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Theorem cfinufil 20256
Description: An ultrafilter is free iff it contains the Fréchet filter cfinfil 20221 as a subset. (Contributed by NM, 14-Jul-2008.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfinufil  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin }  C_  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, X

Proof of Theorem cfinufil
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4019 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
2 ufilb 20234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  F ) )
32adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( -.  x  e.  F  <->  ( X  \  x )  e.  F
) )
4 ufilfil 20232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
54adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
6 filfinnfr 20205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( X  \  x )  e.  F  /\  ( X 
\  x )  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
763exp 1195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e.  F  ->  ( ( X  \  x )  e. 
Fin  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
87com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e. 
Fin  ->  ( ( X 
\  x )  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
95, 8syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  ( ( X  \  x
)  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
109imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( ( X 
\  x )  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
113, 10sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
1211necon4bd 2689 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  x  C_  X )  /\  ( X  \  x )  e.  Fin )  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  x  e.  F ) )
1312ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  (
|^| F  =  (/)  ->  x  e.  F ) ) )
1413com23 78 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  (
( X  \  x
)  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
151, 14sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( |^| F  =  (/)  ->  ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
1615ralrimdva 2882 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
174adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
18 uffixsn 20253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  { y }  e.  F )
19 filelss 20180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
y }  e.  F
)  ->  { y }  C_  X )
2017, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  ->  { y }  C_  X )
21 dfss4 3732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { y }  C_  X  <->  ( X  \  ( X 
\  { y } ) )  =  {
y } )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  ( X  \  { y } ) )  =  {
y } )
23 snfi 7597 . . . . . . . . . 10  |-  { y }  e.  Fin
2422, 23syl6eqel 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin )
25 difss 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
\  { y } )  C_  X
26 filtop 20183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
27 elpw2g 4610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  F  ->  (
( X  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( X  \  { y } ) 
C_  X ) )
2817, 26, 273syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( ( X  \  { y } )  e.  ~P X  <->  ( X  \  { y } ) 
C_  X ) )
2925, 28mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( X  \  {
y } )  e. 
~P X )
30 difeq2 3616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( X  \  x )  =  ( X  \  ( X 
\  { y } ) ) )
3130eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( ( X 
\  x )  e. 
Fin 
<->  ( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
32 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( x  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
3331, 32imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X  \  { y } )  ->  ( ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  <->  ( ( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  { y } )  e.  F
) ) )
3433rspcv 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  { y } )  e.  ~P X  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  (
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  {
y } )  e.  F ) ) )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  (
( X  \  ( X  \  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( X  \  {
y } )  e.  F ) ) )
3624, 35mpid 41 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
37 ufilb 20234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  {
y }  C_  X
)  ->  ( -.  { y }  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F
) )
3820, 37syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( -.  { y }  e.  F  <->  ( X  \  { y } )  e.  F ) )
3918pm2.24d 143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( -.  { y }  e.  F  ->  -.  y  e.  |^| F
) )
4038, 39sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( ( X  \  { y } )  e.  F  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4136, 40syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  y  e.  |^| F )  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4241impancom 440 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  ( y  e.  |^| F  ->  -.  y  e.  |^| F ) )
4342pm2.01d 169 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  -.  y  e.  |^| F )
4443eq0rdv 3820 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )  ->  |^| F  =  (/) )
4544ex 434 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( A. x  e.  ~P  X
( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F )  ->  |^| F  =  (/) ) )
4616, 45impbid 191 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) ) )
47 rabss 3577 . 2  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin } 
C_  F  <->  A. x  e.  ~P  X ( ( X  \  x )  e.  Fin  ->  x  e.  F ) )
4846, 47syl6bbr 263 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =  (/)  <->  { x  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  e.  Fin }  C_  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   |^|cint 4282   ` cfv 5588   Fincfn 7517   Filcfil 20173   UFilcufil 20227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1o 7131  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-fil 20174  df-ufil 20229
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