MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil Structured version   Unicode version

Theorem cfilucfil 20270
Description: Given a metric  D and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 20901. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
Assertion
Ref Expression
cfilucfil  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  <->  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, a    X, a    F, a, x    x, D, y    x, F, y   
x, X, y, a   
y, D    C, a, x, y

Proof of Theorem cfilucfil
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . 5  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
21metust 20268 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X ) )
3 cfilufbas 19989 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
)  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  ->  C  e.  ( fBas `  X
) )
42, 3sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  ->  C  e.  ( fBas `  X
) )
5 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
6 psmetf 20007 . . . . . 6  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR* )
7 ffun 5662 . . . . . 6  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  Fun 
D )
85, 6, 73syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  Fun  D
)
92ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( X  X.  X )
filGen F )  e.  (UnifOn `  X ) )
10 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )
111metustfbas 20266 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
1211ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
13 cnvimass 5290 . . . . . . . 8  |-  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) 
C_  dom  D
14 fdm 5664 . . . . . . . . 9  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
D  =  ( X  X.  X ) )
155, 6, 143syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  dom  D  =  ( X  X.  X ) )
1613, 15syl5sseq 3505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) 
C_  ( X  X.  X ) )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
1817rphalfcld 11143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
19 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) ) )
20 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  / 
2 )  ->  (
0 [,) a )  =  ( 0 [,) ( x  /  2
) ) )
2120imaeq2d 5270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  / 
2 )  ->  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) ) )
2221eqeq2d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  <-> 
( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) ) ) )
2322rspcev 3172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR+  /\  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) ) )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
2418, 19, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
251metustel 20252 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  e.  F  <->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) )
2625biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )  -> 
( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  e.  F
)
275, 24, 26syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  e.  F )
28 0xr 9534 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  e. 
RR* )
30 rpxr 11102 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
31 0le0 10515 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
0 )
33 rpre 11101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
3433rehalfcld 10675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR )
35 rphalflt 11121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  < 
x )
3634, 33, 35ltled 9626 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  <_  x )
37 icossico 11469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  0  /\  ( x  /  2
)  <_  x )
)  ->  ( 0 [,) ( x  / 
2 ) )  C_  ( 0 [,) x
) )
3829, 30, 32, 36, 37syl22anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 0 [,) ( x  / 
2 ) )  C_  ( 0 [,) x
) )
39 imass2 5305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 [,) ( x  /  2 ) ) 
C_  ( 0 [,) x )  ->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) ) )
4017, 38, 393syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) ) )
41 sseq1 3478 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  ->  (
w  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) )  <->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  /  2
) ) )  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) )
4241rspcev 3172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  e.  F  /\  ( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )  ->  E. w  e.  F  w  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )
4327, 40, 42syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  F  w  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )
44 elfg 19569 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) x ) )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  <->  ( ( `' D " ( 0 [,) x ) ) 
C_  ( X  X.  X )  /\  E. w  e.  F  w  C_  ( `' D "
( 0 [,) x
) ) ) ) )
4544biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  (
( `' D "
( 0 [,) x
) )  C_  ( X  X.  X )  /\  E. w  e.  F  w 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) ) ) )  ->  ( `' D " ( 0 [,) x
) )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
4612, 16, 43, 45syl12anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) x ) )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
47 cfiluexsm 19990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
)  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) x ) )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y )  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )
489, 10, 46, 47syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y )  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )
49 funimass2 5593 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  D  /\  (
y  X.  y ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) ) )  -> 
( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x ) )
5049ex 434 . . . . . 6  |-  ( Fun 
D  ->  ( (
y  X.  y ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) )  ->  ( D " ( y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x
) ) )
5150reximdv 2926 . . . . 5  |-  ( Fun 
D  ->  ( E. y  e.  C  (
y  X.  y ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) )  ->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
528, 48, 51sylc 60 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) )
5352ralrimiva 2825 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) )
544, 53jca 532 . 2  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  ->  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
55 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  C  e.  ( fBas `  X
) )
56 simp-4r 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  -> 
( C  e.  (
fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x ) ) )
5756simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) )
58 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  -> 
a  e.  RR+ )
59 oveq2 6201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
0 [,) x )  =  ( 0 [,) a ) )
6059sseq2d 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x )  <->  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) a ) ) )
6160rexbidv 2855 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  ( E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x )  <->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) a ) ) )
6261rspccv 3169 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x )  ->  ( a  e.  RR+  ->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a ) ) )
6357, 58, 62sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a ) )
64 nfv 1674 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)
65 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  C  e.  ( fBas `  X )
66 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y RR+
