MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil4 Structured version   Unicode version

Theorem cfilucfil4 20965
Description: Given a metric  D and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the Cauchy filters for the metric. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
cfilucfil4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X )  /\  C  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D ) )  <->  C  e.  (CauFil `  D ) ) )

Proof of Theorem cfilucfil4
StepHypRef Expression
1 cfilucfil3 20963 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( ( C  e.  ( Fil `  X
)  /\  C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D )
) )  <->  C  e.  (CauFil `  D ) ) )
2 cfilfil 20911 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  C  e.  (CauFil `  D ) )  ->  C  e.  ( Fil `  X ) )
32ex 434 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( C  e.  (CauFil `  D
)  ->  C  e.  ( Fil `  X ) ) )
43adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( C  e.  (CauFil `  D )  ->  C  e.  ( Fil `  X
) ) )
54pm4.71rd 635 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( C  e.  (CauFil `  D )  <->  ( C  e.  ( Fil `  X
)  /\  C  e.  (CauFil `  D ) ) ) )
61, 5bitrd 253 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( ( C  e.  ( Fil `  X
)  /\  C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D )
) )  <->  ( C  e.  ( Fil `  X
)  /\  C  e.  (CauFil `  D ) ) ) )
7 pm5.32 636 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( Fil `  X )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D ) )  <->  C  e.  (CauFil `  D ) ) )  <->  ( ( C  e.  ( Fil `  X
)  /\  C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D )
) )  <->  ( C  e.  ( Fil `  X
)  /\  C  e.  (CauFil `  D ) ) ) )
86, 7sylibr 212 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
( C  e.  ( Fil `  X )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D
) )  <->  C  e.  (CauFil `  D ) ) ) )
983impia 1185 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X )  /\  C  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  (metUnif `  D ) )  <->  C  e.  (CauFil `  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2648   (/)c0 3746   ` cfv 5527   *Metcxmt 17927  metUnifcmetu 17934   Filcfil 19551  CauFiluccfilu 19994  CauFilccfil 20896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-2 10492  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ico 11418  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-metu 17943  df-fil 19552  df-ust 19908  df-cfilu 19995  df-cfil 20899
This theorem is referenced by:  cmetcusp1  20997
  Copyright terms: Public domain W3C validator