Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cfilucfil 21574
 Description: Given a metric and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 22235. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1
Assertion
Ref Expression
cfilucfil PsMet CauFilu
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,,

Proof of Theorem cfilucfil
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . 5
21metust 21573 . . . 4 PsMet UnifOn
3 cfilufbas 21304 . . . 4 UnifOn CauFilu
42, 3sylan 474 . . 3 PsMet CauFilu
5 simpllr 769 . . . . . 6 PsMet CauFilu PsMet
6 psmetf 21322 . . . . . 6 PsMet
7 ffun 5731 . . . . . 6
85, 6, 73syl 18 . . . . 5 PsMet CauFilu
92ad2antrr 732 . . . . . 6 PsMet CauFilu UnifOn
10 simplr 762 . . . . . 6 PsMet CauFilu CauFilu
111metustfbas 21572 . . . . . . . 8 PsMet
1211ad2antrr 732 . . . . . . 7 PsMet CauFilu
13 cnvimass 5188 . . . . . . . 8
14 fdm 5733 . . . . . . . . 9
155, 6, 143syl 18 . . . . . . . 8 PsMet CauFilu
1613, 15syl5sseq 3480 . . . . . . 7 PsMet CauFilu
17 simpr 463 . . . . . . . . . . 11 PsMet CauFilu
1817rphalfcld 11353 . . . . . . . . . 10 PsMet CauFilu
19 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10 PsMet CauFilu
20 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . 13
2120imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . 12
2221eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . 11
2322rspcev 3150 . . . . . . . . . 10
2418, 19, 23syl2anc 667 . . . . . . . . 9 PsMet CauFilu
251metustel 21565 . . . . . . . . . 10 PsMet
2625biimpar 488 . . . . . . . . 9 PsMet
275, 24, 26syl2anc 667 . . . . . . . 8 PsMet CauFilu
28 0xr 9687 . . . . . . . . . . 11
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10
30 rpxr 11309 . . . . . . . . . 10
31 0le0 10699 . . . . . . . . . . 11
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10
33 rpre 11308 . . . . . . . . . . . 12
3433rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . 11
35 rphalflt 11329 . . . . . . . . . . 11
3634, 33, 35ltled 9783 . . . . . . . . . 10
37 icossico 11704 . . . . . . . . . 10
3829, 30, 32, 36, 37syl22anc 1269 . . . . . . . . 9
39 imass2 5204 . . . . . . . . 9
4017, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8 PsMet CauFilu
41 sseq1 3453 . . . . . . . . 9
4241rspcev 3150 . . . . . . . 8
4327, 40, 42syl2anc 667 . . . . . . 7 PsMet CauFilu
44 elfg 20886 . . . . . . . 8
4544biimpar 488 . . . . . . 7
4612, 16, 43, 45syl12anc 1266 . . . . . 6 PsMet CauFilu
47 cfiluexsm 21305 . . . . . 6 UnifOn CauFilu
489, 10, 46, 47syl3anc 1268 . . . . 5 PsMet CauFilu
49 funimass2 5657 . . . . . . 7
5049ex 436 . . . . . 6
5150reximdv 2861 . . . . 5
528, 48, 51sylc 62 . . . 4 PsMet CauFilu
5352ralrimiva 2802 . . 3 PsMet CauFilu
544, 53jca 535 . 2 PsMet CauFilu
55 simprl 764 . . 3 PsMet
56 simp-4r 777 . . . . . . . . 9 PsMet
5756simprd 465 . . . . . . . 8 PsMet
58 simplr 762 . . . . . . . 8 PsMet
59 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11
6059sseq2d 3460 . . . . . . . . . 10
6160rexbidv 2901 . . . . . . . . 9
6261rspccv 3147 . . . . . . . 8
6357, 58, 62sylc 62 . . . . . . 7 PsMet
64 nfv 1761 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
65 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . 13