67 nfre1 2884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x )
6866, 67nfral 2881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x )
6965, 68nfan 1863 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( C  e.  (
fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x ) )
7064, 69nfan 1863 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
71 nfv 1674 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F )
7270, 71nfan 1863 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
73 nfv 1674 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  a  e.  RR+
7472, 73nfan 1863 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )
75 nfv 1674 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( `' D "
( 0 [,) a
) )  C_  v
7674, 75nfan 1863 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )
7755ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  C  e.  ( fBas `  X ) )
78 fbelss 19531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  C )  ->  y  C_  X )
7977, 78sylancom 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  y  C_  X )
80 xpss12 5046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  X  /\  y  C_  X )  -> 
( y  X.  y
)  C_  ( X  X.  X ) )
8179, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  X.  y
)  C_  ( X  X.  X ) )
82 simp-6r 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
8382, 6, 143syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  dom  D  =  ( X  X.  X ) )
8481, 83sseqtr4d 3494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )
8584ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  -> 
( y  e.  C  ->  ( y  X.  y
)  C_  dom  D ) )
8676, 85ralrimi 2818 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  A. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )
87 r19.29r 2957 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a )  /\  A. y  e.  C  (
y  X.  y ) 
C_  dom  D )  ->  E. y  e.  C  ( ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) a )  /\  ( y  X.  y )  C_  dom  D ) )
88 dfss1 3656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  X.  y ) 
C_  dom  D  <->  ( dom  D  i^i  ( y  X.  y ) )  =  ( y  X.  y
) )
8988biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  X.  y ) 
C_  dom  D  ->  ( dom  D  i^i  (
y  X.  y ) )  =  ( y  X.  y ) )
9089adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  ( dom  D  i^i  ( y  X.  y
) )  =  ( y  X.  y ) )
91 dminss 5352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
D  i^i  ( y  X.  y ) )  C_  ( `' D " ( D
" ( y  X.  y ) ) )
9290, 91syl6eqssr 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  ( y  X.  y )  C_  ( `' D " ( D
" ( y  X.  y ) ) ) )
93 imass2 5305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a )  ->  ( `' D " ( D
" ( y  X.  y ) ) ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
9493adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  ( `' D " ( D " (
y  X.  y ) ) )  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
9592, 94sstrd 3467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  ( y  X.  y )  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
9695reximi 2922 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  C  ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
9787, 96syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a )  /\  A. y  e.  C  (
y  X.  y ) 
C_  dom  D )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
9863, 86, 97syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
99 r19.41v 2972 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  C  ( ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  <->  ( E. y  e.  C  (
y  X.  y ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v ) )
100 sstr 3465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  -> 
( y  X.  y
)  C_  v )
101100reximi 2922 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  C  ( ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
10299, 101sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( ( E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
10398, 102sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
104 simp-5r 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  F )  /\  w  C_  v )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
105 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  F )  /\  w  C_  v )  ->  w  e.  F )
1061metustel 20252 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( w  e.  F  <->  E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) )
107106biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  w  e.  F )  ->  E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
108104, 105, 107syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  F )  /\  w  C_  v )  ->  E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
109 r19.41v 2972 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR+  (
w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v
)  <->  ( E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v
) )
110 sseq1 3478 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  ->  (
w  C_  v  <->  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  C_  v ) )
111110biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v
)  ->  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  C_  v )
112111reximi 2922 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR+  (
w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v
)  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  C_  v
)
113109, 112sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )
114108, 113sylancom 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  F )  /\  w  C_  v )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  C_  v
)
11511ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
116 elfg 19569 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  <-> 
( v  C_  ( X  X.  X )  /\  E. w  e.  F  w 
C_  v ) ) )
117116biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. w  e.  F  w  C_  v
) )
118115, 117sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. w  e.  F  w  C_  v
) )
119118simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  F  w  C_  v
)
120114, 119r19.29a 2961 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  C_  v
)
121103, 120r19.29a 2961 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y )  C_  v
)
122121ralrimiva 2825 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
1232adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  (UnifOn `  X )
)
124 iscfilu 19988 . . . 4  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  (UnifOn `  X )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  <->  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
) )
125123, 124syl 16 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) )  <-> 
( C  e.  (
fBas `  X )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) E. y  e.  C  ( y  X.  y ) 
C_  v ) ) )
12655, 122, 125mpbir2and 913 . 2  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )
12754, 126impbida 828 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  <->  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796    i^i cin 3428    C_ wss 3429   (/)c0 3738   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451    X. cxp 4939   `'ccnv 4940   dom cdm 4941   ran crn 4942   "cima 4944   Fun wfun 5513   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   0cc0 9386   RR*cxr 9521    <_ cle 9523    / cdiv 10097   2c2 10475   RR+crp 11095   [,)cico 11406  PsMetcpsmet 17918   fBascfbas 17922   filGencfg 17923  UnifOncust 19899  CauFiluccfilu 19986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-2 10484  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ico 11410  df-psmet 17927  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-fil 19544  df-ust 19900  df-cfilu 19987
This theorem is referenced by:  cfilucfil2  20274
  Copyright terms: Public domain W3C validator