MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil4 Structured version   Unicode version

Theorem cfilucfil4 21845
Description: Given a metric  D and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the Cauchy filters for the metric. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
cfilucfil4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X )  /\  C  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D ) )  <->  C  e.  (CauFil `  D ) ) )

Proof of Theorem cfilucfil4
StepHypRef Expression
1 cfilucfil3 21843 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( ( C  e.  ( Fil `  X
)  /\  C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D )
) )  <->  C  e.  (CauFil `  D ) ) )
2 cfilfil 21791 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  C  e.  (CauFil `  D ) )  ->  C  e.  ( Fil `  X ) )
32ex 432 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( C  e.  (CauFil `  D
)  ->  C  e.  ( Fil `  X ) ) )
43adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( C  e.  (CauFil `  D )  ->  C  e.  ( Fil `  X
) ) )
54pm4.71rd 633 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( C  e.  (CauFil `  D )  <->  ( C  e.  ( Fil `  X
)  /\  C  e.  (CauFil `  D ) ) ) )
61, 5bitrd 253 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( ( C  e.  ( Fil `  X
)  /\  C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D )
) )  <->  ( C  e.  ( Fil `  X
)  /\  C  e.  (CauFil `  D ) ) ) )
7 pm5.32 634 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Fil `  X )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D ) )  <->  C  e.  (CauFil `  D ) ) )  <->  ( ( C  e.  ( Fil `  X
)  /\  C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D )
) )  <->  ( C  e.  ( Fil `  X
)  /\  C  e.  (CauFil `  D ) ) ) )
86, 7sylibr 212 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( C  e.  ( Fil `  X )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D
) )  <->  C  e.  (CauFil `  D ) ) ) )
983impia 1191 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X )  /\  C  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D ) )  <->  C  e.  (CauFil `  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1826    =/= wne 2577   (/)c0 3711   ` cfv 5496   *Metcxmt 18516  metUnifcmetu 18523   Filcfil 20431  CauFiluccfilu 20874  CauFilccfil 21776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-2 10511  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ico 11456  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-metu 18532  df-fil 20432  df-ust 20788  df-cfilu 20875  df-cfil 21779
This theorem is referenced by:  cmetcusp1  21877
  Copyright terms: Public domain W3C validator