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Theorem cfinufil 21021
Description: An ultrafilter is free iff it contains the Fréchet filter cfinfil 20986 as a subset. (Contributed by NM, 14-Jul-2008.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfinufil  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin }  C_  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, X

Proof of Theorem cfinufil
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3951 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
2 ufilb 20999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  F ) )
32adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( -.  x  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  F
) )
4 ufilfil 20997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
54adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
6 filfinnfr 20970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( X  \  x )  e.  F  /\  ( X 
\  x )  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
763exp 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e.  F  ->  ( ( X  \  x )  e. 
Fin  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
87com23 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e. 
Fin  ->  ( ( X 
\  x )  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
95, 8syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  ( ( X  \  x
)  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
109imp 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( ( X 
\  x )  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
113, 10sylbid 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
1211necon4bd 2663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  x  e.  F ) )
1312ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  (
|^| F  =  (/)  ->  x  e.  F ) ) )
1413com23 80 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
151, 14sylan2 482 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( |^| F  =  (/)  ->  ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
1615ralrimdva 2812 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
174adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
18 uffixsn 21018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  { y }  e.  F )
19 filelss 20945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
y }  e.  F
)  ->  { y }  C_  X )
2017, 18, 19syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  { y }  C_  X )
21 dfss4 3668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y }  C_  X  <->  ( X  \  ( X 
\  { y } ) )  =  {
y } )
2220, 21sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  ( X  \  { y } ) )  =  {
y } )
23 snfi 7668 . . . . . . . . . 10  |-  { y }  e.  Fin
2422, 23syl6eqel 2557 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin )
25 difss 3549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
\  { y } )  C_  X
26 filtop 20948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
27 elpw2g 4564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  F  ->  (
( X  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( X  \  { y } ) 
C_  X ) )
2817, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( ( X  \  { y } )  e.  ~P X  <->  ( X  \  { y } ) 
C_  X ) )
2925, 28mpbiri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  {
y } )  e. 
~P X )
30 difeq2 3534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( X  \  x )  =  ( X  \  ( X 
\  { y } ) ) )
3130eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( ( X 
\  x )  e. 
Fin 
<->  ( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
32 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( x  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
3331, 32imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  <->  ( ( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  { y } )  e.  F
) ) )
3433rspcv 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  { y } )  e.  ~P X  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  (
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  {
y } )  e.  F ) ) )
3529, 34syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  (
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  {
y } )  e.  F ) ) )
3624, 35mpid 41 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
37 ufilb 20999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  {
y }  C_  X
)  ->  ( -.  { y }  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F
) )
3820, 37syldan 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( -.  { y }  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
3918pm2.24d 139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( -.  { y }  e.  F  ->  -.  y  e.  |^| F
) )
4038, 39sylbird 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( ( X  \  { y } )  e.  F  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4136, 40syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4241impancom 447 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  ( y  e.  |^| F  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4342pm2.01d 174 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  -.  y  e.  |^| F )
4443eq0rdv 3773 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  |^| F  =  (/) )
4544ex 441 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  |^| F  =  (/) ) )
4616, 45impbid 195 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
47 rabss 3492 . 2  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin } 
C_  F  <->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )
4846, 47syl6bbr 271 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin }  C_  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760    \ cdif 3387    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   |^|cint 4226   ` cfv 5589   Fincfn 7587   Filcfil 20938   UFilcufil 20992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-fil 20939  df-ufil 20994
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