66 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14
67 nfre1 2848 . . . . . . . . . . . . . 14
6866, 67nfral 2774 . . . . . . . . . . . . 13
6965, 68nfan 2011 . . . . . . . . . . . 12
7064, 69nfan 2011 . . . . . . . . . . 11 PsMet
71 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11
7270, 71nfan 2011 . . . . . . . . . 10 PsMet
73 nfv 1761 . . . . . . . . . 10
7472, 73nfan 2011 . . . . . . . . 9 PsMet
75 nfv 1761 . . . . . . . . 9
7674, 75nfan 2011 . . . . . . . 8 PsMet
7755ad4antr 738 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
78 fbelss 20848 . . . . . . . . . . . 12
7977, 78sylancom 673 . . . . . . . . . . 11 PsMet
80 xpss12 4940 . . . . . . . . . . 11
8179, 79, 80syl2anc 667 . . . . . . . . . 10 PsMet
82 simp-6r 781 . . . . . . . . . . 11 PsMet PsMet
8382, 6, 143syl 18 . . . . . . . . . 10 PsMet
8481, 83sseqtr4d 3469 . . . . . . . . 9 PsMet
8584ex 436 . . . . . . . 8 PsMet
8676, 85ralrimi 2788 . . . . . . 7 PsMet
87 r19.29r 2926 . . . . . . . 8
88 dfss1 3637 . . . . . . . . . . . . 13
8988biimpi 198 . . . . . . . . . . . 12
9089adantl 468 . . . . . . . . . . 11
91 dminss 5250 . . . . . . . . . . 11
9290, 91syl6eqssr 3483 . . . . . . . . . 10
93 imass2 5204 . . . . . . . . . . 11
9493adantr 467 . . . . . . . . . 10
9592, 94sstrd 3442 . . . . . . . . 9
9695reximi 2855 . . . . . . . 8
9787, 96syl 17 . . . . . . 7
9863, 86, 97syl2anc 667 . . . . . 6 PsMet
99 r19.41v 2942 . . . . . . 7
100 sstr 3440 . . . . . . . 8
101100reximi 2855 . . . . . . 7
10299, 101sylbir 217 . . . . . 6
10398, 102sylancom 673 . . . . 5 PsMet
104 simp-5r 779 . . . . . . . 8 PsMet PsMet
105 simplr 762 . . . . . . . 8 PsMet
1061metustel 21565 . . . . . . . . 9 PsMet
107106biimpa 487 . . . . . . . 8 PsMet
108104, 105, 107syl2anc 667 . . . . . . 7 PsMet
109 r19.41v 2942 . . . . . . . 8
110 sseq1 3453 . . . . . . . . . 10
111110biimpa 487 . . . . . . . . 9
112111reximi 2855 . . . . . . . 8
113109, 112sylbir 217 . . . . . . 7
114108, 113sylancom 673 . . . . . 6 PsMet
11511ad2antrr 732 . . . . . . . 8 PsMet
116 elfg 20886 . . . . . . . . 9
117116biimpa 487 . . . . . . . 8
118115, 117sylancom 673 . . . . . . 7 PsMet
119118simprd 465 . . . . . 6 PsMet
120114, 119r19.29a 2932 . . . . 5 PsMet
121103, 120r19.29a 2932 . . . 4 PsMet
122121ralrimiva 2802 . . 3 PsMet
1232adantr 467 . . . 4 PsMet UnifOn
124 iscfilu 21303 . . . 4 UnifOn CauFilu
125123, 124syl 17 . . 3 PsMet CauFilu
12655, 122, 125mpbir2and 933 . 2 PsMet CauFilu
12754, 126impbida 843 1 PsMet CauFilu
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738   cin 3403   wss 3404  c0 3731   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cxp 4832  ccnv 4833   cdm 4834   crn 4835  cima 4837   wfun 5576  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc0 9539  cxr 9674   cle 9676   cdiv 10269  c2 10659  crp 11302  cico 11637  PsMetcpsmet 18954  cfbas 18958  cfg 18959  UnifOncust 21214  CauFiluccfilu 21301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-psmet 18962  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-fil 20861  df-ust 21215  df-cfilu 21302 This theorem is referenced by:  cfilucfil2  21576
 Copyright terms: Public domain W3C validator