Theorem cfom 6064

Description: Value of the cofinality function at omega (the set of natural numbers). Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 102.

Assertion

Ref	Expression
cfom	|- (cf` om) = om

Proof of Theorem cfom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfle 6061	. 2 |- (cf` om) C_ om
2		omex 5733	. . . 4 |- om e. _V
3	2	intsn 3252	. . 3 |- |^|{om} = om
4		eqtr 1904	. . . . . . . . 9 |- ((x = (card` y) /\ (card` y) = om) -> x = om)
5		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
6	5	unbnn2 5638	. . . . . . . . . . 11 |- ((y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z C_ w) -> y ~~ om)
7		carden 5981	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. _V /\ om e. _V) -> ((card` y) = (card` om) <-> y ~~ om))
8	5, 2, 7	mp2an 761	. . . . . . . . . . 11 |- ((card` y) = (card` om) <-> y ~~ om)
9	6, 8	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ((y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z C_ w) -> (card` y) = (card` om))
10		cardom 5872	. . . . . . . . . 10 |- (card` om) = om
11	9, 10	syl6eq 1944	. . . . . . . . 9 |- ((y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z C_ w) -> (card` y) = om)
12	4, 11	sylan2 500	. . . . . . . 8 |- ((x = (card` y) /\ (y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z C_ w)) -> x = om)
13	12	19.23aiv 1674	. . . . . . 7 |- (E.y(x = (card` y) /\ (y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z C_ w)) -> x = om)
14	13	ss2abi 2679	. . . . . 6 |- {x | E.y(x = (card` y) /\ (y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z C_ w))} C_ {x | x = om}
15		df-sn 3049	. . . . . 6 |- {om} = {x | x = om}
16	14, 15	sseqtr4i 2650	. . . . 5 |- {x | E.y(x = (card` y) /\ (y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z C_ w))} C_ {om}
17		intss 3239	. . . . 5 |- ({x | E.y(x = (card` y) /\ (y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z C_ w))} C_ {om} -> |^|{om} C_ |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z C_ w))})
18	16, 17	ax-mp 7	. . . 4 |- |^|{om} C_ |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z C_ w))}
19		omelon 5736	. . . . 5 |- om e. On
20		cfval 6054	. . . . 5 |- (om e. On -> (cf` om) = |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z C_ w))})
21	19, 20	ax-mp 7	. . . 4 |- (cf` om) = |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z C_ w))}
22	18, 21	sseqtr4i 2650	. . 3 |- |^|{om} C_ (cf` om)
23	3, 22	eqsstr3i 2648	. 2 |- om C_ (cf` om)
24	1, 23	eqssi 2632	1 |- (cf` om) = om

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  {csn 3044  |^|cint 3214   class class class wbr 3338  Oncon0 3657  omcom 3949  ` cfv 3998   ~~ cen 5423  cardccrd 5859  cfccf 5861

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-card 5862  df-cf 5864

Copyright terms: Public domain