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Theorem cfinfil 19597
Description: Relative complements of the finite parts of an infinite set is a filter. When  A  =  NN the set of the relative complements is called Frechet's filter and is used to define the concept of limit of a sequence. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfinfil  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, X
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem cfinfil
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3575 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  y
) )
21eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  y )  e.  Fin ) )
32elrab 3222 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  ( y  e.  ~P X  /\  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )
4 selpw 3974 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P X  <->  y  C_  X )
54anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~P X  /\  ( A  \  y
)  e.  Fin )  <->  ( y  C_  X  /\  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)
63, 5bitri 249 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  ( y  C_  X  /\  ( A 
\  y )  e. 
Fin ) )
76a1i 11 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <-> 
( y  C_  X  /\  ( A  \  y
)  e.  Fin )
) )
8 elex 3085 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
983ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  X  e.  _V )
10 ssdif0 3844 . . . . 5  |-  ( A 
C_  X  <->  ( A  \  X )  =  (/) )
11 0fin 7650 . . . . . 6  |-  (/)  e.  Fin
12 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  X )  =  (/)  ->  ( ( A  \  X )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1311, 12mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( ( A  \  X )  =  (/)  ->  ( A 
\  X )  e. 
Fin )
1410, 13sylbi 195 . . . 4  |-  ( A 
C_  X  ->  ( A  \  X )  e. 
Fin )
15 difeq2 3575 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( A  \  y )  =  ( A  \  X
) )
1615eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  (
( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  X )  e.  Fin ) )
1716sbcieg 3325 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( [. X  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  X )  e.  Fin ) )
1817biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( A  \  X )  e.  Fin )  ->  [. X  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
1914, 18sylan2 474 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X )  ->  [. X  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
20193adant3 1008 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  [. X  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
21 0ex 4529 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
22 difeq2 3575 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A 
\  y )  =  ( A  \  (/) ) )
2322eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A  \  y )  e.  Fin  <->  ( A  \  (/) )  e.  Fin ) )
2421, 23sbcie 3327 . . . . 5  |-  ( [. (/)  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  (/) )  e. 
Fin )
25 dif0 3856 . . . . . 6  |-  ( A 
\  (/) )  =  A
2625eleq1i 2531 . . . . 5  |-  ( ( A  \  (/) )  e. 
Fin 
<->  A  e.  Fin )
2724, 26sylbb 197 . . . 4  |-  ( [. (/)  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin  ->  A  e.  Fin )
2827con3i 135 . . 3  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -. 
[. (/)  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
29283ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  [. (/)  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
30 sscon 3597 . . . . 5  |-  ( w 
C_  z  ->  ( A  \  z )  C_  ( A  \  w
) )
31 ssfi 7643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  w
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  C_  ( A  \  w ) )  -> 
( A  \  z
)  e.  Fin )
3231expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( A  \  z ) 
C_  ( A  \  w )  ->  (
( A  \  w
)  e.  Fin  ->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
3330, 32syl 16 . . . 4  |-  ( w 
C_  z  ->  (
( A  \  w
)  e.  Fin  ->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
34 vex 3079 . . . . 5  |-  w  e. 
_V
35 difeq2 3575 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( A  \  y )  =  ( A  \  w
) )
3635eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  w )  e.  Fin ) )
3734, 36sbcie 3327 . . . 4  |-  ( [. w  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  w
)  e.  Fin )
38 vex 3079 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
39 difeq2 3575 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( A  \  y )  =  ( A  \  z
) )
4039eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
4138, 40sbcie 3327 . . . 4  |-  ( [. z  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  z
)  e.  Fin )
4233, 37, 413imtr4g 270 . . 3  |-  ( w 
C_  z  ->  ( [. w  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin  ->  [. z  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
)
43423ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  C_  X  /\  w  C_  z )  ->  ( [. w  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin  ->  [. z  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
)
44 difindi 3711 . . . . 5  |-  ( A 
\  ( z  i^i  w ) )  =  ( ( A  \ 
z )  u.  ( A  \  w ) )
45 unfi 7689 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  w
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
z )  u.  ( A  \  w ) )  e.  Fin )
4644, 45syl5eqel 2546 . . . 4  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  w
)  e.  Fin )  ->  ( A  \  (
z  i^i  w )
)  e.  Fin )
4746a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  C_  X  /\  w  C_  X )  ->  ( ( ( A  \  z )  e.  Fin  /\  ( A  \  w )  e. 
Fin )  ->  ( A  \  ( z  i^i  w ) )  e. 
Fin ) )
4841, 37anbi12i 697 . . 3  |-  ( (
[. z  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  [. w  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )  <->  ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  w
)  e.  Fin )
)
4938inex1 4540 . . . 4  |-  ( z  i^i  w )  e. 
_V
50 difeq2 3575 . . . . 5  |-  ( y  =  ( z  i^i  w )  ->  ( A  \  y )  =  ( A  \  (
z  i^i  w )
) )
5150eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( y  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  ( z  i^i  w
) )  e.  Fin ) )
5249, 51sbcie 3327 . . 3  |-  ( [. ( z  i^i  w
)  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  ( z  i^i  w
) )  e.  Fin )
5347, 48, 523imtr4g 270 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  C_  X  /\  w  C_  X )  ->  ( ( [. z  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin  /\  [. w  / 
y ]. ( A  \ 
y )  e.  Fin )  ->  [. ( z  i^i  w )  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
)
547, 9, 20, 29, 43, 53isfild 19562 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2802   _Vcvv 3076   [.wsbc 3292    \ cdif 3432    u. cun 3433    i^i cin 3434    C_ wss 3435   (/)c0 3744   ~Pcpw 3967   ` cfv 5525   Fincfn 7419   Filcfil 19549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-fin 7423  df-fbas 17938  df-fil 19550
This theorem is referenced by:  ufinffr  19633
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