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Theorem cflm 8086
Description: Value of the cofinality function at a limit ordinal. Part of Definition of cofinality of [Enderton] p. 257. (Contributed by NM, 26-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
cflm  |-  ( ( A  e.  B  /\  Lim  A )  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem cflm
Dummy variables  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2924 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
2 limsuc 4788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Lim 
A  ->  ( v  e.  A  <->  suc  v  e.  A
) )
32biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim 
A  ->  ( v  e.  A  ->  suc  v  e.  A ) )
4 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  suc  v  -> 
( z  C_  w  <->  suc  v  C_  w )
)
54rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  suc  v  -> 
( E. w  e.  y  z  C_  w  <->  E. w  e.  y  suc  v  C_  w )
)
65rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  v  e.  A  -> 
( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  E. w  e.  y  suc  v  C_  w
) )
7 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  v  e. 
_V
8 sucssel 4633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  _V  ->  ( suc  v  C_  w  -> 
v  e.  w ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( suc  v  C_  w  ->  v  e.  w )
109reximi 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. w  e.  y  suc  v  C_  w  ->  E. w  e.  y  v  e.  w )
11 eluni2 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  U. y  <->  E. w  e.  y  v  e.  w )
1210, 11sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. w  e.  y  suc  v  C_  w  ->  v  e.  U. y )
136, 12syl6com 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  ( suc  v  e.  A  ->  v  e.  U. y ) )
143, 13syl9 68 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  ( v  e.  A  ->  v  e. 
U. y ) ) )
1514ralrimdv 2755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  A. v  e.  A  v  e.  U. y ) )
16 dfss3 3298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  U. y  <->  A. v  e.  A  v  e.  U. y )
1715, 16syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  A  C_  U. y
) )
1817adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w  ->  A 
C_  U. y ) )
19 uniss 3996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  A  ->  U. y  C_ 
U. A )
20 limuni 4601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim 
A  ->  A  =  U. A )
2120sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim 
A  ->  ( U. y  C_  A  <->  U. y  C_ 
U. A ) )
2219, 21syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
A  ->  ( y  C_  A  ->  U. y  C_  A ) )
2322imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  U. y  C_  A )
2418, 23jctird 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w  ->  ( A  C_  U. y  /\  U. y  C_  A
) ) )
25 eqss 3323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  U. y  <->  ( A  C_ 
U. y  /\  U. y  C_  A ) )
2624, 25syl6ibr 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w  ->  A  =  U. y ) )
2726imdistanda 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w )  ->  (
y  C_  A  /\  A  =  U. y
) ) )
2827anim2d 549 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A  =  U. y ) ) ) )
2928eximdv 1629 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) ) )
3029ss2abdv 3376 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
31 intss 4031 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
3230, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
3332adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
34 limelon 4604 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  A  e.  On )
35 cfval 8083 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
3634, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
3733, 36sseqtr4d 3345 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  ( cf `  A ) )
38 cfub 8085 . . . . 5  |-  ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
39 eqimss 3360 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  U. y  ->  A  C_  U. y )
4039anim2i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  =  U. y
)  ->  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) )
4140anim2i 553 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A  =  U. y
) )  ->  (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) )
4241eximi 1582 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) )  ->  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) )
4342ss2abi 3375 . . . . . 6  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
44 intss 4031 . . . . . 6  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A  =  U. y ) ) } 
C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
4543, 44ax-mp 8 . . . . 5  |-  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }
4638, 45sstri 3317 . . . 4  |-  ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }
4737, 46jctil 524 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  (
( cf `  A
)  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  /\  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  ( cf `  A ) ) )
48 eqss 3323 . . 3  |-  ( ( cf `  A )  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  <->  ( ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  /\  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  ( cf `  A ) ) )
4947, 48sylibr 204 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
501, 49sylan 458 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  Lim  A )  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   U.cuni 3975   |^|cint 4010   Oncon0 4541   Lim wlim 4542   suc csuc 4543   ` cfv 5413   cardccrd 7778   cfccf 7780
This theorem is referenced by:  gruina  8649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-card 7782  df-cf 7784
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