aleph  <->  A  e.  On )
93 ndmfv 5714 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
9492, 93sylnbir 299 . . 3  |-  ( -.  A  e.  On  ->  (
aleph `  A )  =  (/) )
95 1n0 6698 . . . . . 6  |-  1o  =/=  (/)
96 1onn 6841 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
9796elexi 2925 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
98970sdom 7197 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<  1o 
<->  1o  =/=  (/) )
9995, 98mpbir 201 . . . . 5  |-  (/)  ~<  1o
100 id 20 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( aleph `  A
)  =  (/) )
101 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  =  ( B  ^m  (/) ) )
102 map0e 7010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  ^m  (/) )  =  1o )
10356, 102ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  ^m  (/) )  =  1o
104101, 103syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  =  1o )
105104fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  =  ( card `  1o ) )
106 cardnn 7806 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( card `  1o )  =  1o )
10796, 106ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  1o )  =  1o
108105, 107syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  =  1o )
109108fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  =  ( cf `  1o ) )
110 df-1o 6683 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  suc  (/)
111110fveq2i 5690 . . . . . . . 8  |-  ( cf `  1o )  =  ( cf `  suc  (/) )
112 0elon 4594 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  On
113 cfsuc 8093 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( cf ` 
suc  (/) )  =  1o )
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( cf ` 
suc  (/) )  =  1o
115111, 114eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  ( cf `  1o )  =  1o
116109, 115syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  =  1o )
117100, 116breq12d 4185 . . . . 5  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  <->  (/) 
~<  1o ) )
11899, 117mpbiri 225 . . . 4  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )
119118a1d 23 . . 3  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( 2o  ~<_  B  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )
12094, 119syl 16 . 2  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( 2o  ~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )
12189, 120pm2.61i 158 1  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   Oncon0 4541   suc csuc 4543   omcom 4804    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   2oc2o 6677    ^m cmap 6977    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066    ~< csdm 7067   Fincfn 7068  harchar 7480   cardccrd 7778   alephcale 7779   cfccf 7780
This theorem is referenced by:  alephom  8416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-ac2 8299
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-smo 6567  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-har 7482  df-card 7782  df-aleph 7783  df-cf 7784  df-acn 7785  df-ac 7953
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