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Theorem cflim2 8099
Description: The cofinality function is a limit ordinal iff its argument is. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cflim2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
cflim2  |-  ( Lim 
A  <->  Lim  ( cf `  A
) )

Proof of Theorem cflim2
Dummy variables  s 
y  x  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabid 2844 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { y  e. 
~P A  |  U. y  =  A }  <->  ( y  e.  ~P A  /\  U. y  =  A ) )
2 cflim2.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
32elpw2 4324 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
4 limord 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
5 ordsson 4729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
6 sstr 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  On )  -> 
y  C_  On )
76expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  On  ->  ( y 
C_  A  ->  y  C_  On ) )
84, 5, 73syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim 
A  ->  ( y  C_  A  ->  y  C_  On ) )
98imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  On )
1093adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  y  C_  On )
11 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  C_  On  /\  s  e.  y )  ->  s  e.  On )
12 eloni 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  On  ->  Ord  s )
13 ordirr 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  s  ->  -.  s  e.  s )
1411, 12, 133syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  C_  On  /\  s  e.  y )  ->  -.  s  e.  s )
15 ssel 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y 
C_  s  ->  (
s  e.  y  -> 
s  e.  s ) )
1615com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  y  ->  (
y  C_  s  ->  s  e.  s ) )
1716adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  C_  On  /\  s  e.  y )  ->  (
y  C_  s  ->  s  e.  s ) )
1814, 17mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  On  /\  s  e.  y )  ->  -.  y  C_  s )
1910, 18sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  -.  y  C_  s )
20 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  y  C_  A )
21 sstr 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  s )  -> 
y  C_  s )
2220, 21sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y )  /\  A  C_  s )  ->  y  C_  s )
2319, 22mtand 641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  -.  A  C_  s )
24 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  U. y  =  A )
2524sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  ( U. y  C_  s  <->  A  C_  s
) )
2623, 25mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  -.  U. y  C_  s )
27 unissb 4005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. y  C_  s  <->  A. t  e.  y  t  C_  s )
2826, 27sylnib 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  s  e.  y
)  ->  -.  A. t  e.  y  t  C_  s )
2928nrexdv 2769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  -.  E. s  e.  y  A. t  e.  y  t  C_  s )
30 ssel 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  On  ->  ( s  e.  y  ->  s  e.  On ) )
31 ssel 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  On  ->  ( t  e.  y  ->  t  e.  On ) )
32 ontri1 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  On  /\  s  e.  On )  ->  ( t  C_  s  <->  -.  s  e.  t ) )
3332ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  On  /\  t  e.  On )  ->  ( t  C_  s  <->  -.  s  e.  t ) )
34 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  t  e. 
_V
35 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  s  e. 
_V
3634, 35brcnv 5014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t `'  _E  s  <->  s  _E  t )
37 epel 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  _E  t  <->  s  e.  t )
3836, 37bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t `'  _E  s  <->  s  e.  t )
3938notbii 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  t `'  _E  s  <->  -.  s  e.  t )
4033, 39syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  On  /\  t  e.  On )  ->  ( t  C_  s  <->  -.  t `'  _E  s
) )
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  On  ->  ( ( s  e.  On  /\  t  e.  On )  ->  ( t  C_  s  <->  -.  t `'  _E  s
) ) )
4230, 31, 41syl2and 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  On  ->  ( ( s  e.  y  /\  t  e.  y )  ->  ( t  C_  s  <->  -.  t `'  _E  s
) ) )
4342impl 604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  s  e.  y )  /\  t  e.  y )  ->  ( t  C_  s  <->  -.  t `'  _E  s ) )
4443ralbidva 2682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  On  /\  s  e.  y )  ->  ( A. t  e.  y 
t  C_  s  <->  A. t  e.  y  -.  t `'  _E  s ) )
4544rexbidva 2683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  On  ->  ( E. s  e.  y  A. t  e.  y  t  C_  s  <->  E. s  e.  y 
A. t  e.  y  -.  t `'  _E  s ) )
4610, 45syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  ( E. s  e.  y  A. t  e.  y 
t  C_  s  <->  E. s  e.  y  A. t  e.  y  -.  t `'  _E  s ) )
4729, 46mtbid 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  -.  E. s  e.  y  A. t  e.  y  -.  t `'  _E  s
)
48 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  ( card `  y
)  e.  om )  ->  y  e.  _V )
50 epweon 4723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _E  We  On
51 wess 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y 
C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  y ) )
5250, 51mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y 
C_  On  ->  _E  We  y )
53 weso 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  _E  We  y  ->  _E  Or  y )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  On  ->  _E  Or  y )
55 cnvso 5370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  _E  Or  y  <->  `'  _E  Or  y )
5654, 55sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  On  ->  `'  _E  Or  y )
5756adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  On  /\  ( card `  y )  e. 
