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Theorem cfilucfilOLD 21238
Description: Given a metric  D and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 21870. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
Assertion
Ref Expression
cfilucfilOLD  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  <->  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, a    X, a    F, a, x    x, D, y    x, F, y   
x, X, y, a   
y, D    C, a, x, y

Proof of Theorem cfilucfilOLD
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . 5  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
21metustOLD 21236 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
) )
3 cfilufbas 20958 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
)  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  ->  C  e.  ( fBas `  X
) )
42, 3sylan 469 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  ->  C  e.  ( fBas `  X )
)
5 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
6 xmetf 20998 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
7 ffun 5715 . . . . . 6  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  Fun 
D )
85, 6, 73syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  Fun  D )
92ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
) )
10 simplr 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )
111metustfbasOLD 21234 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) ) )
1211ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) ) )
13 cnvimass 5345 . . . . . . . 8  |-  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) 
C_  dom  D
14 fdm 5717 . . . . . . . . 9  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
D  =  ( X  X.  X ) )
155, 6, 143syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  dom  D  =  ( X  X.  X ) )
1613, 15syl5sseq 3537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( `' D "
( 0 [,) x
) )  C_  ( X  X.  X ) )
17 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
1817rphalfcld 11271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( x  /  2
)  e.  RR+ )
19 eqidd 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) ) )
20 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  / 
2 )  ->  (
0 [,) a )  =  ( 0 [,) ( x  /  2
) ) )
2120imaeq2d 5325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  / 
2 )  ->  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) ) )
2221eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  <-> 
( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) ) ) )
2322rspcev 3207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR+  /\  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) ) )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
2418, 19, 23syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
251metustelOLD 21220 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  e.  F  <->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) ) )
2625biimpar 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  E. a  e.  RR+  ( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )  ->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  /  2
) ) )  e.  F )
275, 24, 26syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  e.  F
)
28 0xr 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  e. 
RR* )
30 rpxr 11228 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
31 0le0 10621 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
0 )
33 rpre 11227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
3433rehalfcld 10781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR )
35 rphalflt 11248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  < 
x )
3634, 33, 35ltled 9722 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  <_  x )
37 icossico 11597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  0  /\  ( x  /  2
)  <_  x )
)  ->  ( 0 [,) ( x  / 
2 ) )  C_  ( 0 [,) x
) )
3829, 30, 32, 36, 37syl22anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 0 [,) ( x  / 
2 ) )  C_  ( 0 [,) x
) )
39 imass2 5360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 [,) ( x  /  2 ) ) 
C_  ( 0 [,) x )  ->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) ) )
4017, 38, 393syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )
41 sseq1 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  ->  (
w  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) )  <->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  /  2
) ) )  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) )
4241rspcev 3207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  e.  F  /\  ( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )  ->  E. w  e.  F  w  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )
4327, 40, 42syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  F  w  C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) ) )
44 elfg 20538 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) x ) )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  <->  ( ( `' D " ( 0 [,) x ) ) 
C_  ( X  X.  X )  /\  E. w  e.  F  w  C_  ( `' D "
( 0 [,) x
) ) ) ) )
4544biimpar 483 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  (
( `' D "
( 0 [,) x
) )  C_  ( X  X.  X )  /\  E. w  e.  F  w 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) ) ) )  ->  ( `' D " ( 0 [,) x
) )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
4612, 16, 43, 45syl12anc 1224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( `' D "
( 0 [,) x
) )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
47 cfiluexsm 20959 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
)  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) x ) )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y )  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )
489, 10, 46, 47syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )
49 funimass2 5644 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  D  /\  (
y  X.  y ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) ) )  -> 
( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x ) )
5049ex 432 . . . . . 6  |-  ( Fun 
D  ->  ( (
y  X.  y ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) )  ->  ( D " ( y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x
) ) )
5150reximdv 2928 . . . . 5  |-  ( Fun 
D  ->  ( E. y  e.  C  (
y  X.  y ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) )  ->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
528, 48, 51sylc 60 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x ) )
5352ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) )
544, 53jca 530 . 2  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  ->  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
55 simprl 754 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  C  e.  ( fBas `  X
) )
56 simp-4r 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  -> 
( C  e.  (
fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x ) ) )
5756simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) )
58 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  -> 
a  e.  RR+ )
59 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
0 [,) x )  =  ( 0 [,) a ) )
6059sseq2d 3517 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x )  <->  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) a ) ) )
6160rexbidv 2965 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  ( E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x )  <->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) a ) ) )
6261rspccv 3204 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x )  ->  ( a  e.  RR+  ->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a ) ) )
6357, 58, 62sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a ) )
64 nfv 1712 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )
65 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  C  e.  ( fBas `  X )
