Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cfilucfil2 21576
 Description: Given a metric and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 22235. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
cfilucfil2 PsMet CauFilumetUnif
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem cfilucfil2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metuval 21564 . . . . 5 PsMet metUnif
21adantl 468 . . . 4 PsMet metUnif
32fveq2d 5869 . . 3 PsMet CauFilumetUnif CauFilu
43eleq2d 2514 . 2 PsMet CauFilumetUnif CauFilu
5 oveq2 6298 . . . . . 6
65imaeq2d 5168 . . . . 5
76cbvmptv 4495 . . . 4
87rneqi 5061 . . 3
98cfilucfil 21574 . 2 PsMet CauFilu
104, 9bitrd 257 1 PsMet CauFilumetUnif
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738   wss 3404  c0 3731   cmpt 4461   cxp 4832  ccnv 4833   crn 4835  cima 4837  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc0 9539  crp 11302  cico 11637  PsMetcpsmet 18954  cfbas 18958  cfg 18959  metUnifcmetu 18961  CauFiluccfilu 21301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-psmet 18962  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-metu 18969  df-fil 20861  df-ust 21215  df-cfilu 21302 This theorem is referenced by:  cfilucfil3  22288  cmetcusp  22321
 Copyright terms: Public domain W3C validator