om )  ->  `'  _E  Or  y )
58 onssnum 7877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
5948, 58mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
60 cardid2 7796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  dom  card  ->  (
card `  y )  ~~  y )
61 ensym 7115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  y )  ~~  y  ->  y  ~~  ( card `  y )
)
6259, 60, 613syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  On  ->  y  ~~  ( card `  y )
)
63 nnsdom 7564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  y )  e.  om  ->  ( card `  y )  ~<  om )
64 ensdomtr 7202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  ~~  ( card `  y )  /\  ( card `  y )  ~<  om )  ->  y  ~<  om )
6562, 63, 64syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  On  /\  ( card `  y )  e. 
om )  ->  y  ~<  om )
66 isfinite 7563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  Fin  <->  y  ~<  om )
6765, 66sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  On  /\  ( card `  y )  e. 
om )  ->  y  e.  Fin )
68 wofi 7315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `'  _E  Or  y  /\  y  e.  Fin )  ->  `'  _E  We  y )
6957, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  On  /\  ( card `  y )  e. 
om )  ->  `'  _E  We  y )
7010, 69sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  ( card `  y
)  e.  om )  ->  `'  _E  We  y )
71 wefr 4532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `'  _E  We  y  ->  `'  _E  Fr  y )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  ( card `  y
)  e.  om )  ->  `'  _E  Fr  y )
73 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  C_  y
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  ( card `  y
)  e.  om )  ->  y  C_  y )
75 unieq 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  U. (/) )
76 uni0 4002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. (/)  =  (/)
7775, 76syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  (/) )
78 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U. y  =  A  ->  ( U. y  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
7977, 78syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. y  =  A  ->  ( y  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
80 nlim0 4599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  Lim  (/)
81 limeq 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim 
A  <->  Lim  (/) ) )
8280, 81mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  Lim  A )
8379, 82syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. y  =  A  ->  ( y  =  (/)  ->  -.  Lim  A ) )
8483necon2ad 2615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. y  =  A  ->  ( Lim  A  ->  y  =/=  (/) ) )
8584impcom 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  A  /\  U. y  =  A )  ->  y  =/=  (/) )
86853adant2 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  y  =/=  (/) )
8786adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  ( card `  y
)  e.  om )  ->  y  =/=  (/) )
88 fri 4504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  _V  /\  `'  _E  Fr  y )  /\  ( y  C_  y  /\  y  =/=  (/) ) )  ->  E. s  e.  y 
A. t  e.  y  -.  t `'  _E  s )
8949, 72, 74, 87, 88syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  /\  ( card `  y
)  e.  om )  ->  E. s  e.  y 
A. t  e.  y  -.  t `'  _E  s )
9047, 89mtand 641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  -.  ( card `  y )  e.  om )
91 cardon 7787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( card `  y )  e.  On
92 eloni 4551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
card `  y )  e.  On  ->  Ord  ( card `  y ) )
93 ordom 4813 . . . . . . . . . . . 12  |-  Ord  om
94 ordtri1 4574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  ( card `  y )
)  ->  ( om  C_  ( card `  y
)  <->  -.  ( card `  y )  e.  om ) )
9593, 94mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  ( card `  y
)  ->  ( om  C_  ( card `  y
)  <->  -.  ( card `  y )  e.  om ) )
9691, 92, 95mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  C_  ( card `  y
)  <->  -.  ( card `  y )  e.  om )
9790, 96sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A  /\  U. y  =  A )  ->  om  C_  ( card `  y ) )
983, 97syl3an2b 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  A  /\  y  e.  ~P A  /\  U. y  =  A )  ->  om  C_  ( card `  y ) )
99983expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  A  /\  (
y  e.  ~P A  /\  U. y  =  A ) )  ->  om  C_  ( card `  y ) )
1001, 99sylan2b 462 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  A  /\  y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } )  ->  om  C_  ( card `  y
) )
