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Theorem cfinfil 19441
Description: Relative complements of the finite parts of an infinite set is a filter. When  A  =  NN the set of the relative complements is called Frechet's filter and is used to define the concept of limit of a sequence. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfinfil  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, X
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem cfinfil
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3463 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  y
) )
21eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  y )  e.  Fin ) )
32elrab 3112 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  ( y  e.  ~P X  /\  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )
4 selpw 3862 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P X  <->  y  C_  X )
54anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~P X  /\  ( A  \  y
)  e.  Fin )  <->  ( y  C_  X  /\  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)
63, 5bitri 249 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  ( y  C_  X  /\  ( A 
\  y )  e. 
Fin ) )
76a1i 11 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <-> 
( y  C_  X  /\  ( A  \  y
)  e.  Fin )
) )
8 elex 2976 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
983ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  X  e.  _V )
10 ssdif0 3732 . . . . 5  |-  ( A 
C_  X  <->  ( A  \  X )  =  (/) )
11 0fin 7532 . . . . . 6  |-  (/)  e.  Fin
12 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  X )  =  (/)  ->  ( ( A  \  X )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1311, 12mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( ( A  \  X )  =  (/)  ->  ( A 
\  X )  e. 
Fin )
1410, 13sylbi 195 . . . 4  |-  ( A 
C_  X  ->  ( A  \  X )  e. 
Fin )
15 difeq2 3463 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( A  \  y )  =  ( A  \  X
) )
1615eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  (
( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  X )  e.  Fin ) )
1716sbcieg 3214 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( [. X  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  X )  e.  Fin ) )
1817biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( A  \  X )  e.  Fin )  ->  [. X  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
1914, 18sylan2 474 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X )  ->  [. X  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
20193adant3 1008 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  [. X  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
21 0ex 4417 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
22 difeq2 3463 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A 
\  y )  =  ( A  \  (/) ) )
2322eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A  \  y )  e.  Fin  <->  ( A  \  (/) )  e.  Fin ) )
2421, 23sbcie 3216 . . . . 5  |-  ( [. (/)  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  (/) )  e. 
Fin )
25 dif0 3744 . . . . . 6  |-  ( A 
\  (/) )  =  A
2625eleq1i 2501 . . . . 5  |-  ( ( A  \  (/) )  e. 
Fin 
<->  A  e.  Fin )
2724, 26sylbb 197 . . . 4  |-  ( [. (/)  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin  ->  A  e.  Fin )
2827con3i 135 . . 3  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -. 
[. (/)  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
29283ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  [. (/)  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
30 sscon 3485 . . . . 5  |-  ( w 
C_  z  ->  ( A  \  z )  C_  ( A  \  w
) )
31 ssfi 7525 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  w
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  C_  ( A  \  w ) )  -> 
( A  \  z
)  e.  Fin )
3231expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( A  \  z ) 
C_  ( A  \  w )  ->  (
( A  \  w
)  e.  Fin  ->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
3330, 32syl 16 . . . 4  |-  ( w 
C_  z  ->  (
( A  \  w
)  e.  Fin  ->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
34 vex 2970 . . . . 5  |-  w  e. 
_V
35 difeq2 3463 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( A  \  y )  =  ( A  \  w
) )
3635eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  w )  e.  Fin ) )
3734, 36sbcie 3216 . . . 4  |-  ( [. w  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  w
)  e.  Fin )
38 vex 2970 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
39 difeq2 3463 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( A  \  y )  =  ( A  \  z
) )
4039eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
4138, 40sbcie 3216 . . . 4  |-  ( [. z  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  z
)  e.  Fin )
4233, 37, 413imtr4g 270 . . 3  |-  ( w 
C_  z  ->  ( [. w  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin  ->  [. z  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
)
43423ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  C_  X  /\  w  C_  z )  ->  ( [. w  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin  ->  [. z  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
)
44 difindi 3599 . . . . 5  |-  ( A 
\  ( z  i^i  w ) )  =  ( ( A  \ 
z )  u.  ( A  \  w ) )
45 unfi 7571 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  w
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
z )  u.  ( A  \  w ) )  e.  Fin )
4644, 45syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  w
)  e.  Fin )  ->  ( A  \  (
z  i^i  w )
)  e.  Fin )
4746a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  C_  X  /\  w  C_  X )  ->  ( ( ( A  \  z )  e.  Fin  /\  ( A  \  w )  e. 
Fin )  ->  ( A  \  ( z  i^i  w ) )  e. 
Fin ) )
4841, 37anbi12i 697 . . 3  |-  ( (
[. z  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  [. w  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )  <->  ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  w
)  e.  Fin )
)
4938inex1 4428 . . . 4  |-  ( z  i^i  w )  e. 
_V
50 difeq2 3463 . . . . 5  |-  ( y  =  ( z  i^i  w )  ->  ( A  \  y )  =  ( A  \  (
z  i^i  w )
) )
5150eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( y  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  ( z  i^i  w
) )  e.  Fin ) )
5249, 51sbcie 3216 . . 3  |-  ( [. ( z  i^i  w
)  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  ( z  i^i  w
) )  e.  Fin )
5347, 48, 523imtr4g 270 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  C_  X  /\  w  C_  X )  ->  ( ( [. z  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin  /\  [. w  / 
y ]. ( A  \ 
y )  e.  Fin )  ->  [. ( z  i^i  w )  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
)
547, 9, 20, 29, 43, 53isfild 19406 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967   [.wsbc 3181    \ cdif 3320    u. cun 3321    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   ` cfv 5413   Fincfn 7302   Filcfil 19393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-fin 7306  df-fbas 17789  df-fil 19394
This theorem is referenced by:  ufinffr  19477
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