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Theorem cfinfil 20520
Description: Relative complements of the finite parts of an infinite set is a filter. When  A  =  NN the set of the relative complements is called Frechet's filter and is used to define the concept of limit of a sequence. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfinfil  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, X
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem cfinfil
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3612 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  y
) )
21eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  y )  e.  Fin ) )
32elrab 3257 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  ( y  e.  ~P X  /\  ( A  \  y )  e. 
Fin ) )
4 selpw 4022 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P X  <->  y  C_  X )
54anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~P X  /\  ( A  \  y
)  e.  Fin )  <->  ( y  C_  X  /\  ( A  \  y
)  e.  Fin )
)
63, 5bitri 249 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  ( y  C_  X  /\  ( A 
\  y )  e. 
Fin ) )
76a1i 11 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <-> 
( y  C_  X  /\  ( A  \  y
)  e.  Fin )
) )
8 elex 3118 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
983ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  X  e.  _V )
10 ssdif0 3888 . . . . 5  |-  ( A 
C_  X  <->  ( A  \  X )  =  (/) )
11 0fin 7766 . . . . . 6  |-  (/)  e.  Fin
12 eleq1 2529 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  X )  =  (/)  ->  ( ( A  \  X )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1311, 12mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( ( A  \  X )  =  (/)  ->  ( A 
\  X )  e. 
Fin )
1410, 13sylbi 195 . . . 4  |-  ( A 
C_  X  ->  ( A  \  X )  e. 
Fin )
15 difeq2 3612 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( A  \  y )  =  ( A  \  X
) )
1615eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  (
( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  X )  e.  Fin ) )
1716sbcieg 3360 . . . . 5  |-  ( X  e.  V  ->  ( [. X  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  X )  e.  Fin ) )
1817biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( A  \  X )  e.  Fin )  ->  [. X  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
1914, 18sylan2 474 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X )  ->  [. X  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
20193adant3 1016 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  [. X  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
21 0ex 4587 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
22 difeq2 3612 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A 
\  y )  =  ( A  \  (/) ) )
2322eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A  \  y )  e.  Fin  <->  ( A  \  (/) )  e.  Fin ) )
2421, 23sbcie 3362 . . . . 5  |-  ( [. (/)  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  (/) )  e. 
Fin )
25 dif0 3901 . . . . . 6  |-  ( A 
\  (/) )  =  A
2625eleq1i 2534 . . . . 5  |-  ( ( A  \  (/) )  e. 
Fin 
<->  A  e.  Fin )
2724, 26sylbb 197 . . . 4  |-  ( [. (/)  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin  ->  A  e.  Fin )
2827con3i 135 . . 3  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -. 
[. (/)  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
29283ad2ant3 1019 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  [. (/)  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
30 sscon 3634 . . . . 5  |-  ( w 
C_  z  ->  ( A  \  z )  C_  ( A  \  w
) )
31 ssfi 7759 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  w
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  C_  ( A  \  w ) )  -> 
( A  \  z
)  e.  Fin )
3231expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( A  \  z ) 
C_  ( A  \  w )  ->  (
( A  \  w
)  e.  Fin  ->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
3330, 32syl 16 . . . 4  |-  ( w 
C_  z  ->  (
( A  \  w
)  e.  Fin  ->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
34 vex 3112 . . . . 5  |-  w  e. 
_V
35 difeq2 3612 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( A  \  y )  =  ( A  \  w
) )
3635eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  w )  e.  Fin ) )
3734, 36sbcie 3362 . . . 4  |-  ( [. w  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  w
)  e.  Fin )
38 vex 3112 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
39 difeq2 3612 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( A  \  y )  =  ( A  \  z
) )
4039eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
4138, 40sbcie 3362 . . . 4  |-  ( [. z  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  z
)  e.  Fin )
4233, 37, 413imtr4g 270 . . 3  |-  ( w 
C_  z  ->  ( [. w  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin  ->  [. z  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
)
43423ad2ant3 1019 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  C_  X  /\  w  C_  z )  ->  ( [. w  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin  ->  [. z  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
)
44 difindi 3759 . . . . 5  |-  ( A 
\  ( z  i^i  w ) )  =  ( ( A  \ 
z )  u.  ( A  \  w ) )
45 unfi 7805 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  w
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
z )  u.  ( A  \  w ) )  e.  Fin )
4644, 45syl5eqel 2549 . . . 4  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  w
)  e.  Fin )  ->  ( A  \  (
z  i^i  w )
)  e.  Fin )
4746a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  C_  X  /\  w  C_  X )  ->  ( ( ( A  \  z )  e.  Fin  /\  ( A  \  w )  e. 
Fin )  ->  ( A  \  ( z  i^i  w ) )  e. 
Fin ) )
4841, 37anbi12i 697 . . 3  |-  ( (
[. z  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  [. w  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )  <->  ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  w
)  e.  Fin )
)
4938inex1 4597 . . . 4  |-  ( z  i^i  w )  e. 
_V
50 difeq2 3612 . . . . 5  |-  ( y  =  ( z  i^i  w )  ->  ( A  \  y )  =  ( A  \  (
z  i^i  w )
) )
5150eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( y  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  ( z  i^i  w
) )  e.  Fin ) )
5249, 51sbcie 3362 . . 3  |-  ( [. ( z  i^i  w
)  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin  <->  ( A  \  ( z  i^i  w
) )  e.  Fin )
5347, 48, 523imtr4g 270 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  z  C_  X  /\  w  C_  X )  ->  ( ( [. z  /  y ]. ( A  \  y )  e. 
Fin  /\  [. w  / 
y ]. ( A  \ 
y )  e.  Fin )  ->  [. ( z  i^i  w )  /  y ]. ( A  \  y
)  e.  Fin )
)
547, 9, 20, 29, 43, 53isfild 20485 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109   [.wsbc 3327    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   ` cfv 5594   Fincfn 7535   Filcfil 20472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fbas 18543  df-fil 20473
This theorem is referenced by:  ufinffr  20556
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