101100ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  A. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } om  C_  ( card `  y ) )
102 ssiin 4101 . . . . 5  |-  ( om  C_  |^|_ y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A }  ( card `  y
)  <->  A. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } om  C_  ( card `  y ) )
103101, 102sylibr 204 . . . 4  |-  ( Lim 
A  ->  om  C_  |^|_ y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A }  ( card `  y ) )
1042cflim3 8098 . . . 4  |-  ( Lim 
A  ->  ( cf `  A )  =  |^|_ y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } 
( card `  y )
)
105103, 104sseqtr4d 3345 . . 3  |-  ( Lim 
A  ->  om  C_  ( cf `  A ) )
106 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( card `  y )  e.  _V
107106dfiin2 4086 . . . . . 6  |-  |^|_ y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A }  ( card `  y )  =  |^| { x  |  E. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  ( card `  y
) }
108104, 107syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  ( cf `  A )  =  |^| { x  |  E. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  ( card `  y
) } )
109 cardlim 7815 . . . . . . . . 9  |-  ( om  C_  ( card `  y
)  <->  Lim  ( card `  y
) )
110 sseq2 3330 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( om  C_  x  <->  om  C_  ( card `  y ) ) )
111 limeq 4553 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( Lim  x 
<->  Lim  ( card `  y
) ) )
112110, 111bibi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( ( om  C_  x  <->  Lim  x )  <-> 
( om  C_  ( card `  y )  <->  Lim  ( card `  y ) ) ) )
113109, 112mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( om  C_  x  <->  Lim  x ) )
114113rexlimivw 2786 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  ( card `  y )  -> 
( om  C_  x  <->  Lim  x ) )
115114ss2abi 3375 . . . . . 6  |-  { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  C_  { x  |  ( om  C_  x  <->  Lim  x ) }
116 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( x  e.  On  <->  ( card `  y
)  e.  On ) )
11791, 116mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  x  e.  On )
118117rexlimivw 2786 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  ( card `  y )  ->  x  e.  On )
119118abssi 3378 . . . . . . 7  |-  { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  C_  On
120 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( cf `  A )  e.  _V
121108, 120syl6eqelr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  |^| { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  e.  _V )
122 intex 4316 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  E. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  ( card `  y
) }  =/=  (/)  <->  |^| { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  e.  _V )
123121, 122sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  =/=  (/) )
124 onint 4734 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  { y  e.  ~P A  |  U. y  =  A }
x  =  ( card `  y ) }  C_  On  /\  { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  e.  { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) } )
125119, 123, 124sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  |^| { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  e.  { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) } )
126115, 125sseldi 3306 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  |^| { x  |  E. y  e.  {
y  e.  ~P A  |  U. y  =  A } x  =  (
card `  y ) }  e.  { x  |  ( om  C_  x  <->  Lim  x ) } )
127108, 126eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( Lim 
A  ->  ( cf `  A )  e.  {
x  |  ( om  C_  x  <->  Lim  x ) } )
128 sseq2 3330 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( om  C_  x  <->  om  C_  ( cf `  A ) ) )
129 limeq 4553 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( Lim  x 
<->  Lim  ( cf `  A
) ) )
130128, 129bibi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( ( om  C_  x  <->  Lim  x )  <-> 
( om  C_  ( cf `  A )  <->  Lim  ( cf `  A ) ) ) )
131120, 130elab 3042 . . . 4  |-  ( ( cf `  A )  e.  { x  |  ( om  C_  x  <->  Lim  x ) }  <->  ( om  C_  ( cf `  A
)  <->  Lim  ( cf `  A
) ) )
132127, 131sylib 189 . . 3  |-  ( Lim 
A  ->  ( om  C_  ( cf `  A
)  <->  Lim  ( cf `  A
) ) )
133105, 132mpbid 202 . 2  |-  ( Lim 
A  ->  Lim  ( cf `  A ) )
134 eloni 4551 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
135 ordzsl 4784 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  Lim  A ) )
136134, 135sylib 189 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  Lim  A ) )
137 df-3or 937 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  Lim  A )  <->  ( ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x )  \/  Lim  A ) )
