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Theorem cfinufil 20955
Description: An ultrafilter is free iff it contains the Fréchet filter cfinfil 20920 as a subset. (Contributed by NM, 14-Jul-2008.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfinufil  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin }  C_  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, X

Proof of Theorem cfinufil
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3962 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
2 ufilb 20933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  F ) )
32adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( -.  x  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  F
) )
4 ufilfil 20931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
54adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
6 filfinnfr 20904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( X  \  x )  e.  F  /\  ( X 
\  x )  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
763exp 1208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e.  F  ->  ( ( X  \  x )  e. 
Fin  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
87com23 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e. 
Fin  ->  ( ( X 
\  x )  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
95, 8syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  ( ( X  \  x
)  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
109imp 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( ( X 
\  x )  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
113, 10sylbid 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
1211necon4bd 2646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  x  e.  F ) )
1312ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  (
|^| F  =  (/)  ->  x  e.  F ) ) )
1413com23 81 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
151, 14sylan2 477 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( |^| F  =  (/)  ->  ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
1615ralrimdva 2808 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
174adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
18 uffixsn 20952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  { y }  e.  F )
19 filelss 20879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
y }  e.  F
)  ->  { y }  C_  X )
2017, 18, 19syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  { y }  C_  X )
21 dfss4 3679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y }  C_  X  <->  ( X  \  ( X 
\  { y } ) )  =  {
y } )
2220, 21sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  ( X  \  { y } ) )  =  {
y } )
23 snfi 7655 . . . . . . . . . 10  |-  { y }  e.  Fin
2422, 23syl6eqel 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin )
25 difss 3562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
\  { y } )  C_  X
26 filtop 20882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
27 elpw2g 4569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  F  ->  (
( X  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( X  \  { y } ) 
C_  X ) )
2817, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( ( X  \  { y } )  e.  ~P X  <->  ( X  \  { y } ) 
C_  X ) )
2925, 28mpbiri 237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  {
y } )  e. 
~P X )
30 difeq2 3547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( X  \  x )  =  ( X  \  ( X 
\  { y } ) ) )
3130eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( ( X 
\  x )  e. 
Fin 
<->  ( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
32 eleq1 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( x  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
3331, 32imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  <->  ( ( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  { y } )  e.  F
) ) )
3433rspcv 3148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  { y } )  e.  ~P X  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  (
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  {
y } )  e.  F ) ) )
3529, 34syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  (
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  {
y } )  e.  F ) ) )
3624, 35mpid 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
37 ufilb 20933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  {
y }  C_  X
)  ->  ( -.  { y }  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F
) )
3820, 37syldan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( -.  { y }  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
3918pm2.24d 138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( -.  { y }  e.  F  ->  -.  y  e.  |^| F
) )
4038, 39sylbird 239 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( ( X  \  { y } )  e.  F  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4136, 40syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4241impancom 442 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  ( y  e.  |^| F  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4342pm2.01d 173 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  -.  y  e.  |^| F )
4443eq0rdv 3771 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  |^| F  =  (/) )
4544ex 436 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  |^| F  =  (/) ) )
4616, 45impbid 194 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
47 rabss 3508 . 2  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin } 
C_  F  <->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )
4846, 47syl6bbr 267 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin }  C_  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   {crab 2743    \ cdif 3403    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953   {csn 3970   |^|cint 4237   ` cfv 5585   Fincfn 7574   Filcfil 20872   UFilcufil 20926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-fil 20873  df-ufil 20928
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