Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil2OLD Structured version   Unicode version

Theorem cfilucfil2OLD 21201
 Description: Given a metric and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 21829. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cfilucfil2OLD CauFilumetUnifOLD
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem cfilucfil2OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metuvalOLD 21177 . . . . 5 metUnifOLD
21adantl 466 . . . 4 metUnifOLD
32fveq2d 5876 . . 3 CauFilumetUnifOLD CauFilu
43eleq2d 2527 . 2 CauFilumetUnifOLD CauFilu
5 oveq2 6304 . . . . . 6
65imaeq2d 5347 . . . . 5
76cbvmptv 4548 . . . 4
87rneqi 5239 . . 3
98cfilucfilOLD 21197 . 2 CauFilu
104, 9bitrd 253 1 CauFilumetUnifOLD
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  wrex 2808   wss 3471  c0 3793   cmpt 4515   cxp 5006  ccnv 5007   crn 5009  cima 5011  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc0 9509  crp 11245  cico 11556  cxmt 18529  cfbas 18532  cfg 18533  metUnifOLDcmetuOLD 18535  CauFiluccfilu 20914 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-2 10615  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-xmet 18538  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-metuOLD 18544  df-fil 20472  df-ust 20828  df-cfilu 20915 This theorem is referenced by:  cfilucfil3OLD  21882  cmetcuspOLD  21918
 Copyright terms: Public domain W3C validator