138 orcom 377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  A  =  suc  x )  \/  Lim  A )  <-> 
( Lim  A  \/  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x ) ) )
139 df-or 360 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  A  \/  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x ) )  <-> 
( -.  Lim  A  ->  ( A  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  A  =  suc  x ) ) )
140137, 138, 1393bitri 263 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x  \/  Lim  A )  <->  ( -.  Lim  A  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x ) ) )
141136, 140sylib 189 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( -.  Lim  A  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x ) ) )
142 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  ( cf `  (/) ) )
143 cf0 8087 . . . . . . . . 9  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
144142, 143syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
145 limeq 4553 . . . . . . . 8  |-  ( ( cf `  A )  =  (/)  ->  ( Lim  ( cf `  A
)  <->  Lim  (/) ) )
146144, 145syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim  ( cf `  A
)  <->  Lim  (/) ) )
14780, 146mtbiri 295 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  Lim  ( cf `  A ) )
148 1n0 6698 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =/=  (/)
149 df1o2 6695 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  =  { (/) }
150149unieqi 3985 . . . . . . . . . . 11  |-  U. 1o  =  U. { (/) }
151 0ex 4299 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
152151unisn 3991 . . . . . . . . . . 11  |-  U. { (/)
}  =  (/)
153150, 152eqtri 2424 . . . . . . . . . 10  |-  U. 1o  =  (/)
154148, 153neeqtrri 2590 . . . . . . . . 9  |-  1o  =/=  U. 1o
155 limuni 4601 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
1o  ->  1o  =  U. 1o )
156155necon3ai 2607 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  =/=  U. 1o  ->  -. 
Lim  1o )
157154, 156ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  -.  Lim  1o
158 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  suc  x  -> 
( cf `  A
)  =  ( cf ` 
suc  x ) )
159 cfsuc 8093 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  On  ->  ( cf `  suc  x )  =  1o )
160158, 159sylan9eqr 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  =  suc  x )  ->  ( cf `  A
)  =  1o )
161 limeq 4553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cf `  A )  =  1o  ->  ( Lim  ( cf `  A
)  <->  Lim  1o ) )
162160, 161syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  =  suc  x )  ->  ( Lim  ( cf `  A )  <->  Lim  1o ) )
163157, 162mtbiri 295 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  =  suc  x )  ->  -.  Lim  ( cf `  A ) )
164163rexlimiva 2785 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  On  A  =  suc  x  ->  -.  Lim  ( cf `  A
) )
165147, 164jaoi 369 . . . . 5  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  On  A  =  suc  x )  ->  -.  Lim  ( cf `  A
) )
166141, 165syl6 31 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( -.  Lim  A  ->  -.  Lim  ( cf `  A
) ) )
167166con4d 99 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( Lim  ( cf `  A
)  ->  Lim  A ) )
168 cff 8084 . . . . . . . . 9  |-  cf : On
--> On
169168fdmi 5555 . . . . . . . 8  |-  dom  cf  =  On
170169eleq2i 2468 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  cf  <->  A  e.  On )
171 ndmfv 5714 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  dom  cf  ->  ( cf `  A
)  =  (/) )
172170, 171sylnbir 299 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
173172, 145syl 16 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( Lim  ( cf `  A
)  <->  Lim  (/) ) )
17480, 173mtbiri 295 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  On  ->  -. 
Lim  ( cf `  A
) )
175174pm2.21d 100 . . 3  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( Lim  ( cf `  A
)  ->  Lim  A ) )
176167, 175pm2.61i 158 . 2  |-  ( Lim  ( cf `  A
)  ->  Lim  A )
177133, 176impbii 181 1  |-  ( Lim 
A  <->  Lim  ( cf `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   |^|cint 4010   |^|_ciin 4054   class class class wbr 4172    _E cep 4452    Or wor 4462    Fr wfr 4498    We wwe 4500   Ord word 4540   Oncon0 4541   Lim wlim 4542   suc csuc 4543   omcom 4804   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ` cfv 5413   1oc1o 6676    ~~ cen 7065    ~< csdm 7067   Fincfn 7068   cardccrd 7778   cfccf 7780
This theorem is referenced by:  cfom  8100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cf 7784
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