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Theorem cfilucfil 21574
Description: Given a metric  D and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 22235. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
Assertion
Ref Expression
cfilucfil  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  <->  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, a    X, a    F, a, x    x, D, y    x, F, y   
x, X, y, a   
y, D    C, a, x, y

Proof of Theorem cfilucfil
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . 5  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
21metust 21573 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X ) )
3 cfilufbas 21304 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
)  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  ->  C  e.  ( fBas `  X
) )
42, 3sylan 474 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  ->  C  e.  ( fBas `  X
) )
5 simpllr 769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
6 psmetf 21322 . . . . . 6  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR* )
7 ffun 5731 . . . . . 6  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  Fun 
D )
85, 6, 73syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  Fun  D
)
92ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( X  X.  X )
filGen F )  e.  (UnifOn `  X ) )
10 simplr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )
111metustfbas 21572 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
1211ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
13 cnvimass 5188 . . . . . . . 8  |-  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) 
C_  dom  D
14 fdm 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
D  =  ( X  X.  X ) )
155, 6, 143syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  dom  D  =  ( X  X.  X ) )
1613, 15syl5sseq 3480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) 
C_  ( X  X.  X ) )
17 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
1817rphalfcld 11353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
19 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) ) )
20 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  / 
2 )  ->  (
0 [,) a )  =  ( 0 [,) ( x  /  2
) ) )
2120imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  / 
2 )  ->  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) ) )
2221eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  <-> 
( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) ) ) )
2322rspcev 3150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR+  /\  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) ) )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
2418, 19, 23syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
251metustel 21565 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  e.  F  <->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) )
2625biimpar 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  =  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )  -> 
( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  e.  F
)
275, 24, 26syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) )  e.  F )
28 0xr 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  e. 
RR* )
30 rpxr 11309 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
31 0le0 10699 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_ 
0 )
33 rpre 11308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
3433rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR )
35 rphalflt 11329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  < 
x )
3634, 33, 35ltled 9783 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  <_  x )
37 icossico 11704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  0  /\  ( x  /  2
)  <_  x )
)  ->  ( 0 [,) ( x  / 
2 ) )  C_  ( 0 [,) x
) )
3829, 30, 32, 36, 37syl22anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 0 [,) ( x  / 
2 ) )  C_  ( 0 [,) x
) )
39 imass2 5204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 [,) ( x  /  2 ) ) 
C_  ( 0 [,) x )  ->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) ) )
4017, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  / 
2 ) ) ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) ) )
41 sseq1 3453 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' D " ( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  ->  (
w  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) )  <->  ( `' D " ( 0 [,) ( x  /  2
) ) )  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) ) )
4241rspcev 3150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  e.  F  /\  ( `' D "
( 0 [,) (
x  /  2 ) ) )  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )  ->  E. w  e.  F  w  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )
4327, 40, 42syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  F  w  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )
44 elfg 20886 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( `' D " ( 0 [,) x ) )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  <->  ( ( `' D " ( 0 [,) x ) ) 
C_  ( X  X.  X )  /\  E. w  e.  F  w  C_  ( `' D "
( 0 [,) x
) ) ) ) )
4544biimpar 488 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  (
( `' D "
( 0 [,) x
) )  C_  ( X  X.  X )  /\  E. w  e.  F  w 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) ) ) )  ->  ( `' D " ( 0 [,) x
) )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
4612, 16, 43, 45syl12anc 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( `' D " ( 0 [,) x ) )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
47 cfiluexsm 21305 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
)  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) x ) )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y )  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )
489, 10, 46, 47syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y )  C_  ( `' D " ( 0 [,) x ) ) )
49 funimass2 5657 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  D  /\  (
y  X.  y ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) ) )  -> 
( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x ) )
5049ex 436 . . . . . 6  |-  ( Fun 
D  ->  ( (
y  X.  y ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) )  ->  ( D " ( y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x
) ) )
5150reximdv 2861 . . . . 5  |-  ( Fun 
D  ->  ( E. y  e.  C  (
y  X.  y ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) x
) )  ->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
528, 48, 51sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) )
5352ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) )
544, 53jca 535 . 2  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )  ->  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
55 simprl 764 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  C  e.  ( fBas `  X
) )
56 simp-4r 777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  -> 
( C  e.  (
fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x ) ) )
5756simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) )
58 simplr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  -> 
a  e.  RR+ )
59 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
0 [,) x )  =  ( 0 [,) a ) )
6059sseq2d 3460 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x )  <->  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) a ) ) )
6160rexbidv 2901 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  ( E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x )  <->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) a ) ) )
6261rspccv 3147 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x )  ->  ( a  e.  RR+  ->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a ) ) )
6357, 58, 62sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a ) )
64 nfv 1761 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)
65 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  C  e.  ( fBas `  X )
66 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y RR+
67 nfre1 2848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x )