66 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y RR+
67 nfre1 2915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x )
6866, 67nfral 2840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x )
6965, 68nfan 1933 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( C  e.  (
fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x ) )
7064, 69nfan 1933 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
71 nfv 1712 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F )
7270, 71nfan 1933 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
73 nfv 1712 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  a  e.  RR+
7472, 73nfan 1933 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )
75 nfv 1712 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( `' D "
( 0 [,) a
) )  C_  v
7674, 75nfan 1933 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )
7755ad4antr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  C  e.  ( fBas `  X ) )
78 fbelss 20500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  C )  ->  y  C_  X )
7977, 78sylancom 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  y  C_  X )
80 xpss12 5096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  X  /\  y  C_  X )  -> 
( y  X.  y
)  C_  ( X  X.  X ) )
8179, 79, 80syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  X.  y
)  C_  ( X  X.  X ) )
82 simp-6r 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
8382, 6, 143syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  dom  D  =  ( X  X.  X ) )
8481, 83sseqtr4d 3526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )
8584ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  -> 
( y  e.  C  ->  ( y  X.  y
)  C_  dom  D ) )
8676, 85ralrimi 2854 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  A. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )
87 r19.29r 2990 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a )  /\  A. y  e.  C  (
y  X.  y ) 
C_  dom  D )  ->  E. y  e.  C  ( ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) a )  /\  ( y  X.  y )  C_  dom  D ) )
88 dfss1 3689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  X.  y ) 
C_  dom  D  <->  ( dom  D  i^i  ( y  X.  y ) )  =  ( y  X.  y
) )
8988biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  X.  y ) 
C_  dom  D  ->  ( dom  D  i^i  (
y  X.  y ) )  =  ( y  X.  y ) )
9089adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  ( dom  D  i^i  ( y  X.  y
) )  =  ( y  X.  y ) )
91 dminss 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
D  i^i  ( y  X.  y ) )  C_  ( `' D " ( D
" ( y  X.  y ) ) )
9290, 91syl6eqssr 3540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  ( y  X.  y )  C_  ( `' D " ( D
" ( y  X.  y ) ) ) )
93 imass2 5360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a )  ->  ( `' D " ( D
" ( y  X.  y ) ) ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
9493adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  ( `' D " ( D " (
y  X.  y ) ) )  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
9592, 94sstrd 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  ( y  X.  y )  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
9695reximi 2922 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  C  ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
9787, 96syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a )  /\  A. y  e.  C  (
y  X.  y ) 
C_  dom  D )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
9863, 86, 97syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
99 r19.41v 3006 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  C  ( ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  <->  ( E. y  e.  C  (
y  X.  y ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v ) )
100 sstr 3497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  -> 
( y  X.  y
)  C_  v )
101100reximi 2922 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  C  ( ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
10299, 101sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( ( E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
10398, 102sylancom 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
104 simp-5r 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  F )  /\  w  C_  v )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
105 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  F )  /\  w  C_  v )  ->  w  e.  F )
1061metustelOLD 21220 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
w  e.  F  <->  E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) )
107106biimpa 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  w  e.  F
)  ->  E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
108104, 105, 107syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  F )  /\  w  C_  v )  ->  E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
109 r19.41v 3006 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR+  (
w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v
)  <->  ( E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v
) )
110 sseq1 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  ->  (
w  C_  v  <->  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  C_  v ) )
111110biimpa 482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v
)  ->  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  C_  v )
112111reximi 2922 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR+  (
w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v
)  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  C_  v
)
113109, 112sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )
114108, 113sylancom 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  F )  /\  w  C_  v )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  C_  v
)
11511ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
116 elfg 20538 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  <-> 
( v  C_  ( X  X.  X )  /\  E. w  e.  F  w 
C_  v ) ) )
117116biimpa 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. w  e.  F  w  C_  v
) )
118115, 117sylancom 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. w  e.  F  w  C_  v
) )
119118simprd 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  F  w  C_  v
)
120114, 119r19.29a 2996 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  C_  v
)
121103, 120r19.29a 2996 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y )  C_  v
)
122121ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
1232adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  (UnifOn `  X )
)
124 iscfilu 20957 . . . 4  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  (UnifOn `  X )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  <->  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
) )
125123, 124syl 16 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) )  <-> 
( C  e.  (
fBas `  X )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) E. y  e.  C  ( y  X.  y ) 
C_  v ) ) )
12655, 122, 125mpbir2and 920 . 2  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )
12754, 126impbida 830 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  <->  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   "cima 4991   Fun wfun 5564   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   RR*cxr 9616    <_ cle 9618    / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11221   [,)cico 11534   *Metcxmt 18598   fBascfbas 18601   filGencfg 18602  UnifOncust 20868  CauFiluccfilu 20955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-2 10590  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-xmet 18607  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-fil 20513  df-ust 20869  df-cfilu 20956
This theorem is referenced by:  cfilucfil2OLD  21242
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