6866, 67nfral 2774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x )
6965, 68nfan 2011 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( C  e.  (
fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x ) )
7064, 69nfan 2011 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
71 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F )
7270, 71nfan 2011 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
73 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  a  e.  RR+
7472, 73nfan 2011 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )
75 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( `' D "
( 0 [,) a
) )  C_  v
7674, 75nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )
7755ad4antr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  C  e.  ( fBas `  X ) )
78 fbelss 20848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  C )  ->  y  C_  X )
7977, 78sylancom 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  y  C_  X )
80 xpss12 4940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  X  /\  y  C_  X )  -> 
( y  X.  y
)  C_  ( X  X.  X ) )
8179, 79, 80syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  X.  y
)  C_  ( X  X.  X ) )
82 simp-6r 781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
8382, 6, 143syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  dom  D  =  ( X  X.  X ) )
8481, 83sseqtr4d 3469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  /\  y  e.  C )  ->  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )
8584ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  -> 
( y  e.  C  ->  ( y  X.  y
)  C_  dom  D ) )
8676, 85ralrimi 2788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  A. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )
87 r19.29r 2926 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a )  /\  A. y  e.  C  (
y  X.  y ) 
C_  dom  D )  ->  E. y  e.  C  ( ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) a )  /\  ( y  X.  y )  C_  dom  D ) )
88 dfss1 3637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  X.  y ) 
C_  dom  D  <->  ( dom  D  i^i  ( y  X.  y ) )  =  ( y  X.  y
) )
8988biimpi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  X.  y ) 
C_  dom  D  ->  ( dom  D  i^i  (
y  X.  y ) )  =  ( y  X.  y ) )
9089adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  ( dom  D  i^i  ( y  X.  y
) )  =  ( y  X.  y ) )
91 dminss 5250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
D  i^i  ( y  X.  y ) )  C_  ( `' D " ( D
" ( y  X.  y ) ) )
9290, 91syl6eqssr 3483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  ( y  X.  y )  C_  ( `' D " ( D
" ( y  X.  y ) ) ) )
93 imass2 5204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a )  ->  ( `' D " ( D
" ( y  X.  y ) ) ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
9493adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  ( `' D " ( D " (
y  X.  y ) ) )  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
9592, 94sstrd 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  ( y  X.  y )  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
9695reximi 2855 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  C  ( ( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) a )  /\  ( y  X.  y
)  C_  dom  D )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
9787, 96syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) a )  /\  A. y  e.  C  (
y  X.  y ) 
C_  dom  D )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
9863, 86, 97syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
99 r19.41v 2942 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  C  ( ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  <->  ( E. y  e.  C  (
y  X.  y ) 
C_  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v ) )
100 sstr 3440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  -> 
( y  X.  y
)  C_  v )
101100reximi 2855 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  C  ( ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
10299, 101sylbir 217 . . . . . 6  |-  ( ( E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
10398, 102sylancom 673 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
104 simp-5r 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  F )  /\  w  C_  v )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
105 simplr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  F )  /\  w  C_  v )  ->  w  e.  F )
1061metustel 21565 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( w  e.  F  <->  E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) ) )
107106biimpa 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  w  e.  F )  ->  E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
108104, 105, 107syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  F )  /\  w  C_  v )  ->  E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
109 r19.41v 2942 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR+  (
w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v
)  <->  ( E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v
) )
110 sseq1 3453 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  ->  (
w  C_  v  <->  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  C_  v ) )
111110biimpa 487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v
)  ->  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  C_  v )
112111reximi 2855 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR+  (
w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v
)  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  C_  v
)
113109, 112sylbir 217 . . . . . . 7  |-  ( ( E. a  e.  RR+  w  =  ( `' D " ( 0 [,) a ) )  /\  w  C_  v )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) a ) ) 
C_  v )
114108, 113sylancom 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  F )  /\  w  C_  v )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  C_  v
)
11511ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
116 elfg 20886 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  <-> 
( v  C_  ( X  X.  X )  /\  E. w  e.  F  w 
C_  v ) ) )
117116biimpa 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. w  e.  F  w  C_  v
) )
118115, 117sylancom 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. w  e.  F  w  C_  v
) )
119118simprd 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  F  w  C_  v
)
120114, 119r19.29a 2932 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. a  e.  RR+  ( `' D " ( 0 [,) a
) )  C_  v
)
121103, 120r19.29a 2932 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  ( C  e.  ( fBas `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. y  e.  C  ( y  X.  y )  C_  v
)
122121ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
1232adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  (UnifOn `  X )
)
124 iscfilu 21303 . . . 4  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  (UnifOn `  X )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  <->  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) E. y  e.  C  ( y  X.  y
)  C_  v )
) )
125123, 124syl 17 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  ( C  e.  (CauFilu `  (
( X  X.  X
) filGen F ) )  <-> 
( C  e.  (
fBas `  X )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) E. y  e.  C  ( y  X.  y ) 
C_  v ) ) )
12655, 122, 125mpbir2and 933 . 2  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )  ->  C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )
12754, 126impbida 843 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( C  e.  (CauFilu `  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  <->  ( C  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  C  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   0cc0 9539   RR*cxr 9674    <_ cle 9676    / cdiv 10269   2c2 10659   RR+crp 11302   [,)cico 11637  PsMetcpsmet 18954   fBascfbas 18958   filGencfg 18959  UnifOncust 21214  CauFiluccfilu 21301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-psmet 18962  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-fil 20861  df-ust 21215  df-cfilu 21302
This theorem is referenced by:  cfilucfil2  21576
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